Автореферат (1103372), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Уравнениенепрерывности имеет стандартный вид: t n(r, t )    n(r, t )v (r, t )  = 0,(3)тогда как уравнение Эйлера, описывающее эволюцию поля скоростей, имеет болеебогатую форму:mn(r, t )[ t  v (r, t )  ]v (r, t )    p (r, t )    T (r, t )e= enE  n  v B  F cl  F q ,cгде плотности силы F cl и F q имеют вид7(4)F cl (r, t ) = e1[ ( mnv 2   )  ( mnv v  p )]E2mc2e2dr'[ G (r  r')    G (r  r')]  (r, r', t )2c 2 e2n dr' G (r  r')[mn(r', t )v (r', t )v (r', t )  p (r', t )  T (r', t )]2 2mce3n dr'G (r  r') E (r', t )n(r', t ),2mc 2 F q (r, t ) =(5)e 2  ( E  n)4m 2 c 2e2 2 n(r, t ) dr' G (r  r')' n(r', t ).2 2 8m cСлаборелятивистскаяплотностьсилыF cl(6)наличествуетивклассическойслаборелятивистской гидродинамике.

Слагаемые в первой строке в формуле для F clсвязанысрелятивистскойпоправкойккинетическойэнергиииописываютслаборелятивистский вклад в ”электрическую” часть силы Лоренца. Слагаемые вовторой строке связаны с магнитным полем, создаваемым тепловым движением частиц;третья строка - это вклад ток-токового взаимодействия, не вошедший в силу Лоренца.Наличие слагаемого в четвертой строке происходит оттого, что выражение для импульсачастицы pi содержит в случае лагранжиана Дарвина также функцию Грина Gij в явномвиде. Члены в плотности F q - это специфические квантовые члены, появляющиеся вквантовой гидродинамике.В левой части уравнения Эйлера содержится тензор T , соответствующийизвестному квантовому потенциалу Бома. Он имеет следующий вид:T  = Tn.r .  Ts .r . ,(7)где нерелятивистская часть Tn.

r . представлена формулойTn.r . = 24m   n 8 n    n,4mn2(8)тогда как слаборелятивистская часть Ts. r . имеет более громоздкий вид:Ts.r . = 43 24m cn      n      n   n    n     n    n     nv 2  1   T  2  v v Tn.r .  v  v Tn.r . 2 n.r .cc22mc 224mc 2  n  v  v  v   v n   v     v   v      v   24mc 2n  v    v    v.(9)Помимо прочего, в тензоре Ts. r . содержится немало слагаемых, содержащих тепловыескорости частиц ui . Для краткости (а также ввиду пренебрежения ими) они здесь непредставлены.Также в работе подробно выведено и представлено уравнение баланса энергии длярассматриваемого типа систем, но для краткости оно здесь не приводится.3-я глава посвящена получению дисперсионного соотношения для ленгмюровскихволн в слаборелятивистском случае на основе полученного во 2-ой главе аппарата (атакже в этой главе исследуются волны в слаборелятивистском потоке частиц).

Послеполучения фундаментальных уравнений слаборелятивистской квантовой гидродинамикиестественно рассмотреть известную задачу о собственных волнах в электронной плазме(вданномслучаеквантовойслаборелятивистскойплазме).Ионыполагаютсянеподвижными, в равновесии потоки частиц отсутствуют.

Для электронной компонентызаписываются уравнения, представленные в предыдущей главе, в первом порядке теориивозмущений. В конечном итоге, получается следующее дисперсионное соотношение:2 24 6k  2k 4kT 2 ( k ) =  1  2 2   4 2k ,2m 4m c  4m 8m c22p(10)где  p = 4 e2 n0 / m - плазменная частота,  = 3 в классическом адиабатическомодномерном случае.

Данное выражение отличается от классического наличием трехслагаемых, первое из которых пропорционально k 2 / c 2 и является следствием наличия9новых квантово-слаборелятивистских поправок в правой части уравнения балансаимпульса, а второе и третье пропорциональны k 4 и k 6 соответственно и происходят отпредставленного выше выражения для квантового вклада в давление.Уравнение Эйлера содержит богатый набор слагаемых, содержащих скоростичастиц. С целью проследить вклад этих слагаемых дисперсия, в данной главерассмотрена также дисперсия волн в потоке заряженных частиц.В 4-ой главе соответствующая задача о собственных волнах рассмотрена вдвумерном случае.

