Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа (1103246), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïðè÷åì ìîìåíò âðåìåíè T0200>0ìàêñèìàëåí â òîì ñìûñëå, ÷òî ëèáî T0 = +∞, ëèáî T0 < +∞ è òîãäà èìååò ìåñòîïðåäåëüíîå ðàâåíñòâîlim sup ((u, u)) = +∞.t↑T0Ñ ïîìîùüþ àïðèîðíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ îöåíîê ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòüîáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî íåðàâåíñòâà âèäà: 0 200Φ Φ − α Φ + βΦ2 + γΦ4/(q1 +2)+1 > 0(10)äëÿ íåêîòîðîé ýíåðãåòè÷åñêîé ôóíêöèè, çàïèñûâàåìîé ÷åðåç íîðìû â ñîîòâåòñòâóþùèõïðîñòðàíñòâàõ:1q1 + 1Φ(t) ≡ ((u, u))H +||u||qL1q+2.1 +22q1 + 2Ïðè îïðåäåëåííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ íà Φ(t) â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, èç îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî íåðàâåíñòâà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíû îöåíêè ñíèçó, à èç íèõðåçóëüòàò î ðàçðóøåíèè, ñîáñòâåííî, â ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ îáùàÿ èäåÿ ýíåðãåòè÷åñêîãîìåòîäà.
Íàîáîðîò ñ ïîìîùüþ îöåíîê ñâåðõó ðåøàåòñÿ âîïðîñ î ãëîáàëüíîé âî âðåìåíèðàçðåøèìîñòè. Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçðóøåíèè è ðàçðåøèìîñòè èìååò âèä:Òåîðåìà î ðàçðóøåíèè.Ïóñòü âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ ïðåäûäóùåé òåîðåìû. Òî-ãäà ïðè óñëîâèè q1 ≥ q2 > 0 çàäà÷à ðàçðåøèìà â êëàññå u(x, t) ∈ C([0, T ],ñïðàâåäëèâû îöåíêè ñâåðõó:Φ(t) ≤ exp(Bt) ïðè q1 = q2 ,Φ(t) ≤ (Φ0 + (1 − γ)Bt)1/(1−γ) ïðè q1 > q2 ,Åñëè 0 < q1 < q2 è âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿq1 > 2,11H(Ω)), ïðè÷åìu ||||q2 +20 q2 +2u , u )),≥ ((00q1 +6β12γ1q1 +2Φ20 +Φq1 +6 0α1 − 12α1 − q1 +2Φ00 >! 21> 0,òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è ðàçðóøàåòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ T0 > 0, òî åñòü èìååò ìåñòîïðåäåëüíîå ðàâåíñòâîuulim sup(( , )) = +∞,t↑T0ïðè÷åì èìåþò ìåñòî äâóõñòîðîííèå îöåíêè íà âðåìÿ ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ T0 ∈[T1 , T2 ].
Çäåñü ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿq /21−α1,T1 = B0−1 , B0 = q2 2q2 /2 C2q2 +2 Φ02 , T2 = A−11 Φ0q1 +6β12γ1q1 +2Φ20 −Φ),q1 +6 0α1 − 12α1 − q1 +2 4q2 + 22q2 + 3q23 4 q1 + 2 q1 +2(q2 + 2),α1 =1−, β 1 = , γ 1 = C3q1 + 2q2 + 22q1 + 11((Φ00 )2 −A21 = (α1 − 1)2 Φ−2α0q2 −q1çäåñü ∈ (0, 2q). C2 , C3 íàèëó÷øèå êîíñòàíòû âëîæåíèÿ ñîîòâåòñâåííî2 +3H (Ω) â L10q2 +2(Ω),Lq1 +2(Ω) âL (Ω). Åñëè æå âûïîëíåíû óñëîâèÿ:4q2 >u ||||2q12 − 4q1 − 4,q1 − 4q2 +20 q2 +2u , u )),≥ ((0012−4q14−q1β2γ2Φ20 +Φ01α2 − 1α2 − 6−2q4−q1Φ00 >! 21> 0,òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è ðàçðóøàåòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ T0 > 0, è äâóõñòîðîííèå îöåíêèíà âðåìÿ ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ èìåþò âèä T0 ∈ [T10 , T20 ],1−α2T20 = A−1, T10 = B0−1 ,2 Φ0A22= (α2 − 1)22Φ−2α((Φ00 )2012−4q1β2γ24−q12−Φ0 −),6−2q1 Φ0α2 − 1α2 − 4−q1q2 + 22q2 + 3q2 13K q2 + 2−, β2 =, γ2 =,q1 + 1q1 + 2q1 + 2 2 q1 + 2 2 2−q 6(2−q1 )2q12 −4q1 −q1 q2 +4q2 −4q1 +2 4−q1 4−q11ãäå ∈ (0, (2q2 +3)(4−q1 ) ), K = q1 +18C4 4−q1 , çäåñü C4 íàèëó÷øàÿ ïîñòîα2 =ÿííàÿ âëîæåíèÿH (Ω) â L (Ω).106Âòîðàÿ çàäà÷à ñòàâèòñÿ äëÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ÊåëüâèíàÔîéãòà, òî åñòü äëÿ ìîäåëè, îïèñûâàþùåé âÿçêîóïðóãóþ æèäêîñòü ñ ðåîëîãè÷åñêèìñîîòíîøåíèåì îáùåãî èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî âèäà è ñ êóáè÷åñêèì èñòî÷íèêîì:∂(u − 4u) − 4u + (u, ∇)u − |u|2 u −∂tZt012e−(t−s) 4u ds = ∇p,(11)|div u = 0,u t=0|= u0 (x),u ∂Ω×[0,T]= 0,(12)îáëàñòü Ω ⊂ R3 ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñ ëîêàëüíî ëèïøèöåâîé ãðàíèöåé ∂Ω íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè [0, T ], T > 0.Ëîêàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü äàííîé çàäà÷è ìîæåò áûòü äîêàçàíà, êàê è âûøå, ìåòîäîìÃàëåðêèíà.
