Квазиклассические решения в суперсимметричных и некоммутативных моделях квантовой теории поля (1103350), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Исследовать данный вопрос втерминах теории поля либо очень сложно, либо просто невозможно в силунеприменимости пертурбативных методов. Дуальное описание дает очевидные преимущества, поскольку изучаемая теория находится в классическойфазе и вопрос наличия суперсимметрии сводится к нахождению спинораКиллинга, удовлетворяющего системе линейных дифференциальных уравненийNµ1 µ2 µ3 Γµ1 µ2 µ3 Ψ = 0 ,iΓµ1 ···µ5 Γµ Ψ +Fµ(5)Dµ Ψ +1 ···µ51920¡¢1+ Fµ1 µ2 µ3 Γµµ1 µ2 µ3 − 9δµµ1 Γµ2 µ3 Ψ∗ = 0 ,961−1.Nµ1 µ2 µ3 = gs 2 Hµ1 µ2 µ3 + igs2 Fµ(3)1 µ2 µ3(0.4)В данной диссертационной работе подробно обсуждается обобщение сингулярного конифолда4Xzi2 = 0 ,(0.5)i=1который соответствует SU (2) × S(2) инвариантной N = 1 супермимметричной конформной теории поля с калибровочной группой SU (N ) × SU (N ).Обобщение сингулярного конифолда, так называемый деформированный конифолд4Xi=1zi2ε2=−2(0.6)соответствует суперсимметричной теории со сложной структурой потока ренормализационной группы (так называемый каскад), который ведет к конфайнменту при низких энергиях.
Соответствующее решение имеет вид “искаженного” (warped) произведения четырехмерного пространства-времени7R4 и Калаби-Яу M (0.6) с риччи-плоской метрикой на немds2 = h−1/2 dx2 + h1/2 ds2M .(0.7)Так как многообразие M есть многообразие Калаби-Яу, решением уравнений Киллинга (0.4) является ковариантно постоянный спинор многообразияM тензорно помноженный на четырехмерный спинор необходимой киральности.
Однако в более сложных ситуациях, когда многообразие M не является многообразием специальной голономии, нахождение решения для (0.4),которому посвящена третья глава диссертации, представляет собой интересную задачу математической физики с ясным физическим смыслом.Другой метод исследования N = 1 суперсимметричных теорий состоит вотыскании дуальных описаний в терминах матричных моделей.
Это новоеперспективное направление уже позволило получить точное описание вакуумных ожиданий киральных операторов и породило целую серию работ,посвященных кольцу киральных операторов. Основная идея этого подходасостоит в том, что в силу особенностей реализации алгебры суперсимметриив этом случае вакуумное ожидание киральных операторовF1..n = hQ1 (x1 )...Qn (xn )i(0.8)не зависит от точек их месторасположения x1 , .., xn . Таким образом, коррелятор F1..n есть просто число, зависящее от квантовых чисел операторовQ1 , .., Qn .
Оказывается, числовое значение этого коррелятора, по крайнеймере для операторов Qn определенного вида Qn = Tr(Φn ), можно вычислить в рамках матричного интеграла как некий многотрейсовый коррелятор. Более того, с помощью того же матричного интеграла можно вычислитьи эффективный суперпотенциал теории. Если исходная теория задавалась спомощью древесного суперпотенциала W (Φ), гдеYXW 0 (x) =(x − αi ) = xn −gk xn−k ,Xαi = 0 ,(0.9)iто эффективный суперпотенциал Wef f (Si , αi ), зависящий от конденсата глюонных полей Si и параметров затравочного потенциала αi , дается следующим выражением:X δF.(0.10)Wef f (Si , αi ) =δSii8В свою очередь, F есть планарный вклад в свободную энергию эрмитовойматричной модели F̃2e−F̃Λ−N= limN →∞ Vol(U(N ))Z1dΦ̃N ×N e− gs TrW (Φ0 +Φ̃)(0.11)в планарном квазиклассическом пределе gs → 0.
Значения глюонных полейSi зависят от выбора классического вакуума матричной модели Φ0 .Предложенный метод, как видно из вышесказанного, является исключительно интересным и инновационным. Важным является то, что подобно дуальности, обсуждавшейся ранее, матричная модель также должна рассматриваться в квазиклассическом режиме. В данной диссертационной работемы обсуждаем свойства седловой точки матричного интеграла — квазиклассического решения в матричной теории, – тем самым продолжая рассмотрение применения квазиклассического метода к суперсимметричным теориямполя.Научная новизнаВ рамках данной дисертации получен ряд новых результатов. В том числе построен первично-квантованный формализм для полей произвольногоспина в некоммутативном пространстве, взаимодействующих с калибровочными полями.Вычислена вероятность рождения пар некоммутативных скалярных частиц на фоне однородного электрического поля в квазиклассическом приближении.
Найденный ответ совпадает с полученным в рамках стандартного теоретико-полевого формализма, что подтверждает применимость квазиклассического метода к задачам некоммутативной теории квантовых полей.Найдено явное решение для генератора десятимерной IIB супергравитации (спинор Киллинга) в случае деформированного невырожденного конифолда в линейном порядке по параметру, снимающему вырождение. Полученное решение для спинора Киллинга имеет линейно-независимые коэффициенты при майорановских компонентах и, таким образом, отвечает новомуклассу решений IIB супергравитации. Соответствующее многообразие (деформированный невырожденный конифолд) является одним из немногихявных известных примеров многообразия типа обобщенного Калаби-Яу.9Получены новые соотношения, связывающие переменные, характеризующие вакуум матричной модели, с параметрами матричной модели дуальнойN = 1 суперсимметричной теории поля.
