Диссертация (1103373), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Такимобразом, дарвиновский член и РПКЭ должны быть рассмотрены вместе.Вклад РПКЭ и ток-токового взаимодействия в дисперсию в плазмебыл рассмотрен недавно [42] в терминах многочастичной квантовой гидродинамики, разработанной в [1]-[4], [45], но тогда дарвиновский член нерассматривался. Другой вывод уравнений квантовой гидродинамики длясистем заряженных частиц со спином был предложен после [1], [2], его можно найти в [47], [48]. Некоторым аспектам квантовой физики плазмы данобзор в [54].Zitterbewegung-эффект (квантовое ”дрожащее движение” частиц, ассоциирующееся с дарвиновским членом) активно исследовался [85], [89][96].
Он рассматривался для электронов в полупроводниках [92], [93], ионов[89]-[91] и квантовых газов нейтральных атомов [85], [95], [96]. Следовательно, стоит отметить, что РПКЭ дает вклад в уравнения коллективногодвижения, сочетающийся с вкладом дарвиновского члена, и либо увеличивающий, либо уменьшающий его.Эта работа посвящена сравнению вкладов РПКЭ, дарвиновского члена и ток-токового взаимодействия в уравнение Эйлера, получению явнойформы слаборелятивистского тензора давления и его влияния на дисперсионные свойства продольных волн.71Глава организована следующим образом. В разделе 5.2 обсуждаетсябазовый гамильтониан и сравниваются различные его члены.
В 5.3 представлена система уравнений квантовой гидродинамики в слаборелятивистском приближении, обсуждаются различные вклады в уравнение Эйлера.В разделе 5.4 описан метод получения дисперсионного уравнения, представлена линеаризованная система уравнений Эйлера. В 5.4-5.5 выводитсяи обсуждается дисперсионное соотношение для слаборелятивистских ленгмюровских волн.
В разделе 5.7 приведено краткое изложение полученныхрезультатов.5.2.Гамильтониан системы в слаборелятивистском приближенииУравнения квантовой гидродинамики выводятся из нестационарногоуравнения Шредингера для системы N частиц:ıh̄∂t ψ(R, t) = Ĥψ(R, t)(5.1)Ĥ = Ĥ0 + ĤRel + ĤD ,(5.2)с гамильтонианомгдеXµ¶¶1 Xµ1 2Ĥ0 =Di + ei ϕi,ext +ei ej Gij ,2 i,j6=ii 2mi¶¶Xµ1 X µ ei ej1αβ α β4−ĤRel = −DGDDj ,i3 c2 i2 ij8m22mmcijii,j6=ii(5.3)(5.4)趶1 X µ πei ej h̄2 µ 11 ¶eih̄2ĤD = −+ 2 δ(ri − rj ) . (5.5)2 2 ∇i Ei,ext − 22c2m2imji 8mi ci,j6=iЭтот гамильтониан соответствует не зависящей от спина части гамильтоXµниана Брейта (см. [44], §33 и §83).
Все члены, кроме пятого и шестого, также соответствуют классическому гамильтониану, полученному из лагранжиана Дарвина (см. [6], глава 65). В уравнениях (5.2)-(5.5) использованы72следующие обозначения: ei , mi - это заряды и массы частиц, h̄ - постоянная Планка, c - скорость света, Diα = −ıh̄∂iα − ei Aαi,ext /c - ковариантнаяпроизводная, ϕi,ext , Aαi,ext - потенциалы внешнего электромагнитного поля,∂iα = ∇αi - пространственные производные, Gij = 1/rij - функции Гринакулоновского взаимодействия, rij = ri − rj ,Gαβijβδ αβ rijα rij=+ 3rijrij(5.6)- функция Грина ток-токового взаимодействия, ψ(R, t) - пси-функция системы N частиц, R = (r1 , ..., rN ). Давайте рассмотрим физический смыслчленов в гамильтониане (5.2).Мы рассматриваем гамильтониан как сумму трех частей: нерелятивистская часть H0 , релятивистская часть HRel и квантово-релятивистскаячасть HD .
Первый член в нерелятивистской части гамильтониана H0 - этокинетическая энергия, первый член в HRel - это РПКЭ, второй член в H0есть потенциальная энергия классического заряда во внешнем электрическом поле, первый член в HD есть квантовый вклад в энергию заряда вовнешнем электрическом поле, который называется дарвиновским членом.Все эти члены справедливы для каждой частицы, поскольку они описывают кинематические свойства и взаимодействие с внешним полем.