Система заряженных частиц рассматривается на плоскости,расположенной в трехмерном пространстве (плотности частиц пропорциональны дельтафункции  ( z ) , выражения для электрического и магнитного полей используются винтегральном виде). При переходе на плоскость меняет вид фурье-образ функции Гринаток-токового взаимодействия, важный для вычисления дисперсии волн:2k  k  k  2  2k,(11)8   k  k  G3 D (k ) = 2    2  .k k (12)G2D (k ) =тогда как в трехмерном случае он имеет другой вид:После вычислений, аналогичных проведенным в предыдущей главе, быловыведенаследующаяформуладлячастотыволнвдвумернойэлектроннойслаборелятивистской плазме: 2 = Le2 1 2Le2 44 6k2 kk2 23vks2 2 22m c 4m 8m4c 222 42T0Le2  2k 2 23vk,s22 2  Lemc 2k c 4m2 (13)2 e 2 n0 km(14)гдеLe2 =есть двумерная ленгмюровская частота, появление которой вызвано кулоновскимвзаимодействием между зарядами, ˆ0 = n0T0 и p0 = n0T0 , так что ˆ0  p0 = 2n0T0 (эти10выражения дают первый член во второй строке); в этих формулах n0 - двумернаяконцентрация, имеющая размерность см 2 .

В двумерном случае k  G  0 , поэтомудалее во второй строке появляется конструкция, отсутствующая в трехмерном случае.В 5-ой главе производится учет контактного взаимодействия, и производитсясравнение соответствующих дисперсионных формул с формулами других авторов,полученными из квантовой кинетики, разработанной на основе одночастичногогамильтониана. Включение контактного взаимодействия завершает (в совокупности спредыдущимиработамипоквантовойгидродинамике)рассмотрениевсехвзаимодействий, составляющих гамильтониан Брейта.

Если мы имеем дело с двумяэлектронами, контактное взаимодействие равно2e H D =    (ri  r j ). mc (15)Наличие данного взаимодействия приводит к члену в уравнении Эйлера в видеF D =e 2n   E .4m 2 c 2(16)Однако некоторые авторы часто берут за основу гидродинамику, базирующуюсяна гамильтониане одной частицы во внешнем поле (которое затем полагаетсясамосогласованным).Вэтомслучаесоответствующийчленвгамильтониане(полученном из разложения дираковского гамильтониана по степеням 1/ c ) равенe 2Hˆ D =  2 2 E.8m c(17)Данный член приводит к вдвое меньшему слагаемому в уравнении Эйлера. В связи сэтим, конечное выражение для дисперсии является разным в двух описанных случаях. В”многочастичном” случае оно имеет вид2 22 24 4k   2kk  =  1  2 2    3vse  4 2  k2,24m 8m c  2m c  22Le(18)однако, если выбрать следствие слаборелятивистского приближения уравнения Дирака,то в результате получим11 2 = Le2 1 2 24 43 2k 2   2kk  23vk .se2 2  28m c  4m 8m4c 2 (19)2k2Таким образом, коэффициент в скобках перед 2 2 в двух случаях различен; в первомmcон равен 1/ 2 (необходимо отметить, что половину этого коэффициента дает вклад отFq ), во втором - 3/ 8 .

Объяснить разницу в величине контактного взаимодействия можноследующим образом. Потенциал взаимодействия двух частиц имеет общий видHD =  2 ei e j  12c 21  2  2   (ri  r j ). mi m j (20)Если m j   , то получается потенциал взаимодействия электрона с неподвижнымзаряженным центром, который фактически используется в приближенном дираковскомгамильтониане; коэффициент в формуле уменьшится в два раза по сравнениюпотенциалом взаимодействия двух электронов. Тот факт, что квантовая гидродинамика,построенная на гамильтониане многих взаимодействующих частиц, дает результат,отличный от ”одночастичной” гидродинамики, представляет весьма большой интерес.В конце главы выводится формула для дисперсии волн в электрон-позитроннойплазме.

