Диссертация (1103373), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Уравнения были получены в пятимоментном приближении, включающем уравнение непрерывности, уравнения баланса импульса и энергии. Отмечена роль квантоворелятивистских слагаемых в уравнениях баланса импульса и энергии. Вотличие от кулоновской квантовой плазмы, где вклад квантовых эффектов в основном сводится к квантовому потенциалу Бома и обменному взаимодействию, в рассматриваемом случае квантово-релятивистские эффекты приводят к возникновению в уравнениях большого количества слагаемых сложной структуры.
В этой работе мы останавливаемся на пробле-48ме получения уравнений и, в качестве иллюстрации влияния квантоворелятивистских эффектов, рассматриваем дисперсию собственных волн вслаборелятивистской квантовой плазме. Из полученного дисперсионногосоотношения видно, что квантово-релятивистские эффекты проявляютсяуже в линейном приближении. Следовательно, мы можем ожидать появления различных нелинейных квантово-релятивистских эффектов в квантовой плазме, для изучения которых могут быть использованы выведенныев данной работе уравнения.493. Дисперсия ленгмюровских волн вслаборелятивистском случае3.1.Линейные возбуждения электронного газаРассмотрим собственные линейные возбуждения в плазме, состоящейиз электронов и ионов (ионы полагаются неподвижными).
Концентрациюи скорость частиц представим в виде n = n0 + n0 , vα = 0 + vα0 , n0 - равновесное значение концентрации; в равновесии потоки частиц предполагаютсяотсутствующими. При линеаризации уравнения гидродинамики принимают вид:∂t n0 + n0 ∂α vα0 = 0,h̄2h̄4T000∂α ∆n −∂∆∆n+γ∂α n0 =m∂t vα −α324mn08m c n0n02·h̄e2 n0 Z 0= e ∂α ϕ +∂∆ϕ−dr Gαβ (r − r0 )∂β0 ϕ(r0 , t)α2224m c2mc2 Z¸eh̄00 0 0 0 0− 2 2 dr ∂γ Gαβ (r − r )∂β ∂γ n (r , t) ,8m c∆ϕ = 4πen0 ,(3.1)(3.2)(3.3)в четвертом слагаемом уравнения (3.2) мы использовали уравнение адиабаты и выразили давление через температуру, используя уравнение состояния p = nT (где T - температура, γ - показатель адиабаты).Переходя к фурье-представлению и учитывая, что Gαβ (k)=(8π/k 2 )(δαβ − kα kβ /k 2 ), из условия равенства нулю определителя даннойсистемы уравнений получаем дисперсионное соотношение для собственныхволн в плазме:2ω (k) =ωp2h̄2 k 2 ¶ h̄2 k 4h̄4 k 6γT 21−+−+k ,4m2 c24m2 8m4 c2mµ(3.4)50где ωp =q4πe2 n0 /m - плазменная частота, γ = 3 в классическом адиаба-тическом одномерном случае.
Данное выражение отличается от классического наличием трех слагаемых, первое из которых пропорционально k 2 /c2и является следствием наличия новых квантово-слаборелятивистских поправок в правой части уравнения баланса импульса, а второе и третье пропорциональны k 4 и k 6 соответственно и происходят от полученного ранеевыражения для квантового вклада в давление (2.65).В недавней работе [41] был рассмотрен вклад дарвиновского члена вуравнение Эйлера вместе с другими слаборелятивистскими членами, даваемыми лагранжианом Дарвина и исследованными выше. Было показано,что смешанная сила, возникающая при одновременном учете электрической силы и слаборелятивистской части кинетической энергии (см.
первыйчлен в формуле (2.55)), а также плотность силы, даваемой дарвиновскимчленом, дают однаковый вклад. Следовательно, окончательный слаборелятивистский спектр ленгмюровских волн имеет вид2ω (k) =ωp2h̄2 k 25T ¶ h̄2 k 4h̄4 k 6γT 21−−+−+k .4m2 c2 2mc24m2 8m4 c2mµ(3.5)Этот результат также дает обобщение спектра, полученного в [33], где авторы не рассматривали вклад релятивистской части кинетической энергиив уравнения коллективного движения.
