Диссертация (1103373), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Выглядят эти41функции следующим образом:q0αZ=h̄2 2 · 1 2 α β βdR δ(r − ri )a − vi ∂ i ∂ i vi4mc22i=1NX+ viγ ∂iα viβ ∂iβ viγ − viβ ∂iα viγ ∂iβ viγ − viβ viγ ∂iα ∂iβ viγ¸h̄2 α ββ γβ γβββα+ vi [(∂i vi )(∂i vi ) + vi ∆i vi ] −∂ ∂ ∆i vi ,4m2 i i·h̄2γ=dR δ(r − ri )a∂a−2vi2 ∂iα viγi28mci=1¸h̄2 αh̄2 α β γ βγα β γ β+ 4vi vi ∂i vi − 2 ∂i ∂i ∂i vi − 2 ∂i ∆i vi ,mmZqIαNXh̄2 · h̄2=dR δ(r − ri )− 2 a∆i a∂iα ∂iβ viβ24mc2mi=1h̄2 β γ α β γ− 2 a∂i ∂i a∂i ∂i vim½¾¸h̄2 β γ γβ 2β2 α β− a ∂i ∂i ln a 3vi vi +(∂ ∂ v + ∆i vi ) ,2m2 i i iZαqIIαqIIIZ=(2.78)NXZ=(2.79)h̄4dR δ(r − ri ) 3 2 [−a∂iβ ∆i a∂iα viβ4m ci=1NX+ (∂iα a∂iβ ∂iγ a − a∂iα ∂iβ ∂iγ a)∂iβ viγ ],αqIV(2.77)(2.80)h̄4dR δ(r − ri ) 3 2 (viα ∆i a∆i a − 2viβ a−1 ∂iα a∂iβ a∆i a8m ci=1NX+ 2viβ ∆i a∂iα ∂iβ a − viα a∆i ∆i a),(2.81)andαqcurZ=e2h̄2 a2 αβdRδ(r − ri ) 2 2 [Gij (2∂jβ viγ a−1 ∂iγ a + ∂jβ ∂iγ viγ8m ci,j=1,j6=iNX−1+ 4a−1 ∆i avjβ ) + Gβγij (3∂iα vjγ a ∂iβ a + 3vjγ ∂iα ∂iβ ln a+ 2∂iα ∂iβ vjγ + ∂iα viβ a−1 ∂jγ a − viβ ∂iα ∂jγ ln a)−1+ ∂iα Gβγij (∂iβ vjγ + 2vjγ a ∂iβ a)].(2.82)В итоге уравнение баланса энергии принимает соответствующий вид:∂t ε(r, t) + ∂α Qα (r, t) = en(r, t)v(r, t)E + A(r, t),(2.83)42где функции ε и Qα определяются формулами (2.69)-(2.71) и (2.73)-(2.82)соответственно.
Далее подробно рассмотрим вид плотности работы A. Ееудобно разбить на три части: A(r, t) = Acl (r, t) + Aq (r, t) + α(r, t). Acl (r, t) часть плотности работы, соответствующая классическому выражению (см.правую часть уравнения (2.13)), Aq (r, t) - квантовая часть плотности работы:h̄2 e α β βA (r, t) =[∂ (∂ E · nv α ) + ∆E α nv α224m cα β α β+ ∂ E (v ∂ n + v β ∂ α n) + E α ∂ α ∂ β (nv β )](2.84)2 2 Zh̄ e0−dr0 ∆Gαβ (r − r0 )[nv α (r, t)∂β n(r0 , t) + nv β (r0 , t)∂α n(r, t)].228m cqФункция α(r, t) имеет смысл плотности тепловой работы и можетбыть представлена в виде суммы трех частей:α(r, t) = αcl (r, t) + αr (r, t) + αcur (r, t),(2.85)где αcl - соответствующая классической (2.18) часть плотности тепловойработы,eh̄2α (r, t) = dR δ(r − ri ) 2 2 [∂iα (∂iβ Eiβ a2 uiα )4m ci=12+ ∆i Eiα a uiα + Eiα ∂iα ∂iβ (a2 uiβ )ZrNX+ 2∂iα Eiβ (a∂iβ auiα + a∂iα auiβ + a2 ∂iα viβ )],(2.86)является полностью квантовой частью плотности тепловой работы, связанной с релятивистской поправкой к импульсу,αcurZ(r, t) =e2h̄2∂iγ GαβdRδ(r − ri )ij ×228m ci,j=1,j6=iNX·× {viα a2 ∂iγ ∂jβ ln a + vjβ a2 ∂iγ ∂iα ln a− a(4viα ∂iγ ∂jβ a + 2viγ ∂iα ∂jβ a + 4vjβ ∂iγ ∂iα a+ 3∂iγ viα ∂jβ a + 4∂iα vjβ ∂iγ a + 3∂iγ vjβ ∂iα a + 3∂iα ∂iγ vjβ a)− [viα a2 ∂jβ ∂jγ ln a + vjβ a2 ∂iα ∂jγ ln a43+ 2vjγ a∂iα ∂jβ a + ∂jγ viα a∂jβ a + ∂jγ vjβ a∂iα a + ∂jγ ∂iα vjβ a2 ]}¸e2h̄2αβ2−∆i Gij (a∂jβ auiα + a∂iα aujβ + a ∂iα vjβ ) ,(2.87)4m2 c2является квантовой частью плотности тепловой работы, наличие которойсвязано с ток-токовым взаимодействием между частицами.
