Диссертация (1103373), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Предложенный метод позволяет получить полнуюцепочку гидродинамических уравнений, как делается и в методе квантовойгидродинамики. Однако, мы не применяем концепции, лежащие вне квантовой механики и остаемся в терминах одной теории. Тем не менее, необратимость является фундаментальным свойством процессов в природе, иее включение обогащает квантовую теорию.212. Основные уравнения слаборелятивистскойквантовой гидродинамики2.1.Основы классической слаборелятивистской гидродинамикиПрежде чем приступить к анализу квантовых гидродинамическихуравнений, приведем вывод классических уравнений. Вывод данных уравнений необходимо привести для их сравнения с полученными далее уравнениями квантовой гидродинамики.

Данное рассмотрение проведено в соответствии с методом, предложенным в работе [79]. Этот метод, являющийсячастью более общей схемы [80], позволяет получать гидродинамическиеуравнения исходя из микроскопических уравнений динамики системы Nчастиц и определения микроскопической плотности.Исходя из уравнений Лагранжаd ∂L∂L=,dt ∂viα∂xiα(2.1)получим классические уравнения движения, следующие из лагранжианаДарвина (1.1), откуда выразим ускорение частицы, проведя обращение стоящей перед v̇iα конструкции. Точно провести данное обращение нельзя, но,сохраняя слагаемые только до второго порядка по v/c, получаем следующий результат:v̇iα¶ei µµvi2 ¶1extint=1 − 2 δαβ − 2 viα viβ (Eiβ+ Eiβ)mi2ccNXeiei ejextintεαβγ viβ (Biγvjβ vjγ ∂iβ Gαγ+ Biγ)++ij2mi cj=1,j6=i 2mi cei e2jextintGαβ−ij (Ejβ + Ejβ ),2j=1,j6=i 2mi mj cNX(2.2)22Eαint содержит только градиентную часть.

Формулу для функции ГринаGαγij см. ниже (2.24).В соответствии с [79], [81] определим плотность массы в окрестности∆(r) физически малого объема величиной ∆ следующим образом:NX1 Zρ(r, t) =dξmi δ(r + ξ − ri (t)).∆ ∆(r) i=1(2.3)Дифференцируя это выражение по времени, получим уравнениенепрерывности∂t ρ(r, t) + ∂α j α (r, t) = 0,(2.4)где плотность токаj α (r, t) =NX1 Zdξmi viα (t)δ(r + ξ − ri (t)).∆ ∆(r) i=1(2.5)Дифференцируя по времени функцию плотности тока, получаемуравнение баланса импульса, соответствующее уравнению Эйлера в гидродинамике (для удобства положим систему частиц односортной):∂t j α + ∂β Παβ = ρe E α +1 αβγ β γε je B + F α .c(2.6)Первые два слагаемых в правой части представляют собой силу Лоренцаи описывают действие электромагнитного поля на заряды и токи.

Первое слагаемое в правой части уравнения (2.6) представляет собой суммудействия внешнего электрического поля и кулоновского взаимодействия.Второе слагаемое описывает действие внешнего магнитного поля на токисистемы, а также влияние ток-токового взаимодействия. Fα - плотностьсилы, вызванная слаборелятивистскими эффектами, а именно релятивистской поправкой к кинетической энергии и ток-токовым взаимодействием.Ток-токовое взаимодействие входит как в силу Лоренца, так и в Fα .