Îäíàêî ÷òîáû íå äîêàçûâàòü îòäåëüíî åäèíñòâåííîñòü è ðàçðåøèìîñòè, âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ñëàáîãî îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ ëîêàëüíî âî âðåìåíè ðåøàåòñÿ ñïîìîùüþ òåîðèè ñòåïåíè Ëåðå-Øàóäåðà. Ýòîò ïðèìåð ïîçâîëÿåò ñðàâíèòü ïðåäëîæåííûé ìåòîä Ãàëåðêèíà ñ äðóãèì, íå ìåíåå ìîùíûì ìåòîäîì ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà,íî äàþùèì áîëåå ñëàáûé ðåçóëüòàò äëÿ ðåøåíèÿ â ñëàáîì ñìûñëå.Îïðåäåëåíèå.uÏîä ñëàáûì îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (11)-(12) ìû ïîíèìàåìHðåøåíèå (x, t) ∈ W äëÿ ëþáîãî ϕ ∈ (Ω) è ïî÷òè âñåõ t ∈ (0, T ) ñëåäóþùåé çàäà÷èZZt ∂ ( − 4 ) − 4 + ( , ∇) − | |2 − e−(t−s) 4 ds ϕ dx = 0, |t=0 = 0 (x);∂tuuu u u uuuuu0ΩÒàêæå ìîæíî äîêàçàòü ðàçðóøåíèå ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ íà÷àëüíûõ äàííûõ.ÏóñòüÒåîðåìà î ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè è ðàçðóøåíèè.u0∈H(Ω) èâûïîëíåíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿβΦ (0) >Φ(0) +α−10γα−11/2Φ(0).uÒîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ñëàáîå îáîáùåííîå ðåøåíèå (x) çàäà÷è (11)-(12), ïðè-u : u(x)(t)íàäëåæàùåå êëàññó {∈ C(0, T ;H(Ω)); u (x)(t)0∈ L2 (0, T ;H(Ω))}, ∀ T∈(0, T0 ).
Èìååò ìåñòî ðàçðóøåíèå ðåøåíèÿ çà âðåìÿ T0 , ïðè÷åì äëÿ ýòîãî âðåìåíèñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà T0 ∈ (T1 , T2 ). Äëÿ T1 è T2 èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèåâûðàæåíèÿ:u ||H(1 + 2C74 )(||02(Ω)β=02(Ω)+ (1 + T1 )2 T1 )T1 = 1,Φ1−α (0)T2 =α = 2(1 − ε),u ||X+ ||(α −1)Φ(0)−α15,4εγ =2+h0Φ (0) −1145,32ε2βΦ(0)α−1−i1/2 ,u ||Hε ∈ (0, 1/2),ãäå C7 ïîñòîÿííàÿ íàèëó÷øåãî âëîæåíèÿγΦ(0)2α−1Φ(0) = ||02(Ω)u ||X+ ||02(Ω) ,H(Ω) â L (Ω).4Äàííàÿ çàäà÷à ïîêàçûâàåò íå òîëüêî ðàçðóøàþùèé õàðàêòåð èñòî÷íèêîâ â èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûõ çàäà÷àõ ãèäðîäèíàìèêè, íî è äåìîíñòðèðóåò âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ê çàäà÷àì î âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòÿõ â îãðàíè÷åííûõ îáúåìàõ, îáøèðíîé òåîðèèðàçðóøåíèé, ñîçäàííîé äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñîáîëåâñêîãî òèïà.13 òðåòüåé çàäà÷å î äâèæåíèè æèäêîñòè Êåëüâèíà-Ôîéãòà â îãðàíè÷åííîé îáëàñòèèññëåäîâàíî âëèÿíèå ñèíãóëÿðíûõ èñòî÷íèêîâ íà ïðèìåðå çàäà÷è∂|u|q(u − 4u) − ν4u + (u, ∇)u − σ u = −∇p,∂t|x||u t=0= u0 (x),(13)div u = 0.