Онипредставляют первые группы членов в гамильтонианах (5.3), (5.4) и (5.5).Вторые группы членов в H0 , HRel , HD описывают межчастичное взаимодействие. В первую очередь, кулоновское взаимодействие представленотретьим членом в H0 . Второй член в HD описывает квантовый вклад в взаимодействие частиц (это взаимодействие, соответствующее дарвиновскомучлену). Второй член в HRel описывает ток-токовое взаимодействие, котороеявляется микроскопическим аналогом закона Био-Савара.HD представляет собой дарвиновский член.
Первый член в HD показывает слаборелятивистский вклад в силу, действующую со стороны73внешнего электрического поля на заряженную частицу. Второй член представляет взаимодействие между двумя частицами, которое может бытьпредставлено как слаборелятивистская добавка к кулоновскому взаимодействию.
Если мы имеем дело с двумя электронами, взаимодействие равноµeh̄ ¶2HD = −πδ(ri − rj ),mc(5.7)где ri и rj являются координатами двух электронов. Явная форма этого взаимодействия выводится из амплитуды рассеяния в квантовой гидродинамике. Мы собираемся сравнить дарвиновский член, описывающийвзаимодействие с внешним полем (первый член в формуле (5.4), которыйпоявляется в слаборелятивистском пределе уравнения Дирака [44]), и межчастичное взаимодействие, представленное вторым членом в HD [44].
Полагая, что 4i (1/|ri − rj |) = −4πδ(ri − rj ) и вводя микроскопическое электрическое поля, создаваемого частицей j, действующей на частицу i, какEij = −∇i (ej /rij ), мы видим, что второй член в гамильтониане (5.5) можетбыть представлен какeih̄2 µ 11 ¶HD = − 2+ 2 ∇i Eij .8c m2imj(5.8)В формуле (5.8) мы использовали общую зависимость от массы, полученную в [44]. В формуле (5.7) же мы положили mi = mj = m. Сравниваяпервый член в гамильтониане (5.5) и формуле (5.8), мы получаем, что этичлены совпадают, если mj → ∞, что соответствует уравнению Дирака.Уравнение Дирака описывает движение электрона во внешнем поле, такчто движение самого электрона не влияет на внешнее поле.
Следовательно,масса источника внешнего поля может полагаться равной бесконечности.Однако, если мы рассмотрим взаимодействие двух электронов, мы имеемmi = mj и из (5.7) находим, чтоeh̄2HD = − 2 2 ∇i Eij ,4m c(5.9)74что отличается в два раза по сравнению с первым членом в (5.5). Ожидалось, что упомянутые выше члены должны совпадать вследствие принципасуперпозиции, так что мы добавили дополнительный множитель 2 в первый член в гамильтониане (5.5), но держим в уме также и то, что можносделать другой выбор и принять следствие уравнения Дирака. При обсуждении дисперсии волн будут рассмотрены последствия обоих выборов.Мы имеем дело с методами, основывающимися на определенных уравнениях, и в нашем случае это уравнение Шредингера (5.1), описывающееэволюцию системы посредством гамильтониана частиц.
В релятивистскомслучае соответствующим уравнением является уравнение Дирака. Однако,уравнение Дирака описывает движение одного релятивистского электрона во внешнем электромагнитном поле. Не существует подходящего уравнения, описывающего квантовое или классическое движение многих релятивистских электронов в терминах гамильтониана, поскольку долженбыть включен гамильтониан электромагнитного поля и это поле должнобыть рассмотрено как независимое переменное, как обстоит дело в квантовой электродинамике. Таким образом, не существует подходящего многочастичного обобщения уравнения Дирака.
Следовательно, уравнение Дирака не позволяет получить многочастичную релятивистскую гидродинамику напрямую; даже слаборелятивистская гидродинамика не может бытьполучена из уравнения Дирака. Однако, гамильтониан Брейта, полученный из квантово-электродинамической амплитуды двух заряженных частиц со спином, описывает слаборелятивистскую систему двух частиц (см.[44], §83). Легко обобщить гамильтониан Брейта на систему N частиц, гдеN > 2. Включая тот факт, что мы рассматриваем бесспиновые частицы,видно, что многочастичный гамильтониан Брейта соответствует классическому гамильтониану, полученному из лагранжиана Дарвина (см.
[6], §65).75Но гамильтониан Брейта содержит также взаимодействия, имеющие квантовую слаборелятивистскую природу, и эти взаимодействия отсутствуют вклассической слаборелятивистской теории.Для кратких ссылок далее вводится новая функция G̃ij , котораяопределяется как G̃ij = Gij − (h̄2 /4m2 c2 )δ(ri − rj ).G̃ij приводит к существованию двух членов плотности силы в уравнении Эйлера. Рассмотрим, как они возникают в ходе вывода слаборелятивистского уравнения Эйлера. Дифференцируется по времени ток j и используется уравнение Шредингера. Один из этих членов появляется вследствие коммутации G̃ij с оператором импульса p̂αi в токе j.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
