Автореферат (1103256), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Полученные результатыпроверялись следующими методами: проверка на устойчивость решения в зависимости отпараметров алгоритмов, сравнение с результатами других групп в пересекающися случаях,сравнение с результатами, полученными при помощи других методов.6Положения, выносимые на защиту:1) Построены и реализованы высокопроизводительные алгоритмы расчётов для случаяквантовой теории многих тел. Применены многоуровневый алгоритм, оптимальный выборпараметров и эффективное распараллеливание.2) В модели металлического водорода получены уравнения состояния в широком диапазоне плотностей и давлений.3) В модели металлического водорода обнаружен фазовый переход первого рода междужидкостью и кристаллом с объёмо-центрированной кубической решёткой, исследованыего характеристики.4) Построены и реализованы корректные алгоритмы расчётов для случая релятивистской квантовой теории.Апробация результатовРезультаты данной диссертационной работы докладывались на:XVII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых«Ломоносов-2010» (МГУ им.
М.В. Ломоносова, 12-15 апреля 2010),XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых«Ломоносов-2011» (МГУ им. М.В. Ломоносова, 11-15 апреля 2011),международной конференции "32nd International Symposium on Lattice Field Theory(Lattice 2014)"(Колумбийский Универсчитет, Нью-Йорк, США),международной конференции "Monte Carlo methods in computer simulations of complexsystems"(ДВФУ, 12-24 октября 2015)ПубликацииПо теме диссертации опубиковано 3 статьи (все в рецензируемых журналах из перечняВАК) и 3 тезиса докладов на конференциях. Список публикаций приведён в конце работы.Структура и объём диссетрацииДиссертация состоит из введения, 6 глав основного текста, заключения и списка литературы.
Общий объём диссертации - 91 страница, включая 49 рисунков. Список литературывключает 36 наименований.7Содержание работыВведение - первая глава - содержит краткий обзор предмета исследования. Показанаактуальносчть темы исследования, сформулированы цели работы, показана её научнаяновизна и сформулированы положения, выносимые на защиту.Вторая глава содержит краткое введение в способ расчёта интегралов по траекториям методом Монте-Карло (PIMC). Дано краткое описание теоретических основ данногометода.
Рассматривается система, описываемую координатами x, временна́я эволюция которой определяется гамильтонианом H, при конечной температуре β = 1/kB T . Показанобщий вид выражений для функции распределения:ZZ = trρ = dx0 hx0 |e−βH |x0 i(1)и среднего значения наблюдаемой A:11hAi = tr(Aρ) =ZZZdx0 hx0 |Ae−βH |x0 i.(2)Описывается процедура дискретизации и соответствующее разложения матрицы плотности при помощи формулы Троттера, вводятся "временной шаг"и соответствующее "действие шага". Указаны получаемые в результате данного разложения формулы для функции распределения:ZZ=Dxe−S(3)и среднего значения наблюдаемойRZDxAe−SDxe−SRRhAi == ADxe−SDxe−S(4)Формулируется основная идея метода PIMC: вычиление средних значений путём усреднения наблюдаемых по большому набору траекторий, такому что вероятность включениятраектории в набор пропорциональна её "статвесу"π(x) ∼ e−S(x) .(5)Также описывается построение формализма интеграла по траекториям при нулевойтемпературеhx0 |e−iH(tN −t0 )/~ |xN i =Z.DxeiSm (x)/~ x(t0 )=x0 ,(6)x(tN )=xNRhAi =iSm (x)/~DxA(x)eRDxeiSm (x)/~8.(7)Сделав виков поворот, то есть перейдя из пространства Минковского в Евклидово пространство, эти выражения можно привести к форме, точно совпадающей с конечно температурной.Далее описывается метод существенной выборки - усреднение наблюдаемой по наборуконфигураций, распределённых пропорционально их статвесу.