Они также не учли вклад релятивистской части квантового потенциала Бома (третий член в формуле (3.5)).Однако, оказывается, что релятивистская часть кинетической энергии даетдополнительные слагаемые в плотность силы через коммутаторы соответствующих членов в гамильтониане (2.22) и квантовом токе частиц (2.26).3.2.Дисперсия волн в пучке заряженных частицС целью рассмотрения большего набора квантовых и релятивистскихслагаемых в уравнениях баланса, в качестве второго примера рассмотрим51собственные волны плотности заряда в пучке электронов. Дисперсия волнв пучке электронов, находящемся в плазме, рассмотрена в книге Ахиезера[82]. Для этого плотность числа электронов представим в виде n = n0 + n0 ,поле скоростей vα как vα = uα + vα0 , где ux = u, uy = uz = 0, u - это скорость пучка частиц.
Линеаризованная система уравнений гидродинамикив фурье-представлении имеет вид−(ω − ukx )n0 + n0 kα vα0 = 0,−m(ω −(3.6)¸h̄2 ·µu2 ¶uα uu2h̄22224 0+1 − 2 kα k − 2 kx k − 2 kα kx −kknα4mn0ccc2m2 c2h̄2h̄22 0u β k α k vβ −(uα k 2 kβ vβ0 + uβ kα kβ kγ vγ0 ) =−222mc4mc¸· µu2 ¶ uα uh̄22 02= −e n G(k) kα 1 − 2 − 2 kx −kα k2cc4m2 c2ukx )vα0e2+ 2 [uβ (kα Gβσ − kβ Gασ )(n0 vσ0 + uσ n0 ) + kγ Gαβ (n0 uβ vγ0 + n0 uγ vβ0 + uβ uγ n0 )],2c(3.7)где функции Грина в импульсном представлении выглядят следующим образом: G(k) = 4π/k 2 , Gαβ (k) = (8π/k 2 )(δαβ − kα kβ /k 2 ).
Эта система уравнений приводит к дисперсионному уравнениюkx u µ 2 h̄2 k 4 ¶ 2 · 2 µ3u2h̄2 k 2 ¶ h̄2 k 40 = Ω + 2 2 ωp +Ω + ωp −1 + 2 +−k c2m22c4m2 c24m23+h̄4 k 6 ¸kx u · 2 µkx2 ¶ h̄2 k 4 ¸µ 2 h̄2 k 4 ¶h̄2 k 2 u2 22(k+2k)+Ω+ω1−2+ωp +. (3.8)x4m2 c28m4 c2k 2 c2 pk22m24m2Это уравнение третьей степени относительно Ω = ω − ukx . Дисперсионноеуравнение (3.8) для такой системы частиц, содержащее квантовые слагаемые, пропорциональные h̄2 /c2 , получено впервые нами в данной работе.Используя тригонометрическое решение уравнения третьей степени и раскладывая его по малому параметру u2 /c2 , получаем следующие выражениядля корней этого уравнения:ω1 (k) = ukx + ω0 − A − Bω0−1 ,(3.9)52111ω2,3 (k) = ukx + (−1 ± 1)ω0 + (1 ± 3)A + (1 ∓ 1)Bω0−1 ,222гдеkx u · 2 µ 4kx2 ¶ 2 h̄2 k 4 ¸A(k) = 2 2 ωp − 2 2 +,2k c3k3 m21 · 2 µ 3u2h̄2 k 2 ¶ h̄2 k 4 u2 µkx2 ¶h̄4 k 6 ¸B(k) = ωp++1+2 2 +,22c2 4m2 c24m2 c2k8m4 c2ω0 =vuut 2ωph̄2 k 4+.2m2(3.10)(3.11)(3.12)(3.13)Для классического пучка частиц с кулоновским взаимодействием дисперсионное соотношение имеет вид ω = ukx ± ωp [83].
В рассмотренномвыше случае имеется качественное отличие, сводящееся к наличию трехветвей. Ветвь ω2 , а также пропорциональные 1/c2 коэффициенты A(k) иB(k) в выражениях для ω(k) появляются в слаборелятивистской теории.534. Слаборелятивистские квантовые эффекты вдвумерном электронном газе: дисперсияленгмюровских волнВ этой главе подробно описана слаборелятивистская квантовогидродинамическая модель для заряженных бесспиновых частиц в применениик низкоразмерным системам. Уравнения представлены в приближении самосогласованного поля. Дарвиновский член, ток-токовое взаимодействиеи слаборелятивистская поправка к кинетической энергии, описываемыегамильтонианом Брейта, рассмотрены наряду с кулоновским взаимодействием. Вычислен вклад описанных эффектов, а также релятивистскотемпературных эффектов, в дисперсию ленгмюровских волн в двумерномэлектронном газе. Представлено сравнение с соответствующей формулойдля трехмерной системы частиц.4.1.ВведениеВ последние годы при исследовании квантовой плазмы уделяетсявнимание слаборелятивистским эффектам.