Пользуясь соотношением дуальности, данные уравнения интерпретированы в терминах значений глюонногоконденсата в квантовой теории поля. В результате получено дифференциальное уравнение, связывающее эффективный препотенциал и его производную по масштабу.Дифференциальное уравнение на препотенциал интерпретируется как уравнение ренормгруппы в эффективной низкоэнергетической теории.Практическая и научная ценностьПредложен новый метод исследования некоммутативных квантовых теорий поля и развит соответствующий формализм.
В рамках данного формализма показана применимость квазиклассического метода, существенноупрощающего вывод результатов, ранее полученных в рамках стандартноготеоретико-полевого подхода.Решено уравнение для спинора Киллинга на деформированном невырожденном конифолде в линейном порядке по параметру, снимающему вырождение. Данный результат может быть использован для дальнейшего изучения гравитационного решения, в том числе для построения суперсимметричных вложений D-бран, удовлетворяющих уравнению так называемой κсимметрии.
Это направление исследований представляет интерес, так какупомянутые D-браны являются дуальными объектами для композитных инепертурбативных операторов в SU (2) × SU (2) инвариантной N = 1 суперсимметричной асимптотически свободной теории поля.В рамках недавно сконструированного дуального описания N = 1 суперсимметричной теории калибровочного поля найдено новое дифференциальное соотношение на эффективный предпотенциал.
Этот результат являетсяновым так как его вывод в рамках стандартной квантовой теории поля досих пор не был известен. Тем самым расширена область применения дуальных теорий для количественного описания низкоэнергетического пределасуперсимметричных теорий поля.10Апробация диссертации и публикацииОсновные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах кафедры теоретической физики физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, теоретических семинарах ИТЭФ, на семинаре отделения теоретической физики университета Уппсалы (Uppsala, Sweden, 2003), а такжемеждународных школах и конференциях «XII летняя школа-семинар Волга2001» (Казань, 2001), «Ломоносов 2002» (Москва 2002), «XXXI ITEP WinterSchool of Physics», (Москва 2003).По теме диссертации опубликовано 3 работы.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав и заключения.
Список литературы содержит около 130 наименований. Общий объем диссертации составляет100 страниц.Краткое содержание диссертацииВведение обосновывает актуальность решаемых в работе задач, а такжесодержит обзор литературы и современных методов, используемых в исследовании.Вторая глава диссертации посвящена развитию первично квантованного формализма для некоммутативных моделей квантовой теории поля. Дается краткое введение в предмет, а также вводятся необходимые определенияи обозначения. Приводятся основные положения первично квантованногоформализма применительно к стандартным моделям КТП, а также выражение для фейнмановского пропагатора скалярного поля Клейна-ГордонаФока в виде интеграла по траекториям отдельной частицы в конфигурационном и в фазовом пространствах.Этот результат обобщается на случай некоммутативного скалярного поля. Показано, что описание некоммутативной теории не является локальным в конфигурационном пространстве, но может быть представлено каклокальное в фазовом пространстве.
Дан вывод следующей формулу для оде11того пропагатора частицы с гамильтонианом H(p, x), распространяющейсяв некоммутативном пространстве, определенном с помощью (0.1)Z ∞ZG(x, y) =dT DxDpeiS ,(0.12)0Z T1S=pµ dxµ − H(pµ , xµ − θµν pν )dt .(0.13)20В случае частицы, взаимодействующей с калибровочным полем Aµ , гамильтониан равенH(p, x) = (p − eA(x))2 − m2 .(0.14)Выражение (0.13) в таком случае дает набор древесных диаграмм, описывающих взаимодействие кванта скалярного поля с классическим электромагнитным полем.Данный формализм обобщается на случай поля произвольного спина.Выражение для фейнмановского пропагатора в этом случае выглядит даже в коммутативном случае весьма сложно в силу наличия дополнительнойструктуры — спина частицы.
В коммутативном случае выражение для функции Грина было получено в работах Алексеева, Фаддеева и Шаташвили, атакже Нильсона и Рохрлиха (Nielson, Rohrlich). Обобщение на некоммутативный случай выглядит следующим образом:ZZ∞RTRTRTi 0 (pdq+ 12 pθdp) i 0 pndt 0 Aµ (q)nµ dt iSspin [n(t)]−imTDq(t)Dp(t)Dn(t)eG = dT eeee.(0.15)0Развитый формализм далее применяется для вычисления вероятности распада ложного вакуума теории в присутствии сильного электрического поля. Аналогично коммутативному случаю для этого необходимо найти квазиклассическую траекторию, минимизирующую (0.13) в пространстве Евклида. Классическое действе на данной траектории определит вероятностьрождения пар.
Оказывается, что в однородном поле1Aµ = Bµν xν(0.16)2ответ зависит от калибровочного инварианта (относительно некоммутативной калибровочной группы)1 0 0F̃µν = Bµν + θµ ν Bµµ0 Bνν 0 .(0.17)412Дальнейшие вычисления показываеют, что зависимость вероятности распада ложного вакуума от некоммутативной напряженности (0.17) такая же,как и в коммутативном случае→−∞πnm2e2 | E |2 X (−1)n+1exp(− −w=(0.18)→ ), eEi = F̃0i .8π 3 n=1n2|e E |Третья глава диссертации посвящена изучению геометрических свойствневырожденного деформированного конифолда и нахождению соответствующего спинора киллинга (см. уравнение (0.4)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