Так как статвес конфигураций отличается на много порядков, вычисления без использования данного методапрактически оказываются невозможными.Описывается способ построения таких наборов траекторий как предельного распределения некоторых марковских цепей. Достаточным (но, вообще говоря, не необходимым)условием получения правильного предельного распределения π(x) является условие детального баланса для вероятности перехода P (x → x0 ) в марковской цепи:P (x → x0 )π(x) = P (x0 → x)π(x0 ).(8)Третья глава посвящена подробному описанию вычислительных алгоритмов методаPIMC.
Все описываемые алгоритмы сводятся к методу Метрополиса-Гастингса, в котором условие детального баланса достигается автоматически в силу формы вероятностиперехода:ZP (x → x ) = T (x → x )A(x → x ) + δ(x − x ) 1 − dyT (x → y)A(x → y) ,(9)T (x0 → x)π(x0 ).A(x → x ) = min 1,T (x → x0 )π(x)(10)0000где0Смысл формулы (9) следующий: генерируется новая пробная конфигурация при помощипробной вероятности T (x → x0 ), затем с вероятностью принятия A(x → x0 ) эта конфигурация принимается (x0 добавляется в набор), с вероятностью 1 − A(x → x0 ) конфигурацияотклоняется (в набор добавляется еще одна копия x). Здесь T (x → x0 ) - "пробная вероятность вообще говоря любая функция, что даёт большую свободу в настройке алгоритма.Алгоритм тепловой бани ("heat bath")T (x → x0 ) = π(x0 ),(11)A(x → x0 ) = 1,(12)является оптимальным теоретически, но не всегда оптимальным и часто труднореализуемым по практическим и вычислительным соображениям.
Основная сложность связана9с тем, что большиннство функций распределения не позволяют их быстро генерироватьчисленно. Однако есть способ быстро генерировать гауссово распределение, поэтому длязадач квантовой механики наиболее эффективный алгоритм имеет следующий вид:( )n+1 2m x0n − xn−1 +x02T (xn → xn ) ∼ exp −,(13)a~ −V (x0 )a/~ ne0A(xn → xn ) = min 1, −V (xn )a/~ .(14)eДалее описывается многоуровневый алгоритм - мощное средство борьбы с проблемой автокорреляций в генерируемых траекториях.
Он основан на генерации траекторий не поточечно, а последовательными приближениями, что увеличивает производительность и обеспечивает более существенное изменение траекторий, и, следовательно,уменьшение автокорреляций. Описывается разбиение на уровние методом деления пополам: s0 = (x0 , x2Nlevel ) – граничные точки – 0-й уровень, s1 = (x2Nlevel −1 ) – 1-й, s2 =(x2Nlevel −2 , x2Nlevel −1 +2Nlevel −2 ) – 2-й, и так далее, sNlevael = (x1 , x3 , . . .
, x2Nlevel −1 ) – Nlevel -й;на k-m уровне 2k−1 точек. Ввводится "действие уровня"и "условие детального балансауровня":Pk (s0k )πk (sk )πk (s0k )= Pk (sk ),πk−1 (sk−1 )πk−1 (s0k−1 )(15)из которого следует общее условие детального баланса. Приводятся формулы для оптимального выбора вероятностей в методе Метрополиса-Гастингса:( 0 )xn−1 +xn+1 2−mxn2T (xn → x0n ) ∼ exp −,N−klevel2a~ −V (s0 )a/~ ke0Ak (sk ) = min 1, −V (s )a/~ .ke(16)(17)Важнейшей характеристикой системы является её энергия, состоящая из кинетическойи потенциальной частей.
Если наблюдаемая для потенциальной энергии имеет интуитивноочевидный вид, то для кинетической энергии это не так (это связано с тем, что она выражается через импульс, а метод PIMC традиционно строится в координатном представлении). Прводится подробный вывод и получающееся в результате правильное выражениедля наблюдаемой кинетической энергии:hKi = h−~m (xn+1 − xn )2+ i.22a2a(18)Рассматривается вопрос введения граничных условий, необходимого для исследованиязадач о системе многих частиц в заданном объёме, характерных для физики конденсированного состояния вещества.