Полученные ранее уравнения квантовой гидродинамики записываются для двухсортов частиц - электронов и позитронов, и в итоге получена следующая формула длядисперсии волн в электрон-позитронной плазме с учетом рассмотренных в данной главевзаимодействий: 2 = 2 p2 1 2 44 6k25T T 2kkk,2 22 22m c 2mc m4m 8m4c 22(21)где  p2 = 4 e2 n0 / m . Таким образом, данное выражение очень похоже на полученнуюранее формулу для дисперсии в электронной плазме, за исключением того, что перед  p2имеется числовой коэффициент, равный двум.6-ая глава посвящена изучению вклада уравнения баланса энергии в дисперсиюленгмюровскихрассмотренииволн в кулоновскойдисперсионныхявленийплазме. Обычно прив12плазмегидродинамическомограничиваютсяуравнениемнепрерывности и уравнением Эйлера (при рассмотрении спиновых явлений такжеучитывается уравнение эволюции магнитных моментов), однако уравнение балансаэнергии, как правило, остается без внимания. Имеется интерес, связанный с выяснениемего влияния на дисперсию плазменных волн.Уравнение баланса энергии имеет видn( t  v   )  ( p  T ) v   q ==e2n dr'(v (r', t )  v (r, t )) G (r  r')n(r', t )   ,2 (22)где n - плотность тепловой энергии, q - вектор потока тепловой энергии,  плотность работы, G (r  r') = 1/ | r  r' | - функция Грина кулоновского взаимодействия.Функции n и q имеют следующий вид:2Ni a e21n = dR (r  ri )a 2 ( mui2 )  n dr'G(r  r')n(r', t ),22m a2i =1(23)2i a1 2q = dR (r  ri )a [ui ( mui )22m ai =1N222m i (vi  i ln a) 24m i  i vi ] N12dr'eG(rr')dR (r  ri ) (r'  r j )a 2ui , i, j2=1, j i(24)где ui - тепловая скорость частицы, ui = vi  v .

Вектор теплового потока q имееттакже квантовую часть. Для того, чтобы система уравнений была замкнутой, вектор qсвязывается с другими величинами с помощью закона Фурье.После получения уравнения для дисперсии можно получить следующие решениявблизи ветвей  p , i k 2 :1,2 =  p 1 2 4 2 61  5 T0 2k i  2 T0 4k kk.q2 2 2 2 p  3 m4m   2 p  3 m6m 2 Подобным образом может быть найдено решение вблизи затухающей ветви  = i k 2 :13(25)3 = i k 2 2 6i  2 T0 4k k.q2 p  3 m6m 2 (26)Таким образом, глядя на эти выражения, легко прийти к выводу, что решения 1,2действительно соответствуют хорошо известной плазменной ветви, а 3 есть ветвь,описывающая затухание тепловой энергии.

Если продолжить итерационный процесс,будетнайдено,чтореальнаятемпературопроводности частьтакжезависитоткоэффициентанетривиальным образом. При конечных темпертурахплазменные волны испытывают затухание (это - новый интересный результат), и этозатухание более медленное в сравнении с ветвью 3 , поскольку1 T0 k 2= 1. p2 mВ 7-ой главе исследована дисперсия плазменных волн на двумерной поверхностинанотрубки с учетом обменного взаимодействия.Уравненияквантовойгидродинамикизаписываютсявдвумерномцилиндрическом случае:t n 1 (nv )   z (nvz ) = 0,R(27)211  n1Exmn t v  mn  v   vz  z  v   P n   = qe nE  F ,R2m R  n R(28)2 n1Exmn t vz  mn  v   vz  z  vz   z P n z  = qe nEz  Fz ,R2m n (29)игде FEx и FzEx - плотности силы, связанные с обменным кулоновским взаимодействием,P- давление, относящееся к распределению частиц по различным квантовымсостояниям, qe = e - заряд электрона.Вычисления плотности силы обменного взаимодействия представляет отдельнуюнетривиальную задачу.

В случае фермионов F Ex имеет следующую форму:F Ex = e 2 dr' G (r  r') |  (r, r', t ) |2 ,функция  (r, r', t ) имеет следующее определение:14(30) (r, r', t ) = n f  *f (r, t ) f (r', t ),(31)fгде n f есть число частиц в квантовом состоянии, определяемом набором чисел f , f (r, t ) есть волновые функции этих состояний. Можно переписать формулу дляплотности силы следующим образом:F Ex = e2 dr' G(r  r')  n f n f  *f (r, t ) f (r', t ) f  (r, t ) *f  (r', t ).(32)f,fДля вычисления плотности силы обменного взаимодействия приближенно используютсярешения уравнения Шредингера для свободных частиц в цилиндрических координатах:1 p ,l (r, t ) =2 RLiexp( Et ) exp(il  ipz / ),(33)где L и R - длина и радиус цилиндра (нанотрубки) соответственно, l - квантовое число,характеризующее импульс по координате (спектр данного числа принадлежитмножеству целых чисел), p - импульс, связанный с движением вдоль оси z .Также отдельную задачу представляет вычисление давления Ферми электронов нананотрубке.

Характеристики

Список файлов диссертации