Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа (1103246), страница 4
Текст из файла (страница 4)
 äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ïðîâåäåí àíàëèçîñíîâíûõ îòëè÷èé: âî-ïåðâûõ, ìåòîäîì íåëèíåéíîé åìêîñòè äîêàçàíî ðàçðóøåíèå íåçàäà÷è Êîøè, à íà÷àëüíî êðàåâîé çàäà÷è, âî-âòîðûõ, ìåòîä ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì èóäîáíûì ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Íàêîíåö, îí ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü îöåíêè âðåìåíè è ñêîðîñòè ðàçðóøåíèÿ.Íàïðèìåð, äëÿ ñèñòåìû (21) ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Òåîðåìà î ðàçðóøåíèè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû αè β , ÷òî äëÿ íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ äàííûõ çàäà÷è (21) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî2βJ(0) ≥ L2 √ ,3αè äëÿ u =NXuk âûïîëíåíû íåðàâåíñòâàk=1N111 X− ux |x=L − ux |x=0 −akj uk uj |x=0 − uxx |x=0 ≥ −β 2 ,LL2 k,j=1akk −NXb2 akjj2−NXajkj2b2≥ α2 äëÿ âñåõ k = 1, ..., N.Òîãäà íå ñóùåñòâóåò ãëîáàëüíîãî âî âðåìåíè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íà îòðåçêå [0,L],ïðè÷åì èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ îöåíêà:172β 1 + C0 e2γtJ(t) ≥ L2 √, ãäå γ =3α 1 − C0 e2γt√3αJ(0) − 2βL2C0 = √,3αJ(0) + 2βL2√3αβ,2LZLJ(t) =(L−x)udx.0Âî âòîðîé ÷àñòè ðàññìîòðåí øèðîêèé êëàññ çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ óäàåòñÿ èññëåäîâàòü ðàçðóøåíèå çà êîíå÷íîå âðåìÿ.
Ýòîò êëàññ âêëþ÷àåò â ñåáÿ óðàâíåíèÿ ÊàäîìöåâàÏåòâèàøâèëè:(ut + uux + uxxx )x = ±4y u 4y ≡∂2∂2+···+,2∂y12∂yN−1N > 2,(26)ñèëüíî äèññèïàòèâíûå óðàâíåíèÿ ÊàäîìöåâàÏåòâèàøâèëè:(ut + uux − uxxxx )x = ±4y u,(27)óðàâíåíèå ÇàõàðîâàÊóçíåöîâà:ut + uux + uxxx + 4y ux = 0,(28)óðàâíåíèå ÕîõëîâàÇàáîëîöêîéÊóçíåöîâà:(ut − uux − uxx )x = 4y u,(29)óðàâíåíèå ÕîõëîâàÇàáîëîöêîé(ux − uuτ )τ = 4y u,τ = t − x,(30)è óðàâíåíèå Ëèíÿ-Ðåéñíåðà-Öçÿíÿ:(ut + (K∞ + u)ux )x = 4y u.(31)Òàêæå ïðîàíàëèçèðîâàíî óðàâíåíèå Îñòðîâñêîãî:(ut + uux + uxxx )x = u.(32)Äëÿ ýòèõ óðàâíåíèé ðåçóëüòàò î ðàçðóøåíèè óäàåòñÿ ïîëó÷èòü äëÿ òðåõ òèïîâíà÷àëüíîêðàåâûõ çàäà÷: â ñëîå (x, y) ∈ (0, L) × RN −1 , â ïîëóïðîñòðàíñòâå x > 0, y ∈RN −1 è âî âñåì ïðîñòðàíñòâå (x, y) ∈ R × RN −1 ïðè t > 0 è ïðè N > 2.