Введемпонятие тепловой скорости частицы uiα как разности скорости частицы искорости локального центра масс: uiα (r, t) = viα (t) − vα (r, t), где поле скоростей vα вводится по формуле jα (r, t) = mn(r, t)vα (r, t). Ток на тепловых23скоростях положим равным нулю, тем самым выделяя поле скоростей vα .Тензор плотности потока импульса равенΠαβ (r, t) = mnvα vβ (r, t) + pαβ (r, t),(2.7)где pαβ - тензор кинетического давления, имеющий видNX1 Zpαβ (r, t) =dξmi uiα uiβ δ(r + ξ − ri (t)).∆ ∆(r) i=1(2.8)Электрическое и магнитное поля представляют из себя сумму внешних полей, а также поля, связанного с взаимодействием заряженных чаααстиц: E α = Eext+ Eint.Плотность силы Fα принимает видFα = −¶¸e · µ12δmnv+ρ²+(mnvv+p)αβα βαβ Eβmc22e2 Z 0+ 2 dr [∂α Gβγ (r − r0 ) − ∂β Gαγ (r − r0 )]πβγ (r, r0 , t)2cZe2+n dr0 ∂γ Gαβ (r − r0 )[mn(r0 , t)vβ (r0 , t)vγ (r0 , t) + pβγ (r0 , t)]2mc2Ze3−n dr0 Gαβ (r − r0 )Eβ (r0 , t)n(r0 , t),(2.9)22mcгдеρ²(r, t) =παβ (r, r0 , t) =N 1X1 Zdξmi u2i δ(r + ξ − ri (t)),∆(r)∆i=1 2NX1 Zdξδ(r + ξ − ri )δ(r0 − rj )uiα ujβ .∆(r)∆i,j=1,j6=i(2.10)(2.11)Функция ρ²(r, t) представляет собой нерелятивистскую часть плотностикинетической энергии теплового движения, а наличие тензора παβ (r, r0 , t)в уравнениях связано с тем, что тепловое движение частиц также порождает магнитное поле, которое оказывает влияние на плотность импульсасистемы.Рассмотрим также уравнение баланса энергии в классической гидродинамике.

Плотность энергии системы определяется по формулеε(r, t) =·NX1 Z13dξδ(r + ξ − ri ) mi vi2 + 2 mi vi4∆ ∆(r) i=128c24+N µ1Xj6=i¶¸ei ejαβei ej Gij + 2 viα vjβ Gij .24c(2.12)Применяя описанную ранее процедуру, получаем следующее уравнение для плотности энергии:∂t ε(r, t) + ∂α Qα (r, t) = en(r, t)v(r, t)EZe2+ n(r, t) dr0 ∂ α G(r − r0 )(v α (r, t) − v α (r0 , t))n(r0 , t)2Ze3+nE(r,t)dr0 Gαβ (r − r0 )nvβ (r0 , t)(2.13)α24mcZe3α−nv (r, t) dr0 E β (r0 , t)Gαβ (r − r0 )n(r0 , t)24mcZe2 α+ 2 nv (r, t) dr0 ∂ γ Gαβ (r − r0 )(v γ (r, t) + v γ (r0 , t))nv β (r0 , t) + α(r, t),4cгде плотность полной энергии представим в виде1e2 Z3ε(r, t) = mnv 2 + n dr0 G(r − r0 )n(r0 , t) + 2 mnv 4228c2Ze+ 2 nvα dr0 Gαβ (r − r0 )n(r0 , t)vβ (r0 , t) + ρ²,4c(2.14)здесь вводится функция ρ², имеющая смысл плотности внутренней энергии(совпадающая с ней в нерелятивистской теории; в слаборелятивистскойтеории в функции ρ² появляются слагаемые, смешанные с полем скоростейи тепловыми скоростями):ρ²(r, t) =·NX11 Zdξδ(r + ξ − ri (t)) mi u2i∆ ∆(r) i=123mi{4(v(r, t)ui )2 + u4i + 2v 2 (r, t)u2i + 4(v(r, t)ui )u2i }28c¶¸NX ei ej αβ µ0Gv(r,t)u+uv(r,t)+uu+αjβiα βiα jβ .2 ij4cj6=i+(2.15)Функцию плотности потока энергии Qα (r, t) представим в видеQα (r, t) = v α ε + v β pαβ + q α ,(2.16)где плотность потока тепловой энергии q α (r, t) равна·NN 1XX1 Z1q (r, t) =dξδ(r + ξ − ri (t)) muiα u2i +uiα ei ej Gij∆ ∆(r) i=12j6=i 2α253muiα {4v 2 (r, t)vβ (r, t)uiβ + 4(v(r, t)ui )228c+ u4i + 2v 2 (r, t)u2i + 4(v(r, t)ui )u2i }++NX00uiα (vβ (r, t)vγ (r , t) + vβ (r, t)ujγ + uiβ vγ (r , t) +j6=i¸βγuiβ ujγ )Gij (2.17).Плотность тепловой работы α(r, t) (которая является частью плотности работы, совершаемой частицами при движении относительно локального центра масс, т.