На примере простейшей задачи с известным точным ответом108ln Lcorr64200246Рис. 1: Длина автокорреляции конфигураций в зависимости от количества уровней алгоритма, в логарифмической шкале- частицы "в ящике показано, что непроницаемые стенки в методе PIMC приводят к катастрофическому падению точности или производительности. Граничные условия следуетвыбирать периодические. Для периодических граничных условий дано представление координаты частицы в виде разложения на координату внутри объёма и "намотку":x0∞ = x0n + Lo0n ,(19)o0s = o0n+1 − o0n .(20)Приведены соответствующие формулы для оптимального выбора вероятности в методеМетрополиса-Гастингса:n mo2T (o0s ) ∼ exp −[xn+1 − xn−1 + Lo0s ] ,4a~()0 2mx+x+Lon+1n−1sT (x0∞ |o0s ) ∼ exp −x0 −a~ ∞211(21)(22)Также в данной главе расказывается о алгоритмах распааллеливания, и в частностиоб использовании для этой цели графических процессоров.Четвётрая глава посвящена исследованию тестовой одночастичной задачи - W-потенциала.Исследована зависимость характеристик этой системы от внешнего линейного возмущения.
Данная задача имеет прямую связь с задачей об агрегации. Также на её примерепроверена применимость и корректность алгоритмов.Пятая глава посвящена построению модели металлического водорода при высокихплотностях и давлениях. В начале даётся краткое описание лабораторных экспериментовв данной области, а также астрофизической мотивации данной задачи. Далее строитсясобственно модель, в самом общем случае её гамильтониан имеет видHf ull = KN + Ke + V0 + Ve + Vint .(23)Здесь KN и Ke - кинетическая энергия ядер (протонов) и электронов соответственно. V0 ,Ve и Vint - потенциальная энергия взаимодействия межъядерного, электрон-электронногои ядер с электронами соответственно; все они представляют собой сумму парных кулоновских взаимодействий.При рассматриваемых плотностях - порядка 106 кг/м3 и температурах - порядка 104 К- электроны можно рассматривать как вырожденный Ферми-газ и использовать для егоописания модель Томаса-Ферми.
Приводится вывод экранировки Дебая для электронногогаза, окружающего тяжёлые заряженные ядра. В результате электроны полностью изчезают из рассмотрения, их роль сводится к изменению потенциала взаимодействия ядер скулоновского на юкавский. В результате эффективный гамильтониан модели имеет видHf ull = KN + VN .(24)Здесь VN - это потенциальная энергия протонов с экранированным взаимодействием:Np i1 −1XX exp{−ri i /RT F }1 2VN =.rii12i =1 i =11(25)2Томас-Фермиевский радиус экранировки RT F определяется по формулеrπ√RT F = 3a0e rs .12(26)В то же время при данных плотностях и давлениях протоны заведомо существенноне вырождены, то есть тип их статистики не важен.
Это позволяет избежать сложных итрудоёмких фермионных вычислений и неразрывно связанной с ними "проблемы знака".12Вышеуказанное приближение применимо только в определённом диапазоне параметров, определяемом следующими условиями. Расстояние между протонами (приблизительно равное rs ) должно быть много больше их размера Rp , чтобы можно было пренебречьсильными ядерными взаимодействиями. Расстояние между протонами должно быть меньше (электронного) боровского радиуса, чтобы внутри радиуса экранировки находилосьбольшое количество электронов и теория Томаса-Ферми была применима. Таким образом, получается условие на расстояние между протонамиRp rs a0e .(27)Соответствующие численные значения в ядерных единицах и в СИ следующие: Rp ≈3×10−2 ≈ 9×10−16 м и a0e ≈ 2×103 ≈ 5×10−11 м. Приведём также оценки для предельныхплотностей: ρmin ≈ 3 × 103 кг/м3 и ρmax ≈ 6 × 1017 кг/м3 . Также условием применимостирассматриваемого приближения является вырожденность протонов и невырожденностьэлектронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