Âî âñåõ ýòèõñëó÷àÿõ, èñïîëüçóÿ ìåòîä íåëèíåéíîé åìêîñòè, ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèé çà êîíå÷íîå âðåìÿ.Òðåòüÿ ÷àñòü ÷åòâåðòîé ãëàâû ïîñâÿùåíà àíàëèçó óðàâíåíèé òèïà Êîðòâåãà-äåÔðèçà ñ äèññèïàöèåé: íàïðèìåð, ìàãíèòîçâóêîâûå è àëüôâåíîâñêèå âîëíû îïèñûâàåòìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå ÊäÔ:ut − u2 ux + βuxxx = νuxx ,18x ∈ (0, L),(33)u|x=0 = ux |x=0 = u|x=L = 0,u|t=0 = u0 (x),ν > 0, β > 0,(34)Ìåòîäîì íåëèíåéíîé åìêîñòè óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:Òåîðåìà î ðàçðóøåíèè.Ïóñòü íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ u0 (x) ∈ L1 ([0, L]) çàäà÷è óäî-âëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâóZL2νu (x, t) exp − x3β2dx >8ν 29βïðè t = 0,0òîãäà íå ñóùåñòâóåò ãëîáàëüíîãî âî âðåìåíè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, ïðè÷åì èìååòìåñòî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâîa 1 + c0 exp(2akt)J(t) >, lim J(t) = +∞,k 1 − c0 exp(2akt) t→T1T 6−ln2akkJ0 − akJ0 + a,c0 =kJ0 − a.kJ0 + a ýòîé æå ÷àñòè ðàáîòû ðåøàåòñÿ âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé â íåîãðàíè÷åííûõîáëàñòÿõ: íà ïîëóïðÿìîé è ïðÿìîé. ÷åòâåðòîé ÷àñòè ïîëó÷åíî ðàçðóøåíèå è îöåíêè íà âðåìÿ ðàçðóøåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ ÁåíäæàìåíàÁîíàÌàõîíèÁþðãåðñà:∂(uxx − u) + uxx + uux = 0,∂t(35)óðàâíåíèå ÐîçåíàóÁþðãåðñà:∂(uxxxx − u) + uxx + uux = 0,∂t(36)è óðàâíåíèå Êîðòåâåãà äå-ÔðèçàÁåíäæàìåíàÁîíàÌàõîíè:∂(uxx − u) + uxxx + uux = 0,∂t(37)è äîêàçàíà ëîêàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü ïðè åñòåñòâåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, ìåòîäîìñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé.
Ðåçóëüòàòû î ðàçðåøèìîñòè è ðàçðóøåíèè, íàïðèìåð, äëÿçàäà÷è Áåíæàìåíà-Áîíà-Ìàõîíè-Áþðãåðñà:∂(uxx − u) + uxx + uux = 0,∂tu(0, t) = ux (0, t) = 0,x ∈ (0, L),u(x, 0) = u0 (x),t > 0,x ∈ [0, L],t > 0,(38)(39)ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàííû â ñëåäóþùåì âèäå:Òåîðåìà î ðàçðåøèìîñòè(2)Äëÿ ëþáîãî u0 ∈ C0 ([0, L]) íàéäåòñÿ òàêîå T0 > 0,÷òî ëèáî T0 = +∞, ëèáî T0 < +∞ è ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è ÁÁÌÁêëàññà(2)u(x)(t) ∈ C(1) ([0, T0 ); C0 ([0, L])),19ïðè÷åì â ñëó÷àå T0 < +∞ èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâîlim sup sup |u(x)(t)| = +∞.t↑T0Òåîðåìà î ðàçðóøåíèèx∈[0,L]Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà λ > 3íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïðè t = 0 :ZLJ(t) =(L − x)λ−3 [λ(λ − 1) − (L − x)2 ]((L − x)u(x, t) − (λ − 1)) dx >mk0èëè, ÷òî