Так, в работе [33] рассмотренвклад дарвиновского члена в дисперсию ленгмюровских волн. Это интерпретировано как вклад известного в литературе Zitterbewegung-эффекта(Zitterbewegung-”дрожащее движение”) [84], [85]. Помимо явного интереса для физики квантовой плазмы, эти эффекты также интересны в связис экспериментальным моделированием релятивистских эффектов в системе заряженных частиц, выполняемого посредством ультрахолодных ней-54тральных атомов во внешнем поле [85]. Результат работы [33] был обобщен посредством учета в уравнениях квантовой гидродинамики слагаемых, вызванных слаборелятивистской поправкой к кинетической энергии[41]. Последняя величина, без учета дарвиновского члена, была рассмотрена в работе [42]. Оказывается, что этот кинематический член приводит квозникновению определенного набора слагаемых в уравнениях квантовойгидродинамики.
Мы обсудим эти слагаемые ниже, когда приведем системууравнений. Отметим, что в работе [42] уравнения квантовой гидродинамики получены на основе квантования гамильтониана, полученного из классического лагранжиана Дарвина [6]. Он содержит слаборелятивистскуюпоправку к кинетической энергии и ток-токовое взаимодействие (закон Ампера), но не содержит дарвиновского члена, который имеет квантовую природу и возникает при выводе гамильтониана Брейта из квантовоэлектродинамической амплитуды рассеяния двух электронов [44]. Соответствующаяформула для закона дисперсии ленгмюровских волн была получена в [42].Вклад дарвиновского члена был рассмотрен позднее в работе [41].Трехмерная слаборелятивистская квантовая плазма была рассмотрена в работах [33], [41], [42].
В настоящей работе мы обращаемся к исследованию дисперсии слаборелятивистских ленгмюровских волн в низкоразмерных структурах. Примером таких объектов является двумерный электронный газ. Соответствующая нерелятивистская формула для ленгмюровскойчастоты, вызванной кулоновским взаимодействием, хорошо известна в литературе [44], [86], [87].
В последние годы были выполнены исследованиянерелятивистской двумерной квантовой плазмы частиц со спином [88] и сэлектрическим дипольным моментом [3]. В отличие от трехмерного аналога, квадрат ленгмюровской частоты не является константой, а линейнопропорционален модулю волнового вектора.554.2.Квантовая гидродинамика низкоразмерных системВ этой работе использована система уравнений многочастичной кван-товой гидродинамики [1], [2], [5], [42] для беcспиновой системы заряженныхчастиц в слаборелятивистском приближении [41], которая имеет вид∂t n + ∇(nv) = 0,(4.1)иemn(∂t + v∇)v α + ∂ α p + ∂ β T αβ = enÊ α + nεαβγ v β B̂ γ + Fclα + FQα ,c(4.2)где ∂t - производная по времени, ∇ - оператор градиента (производная попространственным координатам), m - масса частиц, e - заряд частиц (дляэлектронов он равен e = − |e|), c - скорость света в вакууме. Кроме того, ниже мы встретим приведенную постоянную Планка h̄.
После описания слагаемых, входящих в уравнение Эйлера (4.2), мы приведем гамильтониан дляуравнения Шредингера (независящая от спина часть гамильтониана Брейта [44]), из которого выведена система уравнений квантовой гидродинамики (4.1), (4.2). Это позволит легче понять смысл слагаемых, входящих всистему уравнений (4.1), (4.2). В систему уравнений (4.1), (4.2) входят концентрация частиц n(r, t), [n]=см−2 , поле скоростей v(r, t), давление p(r, t).Так как мы рассматриваем двумерную систему частиц, то вектор r имеетдве проекции r = {x, y}, так же как и вектор поля скоростей. Рассматривается слаборелятивистская система частиц, что соответствует условиюT ¿ mc2 , и, следовательно, уравнение состояния идеального газа, как и внерелятивистском случае, имеет вид p3D = n3D T для трехмерного случая,и p2D = n2D T для двумерного случая. В двумерном случае давление - этосила, отнесенная к единице длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