Функция αcur ,как и функции плотности тепловой энергии ², квантовой добавки к давлению Tαβ , теплового потока q α , классической части плотности тепловойработы αcl , включает в себя скорости частиц, которые являются суммой поля скоростей и тепловой скорости. Таким образом, эти величины содержатв себе также поле скоростей, а не только скорости теплового движения.Уравнения (2.53), (2.54) и (2.83) образуют систему уравнений квантовой гидродинамики в пятимоментном приближении, включающую в себяуравнение непрерывности, уравнение баланса импульса и уравнение баланса энергии.Необходимо отметить, что после введения поля скоростей появляетсявозможность сравнить уравнения квантовой гидродинамики с классическими.
Они совпадают с ними с точностью до наличия слагаемых, пропорциональных постоянной Планка h̄. Таким образом, в данном методе появляетсявозможность получать квантовые и классические уравнения одновременно. Классические уравнения получаются путем формального устремленияпостоянной Планка к нулю в уравнениях квантовой гидродинамики.При наличии теплового вклада и многочастичных квантовых корреляций можно представить упрощенную форму квантовой части q (2.74),которая является аналогом квантового потенциала Бома (5.26) в уравнении Эйлера (2.54). Квантовый потенциал Бома является квантовой частьюпотока тока частиц (потока импульса в нерелятивистской теории). Здесьимеется квантовая часть потока энергии, представленная как сумма реля-44тивистской и нерелятивистской части:qh̄ = qnon−relh̄ + qrelh̄ .(2.88)Нерелятивистский квантовый поток энергии был получен в [1].
Он можетбыть записан какαqnon−relh̄h̄2h̄2 αβ= −(∂β n)∂α v −n∂ (∇v).4m4m(2.89)Слаборелятивистская часть квантового потока энергии довольно обширна,так что представим ее как сумму нескольких слагаемых:ααααααqrelh̄= q0,h̄+ qI,h̄+ qII,h̄+ qIII,h̄+ qIV,h̄,(2.90)где слагаемые разделены по общему порядку пространственных производных перед плотностью числа частиц. Эти слагаемые имеют следующие явные формы:αq0,h̄h̄2 · 1 2 α=n − v ∂ (∇v)4mc22+ v γ (∂ α v β )∂ β v γ − v β (∂ α v γ )∂ β v γ − v β v γ ∂ α ∂ β v γh̄2 α β β ¸α β γβ γα ββ+ v (∂ v )(∂ v ) + v v ∆v −∂ ∂ ∆v4m2(2.91)содержит концентрацию без производных по ней.
Первые шесть членовимеют третий порядок по полю скоростей с двумя пространственными производными. Последний член имеет первый порядок по полю скоростей, четыре пространственные производные по полю скоростей, а также дополнительный квадрат постоянной Планка.αqI,h̄·h̄2γ(∂ n) −v2 ∂ α v γ=28mch̄2 α β γ βh̄2 α γ ¸α β γ β+ 2v v ∂ v −∂ ∂ ∂ v −∂ ∆v2m22m2(2.92)пропорционален градиенту концентрации частиц.
Он также содержит двегруппы слагаемых. Первая группа имеет третий порядок по полю скоростей45с одной пространственной производной. Вторая группа содержит первыйпорядок по полю скоростей с тремя пространственными производными идополнительным квадратом постоянной Планка.αqII,h̄√√√h̄4 · 1 √= − 3 2n(∆ n)∂ α ∂ β v β + n(∂ β ∂ γ n)∂ α ∂ β v γ4m c 2¸√1β γ γβα β+ n(∂ ∂ ln n)(∂ ∂ v + ∆v )2√ β 2h̄2α β−n)v v3n(∂∂ln4mc2(2.93)состоит из двух групп слагаемых. Первая из них состоит из трех членов.