òîæå ñàìîåZL(L − x)λ−2 [λ(λ − 1) − (L − x)2 ]u0 dx >0> (λ − 1)Lλ−11/2 λ(λ − 1)21λL4 2 λ − 2 − 2 λ (λ − 1)L + λ(λ + 2) +λ(λ − 1)2 λ−2 λ − 1 λ+L−L ,λ−2λòîãäà íå ñóùåñòâóåò ãëîáàëüíîãî âî âðåìåíè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ÁÁÌÁ,ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà ñíèçóJ(t) >m (kJ(0) + m) + (kJ(0) − m) exp(2mkt),k (kJ(0) + m) − (kJ(0) − m) exp(2mkt)è, çíà÷èò,1kJ(0) − mlim J(t) = +∞, T 6 Tb 6 −ln,t→Tb2mkkJ(0) + m−1(λ − 1)2 LλL2−λ λ(λ − 1)21λL4 222m =, k =− 2 (λ − 1)L +.22 λ−2λλ(λ + 2) Äëÿ âñåõ ïðîàíàëèçèðîâàííûõ çàäà÷ â ýòîé ÷àñòè ðàáîòû ïîëó÷åíû îöåíêè íà âðåìÿðàçðóøåíèÿ, îöåíêè ñêîðîñòè ðàçðóøåíèÿ, òàêæå ðàññìîòðåíû âîïðîñû î ðàçðóøåíèèè â íåîãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ.ÂÇàêëþ÷åíèèäèññåðòàöèîííîé ðàáîòû ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû.20Áèáëèîãðàôèÿ.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå àâòîðîì è îïóáëèêîâàííûå â ðåôåðèðóåìûõ æóðíàëàõ, ïðåäñòàâëåíû ñëåäóþùèìè ðàáîòàìè:1.
Þøêîâ Å. Â., Àëüøèí À.Á., Êîðïóñîâ Ì.Î. Áåãóùàÿ âîëíà êàê ðåøåíèå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ â ïîëóïðîâîäíèêàõ ñ ñèëüíîé ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé. ÆÂèÌÔ,2008, ò.48, 5, ñ. 764-768.2. Þøêîâ Å.Â. Èññëåäîâàíèå ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ îäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. Ìàòåì. çàìåòêè, 2011,90:4,ñ. 613-629.3.
Þøêîâ Å.Â. Èññëåäîâàíèå ñóùåñòâîâàíèÿ è ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ îäíîãî óðàâíåíèÿïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, 2011, ò.47, 2, ñ. 291295.4. Þøêîâ Å.Â., Þøêîâ Â. Ï. Ðàññåÿíèå àêóñòè÷åñêèé âîëí íà òóðáóëåíòíûõ ôëóêòóàöèÿõ äàâëåíèÿ è ýíòðîïèè. Âåñòí.
Ìîñê. Óíèâ., Ñåð. 3, Ôèç. Àñòð., 6, 2011, ñ.114-120.5. Þøêîâ Å.Â. Î ðàçðóøåíèè ðåøåíèé óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà ïðè ñïåöèàëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, 2012, Ò.48, 9, C.12-34.6. Þøêîâ Å.Â. Î ðàçðóøåíèè ðåøåíèÿ çàäà÷ ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà ñ ñèíãóëÿðíûìèñòî÷íèêîì. ÆÂÌèÌÔ, Ò.52, 8, ñ. 1-13, 2012.7. Þøêîâ Å.Â. Î ðàçðóøåíèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ðîäñòâåííîãî óðàâíåíèþ Êîðòâåãà-äåÔðèçà. ÒÌÔ, 2012,172:1,ñ.64-72.8.
Þøêîâ Å.Â. Î ðàçðóøåíèè ðåøåíèÿ â ñèñòåìàõ òèïà Êîðòâåãà-äå Ôðèçà. ÒÌÔ,2012,173:2,ñ.197-206.9. Þøêîâ Å.Â. Î ðàçðóøåíèè ðåøåíèÿ íåëîêàëüíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ìàòåì., 2012,2176:1,c. 201-224..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