е. при тепловом движении) в уравнении баланса энергии(2.13) определяется следующим образом:·NX1 Ze2α(r, t) =dξδ(r + ξ − ri (t)) − (uiα + ujα )∂iα Gij∆ ∆(r) i,j=1,i6=j2e20∂iγ Gαβij [(vγ (r, t) + vγ (r , t) + uiγ + ujγ )(vα (r, t) + uiα ) ×24c× (vβ (r0 , t) + ujβ ) − (vγ (r, t) + vγ (r0 , t))vα (r, t)vβ (r0 , t)]¸e3αβG (Eiα ujβ − Ejβ uiα ) .(2.18)+4mc2 ij+Плотность потока тепловой энергии q α (r, t) и плотность тепловой работы α(r, t), в отличие от нерелятивистского случая, также содержат в себеполе скоростей v α (r, t).Таким образом, были получены уравнения пятимоментного приближения в слаборелятивистской классической гидродинамике.

Описаннымвыше методом они получены впервые.2.2.Квантовая гидродинамика. Постановка задачи в слаборелятивистском приближенииРассмотрим квантовомеханическую систему N частиц с произволь-ными массами и зарядами, с кулоновским и ток-токовым взаимодействиями, находящуюся во внешнем классическом электромагнитном поле. Выводквантовогидродинамических уравнений будет произведен в соответствии сметодом, описанным в работах [1]-[3]. Микроскопическая плотность массы26определяется формулойZρ(r, t) =dRNXmi δ(r − ri )ψ ∗ (R, t)ψ(R, t),(2.19)i=1где R = (r1 , ..., rN ), ri - координаты i-ой частицы,dR =NYj=1drj ,(2.20)dR - элемент объема 3N-мерного конфигурационного пространства, drj элемент объема в трехмерном пространстве радиус-вектора rj .

Аналогичноопределяются плотность числа частиц и плотность электрического заряда.Гамильтониан системы имеет вид (Ĥ0 - нерелятивистская часть гамильтониана, Ĥr - релятивистская):Ĥ = Ĥ0 + Ĥr ,ND2i1 XĤ0 =+ ei ϕi +ei ej Gij ,2 i,j=1,i6=ji=1 2miNXĤr = −(2.21)NXei ejD4iα β−Gαβij Di Dj ,322i=1 8mi ci,j=1,i6=j 4mi mj cNX(2.22)(2.23)где Diα = (h̄/i) ∂iα − (ei /c)Aαi , ∂iα - производная по координате i-ой частицы, функции ϕi = ϕi (ri , t), Aαi = Aαi (ri , t) - потенциалы внешнего электромагнитного поля, rij = ri − rj . Gij , Gαβij - функции Грина кулоновского иток-токового взаимодействий соответственно, определяющиеся следующимобразом:β1δ αβ xαij xijαβGij = , Gij =+ 3 .rijrijrij(2.24)Ранее (в п.

2.1) путем дифференцирования были выведены уравненияв классическом случае. В пп. 2.3-2.5 будут получены уравнения квантовойгидродинамики.272.3.Уравнение непрерывностиДифференцируя плотность массы (2.19) по времени и используя урав-нение Шредингера, получим уравнение непрерывности∂t ρ + ∂α j α = 0,(2.25)причем j α имеет видZαj (r, t) =dRNX·δ(r − ri )i=11 ∗ αψ Di ψ21(ψ ∗ Diα Di2 ψ + Diα ψDi∗2 ψ ∗ )8m2i c2¸NXei ej αβ ∗ βG ψ Dj ψ + c. c. .−2 ijj=1,j6=i 4mj c−(2.26)Форма уравнения непрерывности в сравнении с нерелятивистскимслучаем случаем не изменяется, но само выражение для тока получаетсоответствующие поправки. Также следует отметить, что функция плотности тока определена с точностью до добавки к ней ротора некоторогопсевдовекторного поля.2.4.Уравнение баланса импульсаАналогично, дифференцируя по времени выражение для тока (2.26),получаем уравнение баланса импульса:α∂t j α + ∂β Παβ = ρe Eext+1 αβγ β γε je Bext + F α .c(2.27)Общий вид этого уравнения совпадает с классическим аналогом (2.6).Однако, функции Παβ и Fα содержат квантовые слагаемые.

Характеристики

Список файлов диссертации