Все из них содержат пространственные производные по концентрациивплоть до второго порядка. Они также содержат вторую производную пополю скоростей. Вторая группа состоит из одного члена. Он имеет похожую, как у первой группы членов, зависимость от порядка производной поконцентрации. Он содержит третий порядок по полю скоростей без производных по нему. Также он явно содержит v 2 /c2 .αqIII,h̄√√h̄4β[−n(∂∆n)∂ α v β=324m c√√√√+ ((∂ α n)∂ β ∂ γ n − n∂ α ∂ β ∂ γ n)∂ β v γ ],(2.94)здесь видна первая пространственная производная по полю скоростей вместе с пространственной производной по концентрации.
Каждый член можетсодержать произведение нескольких концентраций, некоторые из которыхмогут находиться под пространственными производными, и общий порядокэтих производных равен трем.αqIV,h̄√h̄4 µ α √ 2 1 β 1αβ√v(∆v(∂n)(∂n)(∆n)−n)=8m3 c22 n n√√ ¶√√+ 2v β (∆ n)∂ α ∂ β n − v α n∆∆ n(2.95)содержит первый порядок по полю скоростей без пространственных производных, действующих на нее. qIV,h̄ имеет производные от концентрации частиц вплоть до четвертого порядка.
Формулы (2.88)-(2.95) являются шагом46для получения замкнутой системы слаборелятивистских уравнений квантовой гидродинамики в пятимоментном приближении.2.7.Вывод силы ЛоренцаРассмотрим второй член в квантовой плотности силы, описываю-αщей ток-токовое взаимодействие Fcur(2.32), поскольку он дает магнитнуючасть силы Лоренца.
Этот член возникает какFLαNXe2 Zβ αγ=dRδ(r − ri )(∂iα Gβγij − ∂i Gij ) ×228m ci,j=1,i6=j× (ψ ∗ Diβ Djγ ψ + Di∗β ψ ∗ Djγ ψ + c. c.).(2.96)Можно представить его в терминах двухчастичной функции:FLαe2 Z α βγβγ0β αγ000=(∂G(r−r)−∂G(r−r))=2 (r, r , t)dr ,222m c(2.97)где0=βγ2 (r, r , t)Z=dRNXδ(r − ri )δ(r0 − rj ) ×i,j=1,i6=j1× (ψ ∗ Diβ Djγ ψ + Di∗β ψ ∗ Djγ ψ + c. c.).4(2.98)0В приближении самосогласованного поля в =αβ2 (r, r , t) появляется произ-ведение нерелятивистских частей тока j (2.26) появляется . Так что в итогеβ0α0имеем =αβ2 (r, r , t) = jN R (r, t)jN R (r , t), где jN R (r, t) есть нерелятивистская0часть тока j (2.26).
Поскольку =αβ2 (r, r , t) является слаборелятивистским0αβ 0слагаемым, его можно представить как =αβ2 (r, r , t) = j (r, t)j (r , t), вместес полными токами j (2.26). Формула (2.97) теперь переходит вFLαZe2 βj (r, t) (∂ α Gβγ (r − r0 ) − ∂ β Gαγ (r − r0 ))j γ (r0 , t)dr0=222m c·Ze2 βα=j (r, t) ∂Gβγ (r − r0 )j γ (r0 , t)dr0222mZ c¸βαγ0 γ 00−∂G (r − r )j (r , t)dr .(2.99)47Вводя векторный потенциал магнитного поля, создаваемого движущимися зарядамиAαint (r, t) =e Z αβG (r − r0 )j β (r0 , t)dr0 ,2mc(2.100)и используя следующее тождествоγ∂ α Aβint − ∂ β Aαint = εαβγ Bint(2.101)(это значит, что Bint = rotAint ), находим, чтоFLα =e αβγ β γε j Bint .mc(2.102)Применяя j = mnv (см.
формулу (2.52)), можно представить FL в окончательной формеeFL = n[v, Bint ].c(2.103)Следует отметить, что магнитное поле Bint подчиняется магнитостатическим уравнениям Максвелла rotBint =2.8.4πc j(2.63) и divBint = 0 (2.62).ЗаключениеВ ходе работы были получены микроскопические уравнения клас-сической и квантовой гидродинамики для слаборелятивистской системычастиц (основанной на лагранжиане Дарвина).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