(14)Ñîâìåñòíûì ïðèìåíåíèåì ìåòîäà Ãàëåðêèíà è ýíåðãåòè÷åñêèõ îöåíîê äëÿ ñèíãóëÿðíûõèñòî÷íèêîâ äîêàçûâàåòñÿ ëîêàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü, åäèíñòâåííîñòü è ðàçðóøåíèå çàêîíå÷íîå âðåìÿ:Òåîðåìà î ðàçðåøèìîñòè.uÄëÿ ëþáîãî0∈H(Ω) ïðè óñëîâèè q∈ [0, 4), σ ∈[0, (4 − q)/2) ñóùåñòâóåò ñëàáîå îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (13)-(14) êëàññàu ∈ L∞ (0, T;H(Ω)),u0 ∈ L2 (0, T;H(Ω)),∀ T ∈ (0, T0 ),ïðè÷åì ìîìåíò âðåìåíè T0 > 0 ìàêñèìàëåí â òîì ñìûñëå, ÷òî ëèáî T0 = +∞, ëèáîT0 < +∞ è òîãäà èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâîuulim sup (( , )) = +∞.t↑T0Ðåçóëüòàò î ðàçðóøåíèè ñëàáîãî îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå:Òåîðåìà.Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû î ðàçðåøèìîñòè è ïðè óñëîâèè íàíà÷àëüíóþ ôóíêöèþ(Φ00 )2 >β2γΦ20 +Φ3−2αα−12α − 3 0ñëàáîå îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (5)-(6) ñóùåñòâóåò è ðàçðóøàåòñÿ çà êîíå÷îå âðåìÿT0 > 0, äðóãèìè ñëîâàìè èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâîuulim sup(( , )) = +∞,t↑T0è äâóõñòîðîííèå îöåíêè íà âðåìÿ ðàçðóøåíèÿ T0 ∈ [T1 , T2 ].T1 = B0−1 = (q2q/2 C2q+2 Φ0 q/2)−1 , T2 = A−1 Φ01−α ,β2γ23−2α22 −2α0 2A = (α − 1) Φ0(Φ0 ) −Φ −Φ,α − 1 0 2α − 3 0q+2ν+3q+26C34 (q + 2)α=1−, β=, γ=,2222çäåñü C3 ïîñòîÿííàÿ âëîæåíèÿH (Ω) â L (Ω), ∈ (0,104q−1 2).q+2 ν+3 ïîñëåäíåé, ÷åòâåðòîé çàäà÷å èññëåäóåòñÿ ðàçðóøåíèå ðåøåíèé ñèñòåì ñ íåëèíåéíîé âÿçêîñòüþ, ïðåäëîæåííûõ Î.À.
Ëàäûæåíñêîé â 70-õ ãîäàõ ïðîøëîãî âåêà:(u − 4u)t + (u, ∇)u − V is(u)4u − u3 = −∇p,14div u = 0,(15)|u ∂Ω= 0,|u t=0= u0 (x),(16)ãäå íåëèíåéíàÿ âÿçêîñòü V is(u) õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé:Z X3 ∂ui 2ν0 + ν1 ∂xj dx èëè, ÷òî òî æå,i,j=1Zrot2 u dx.ν0 + ν1Îïèðàÿñü íà ãëîáàëüíóþ ðàçðåøèìîñòü, â 1966 áûëà ïîäòâåðæäåíà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ýòîé ñèñòåìû çàìåñòî íåêîððåêòíîé ñèñòåìû Íàâüå-Ñòîêñà.
Òàêèì îáðàçîì, âî âòîðîé ãëàâå ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ çàäà÷ ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà â îãðàíè÷åííîéîáëàñòè ìåòîä ýíåðãåòè÷åñêèõ îöåíîê îêàçûâàåòñÿ íå òîëüêî ïðèìåíèì äëÿ èññëåäîâàíèÿ ÿâëåíèÿ ðàçðóøåíèÿ, íî è óäîáåí äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîñòàòî÷íî òî÷íûõ îöåíîê âðåìåíèíåîãðàíè÷åííîãî ðîñòà. òðåòüåé ãëàâåèññëåäóåòñÿ âëèÿíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ðàçðóøåíèÿ ðåøå-íèé íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. Îñíîâíîé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ìåòîä íåëèíåéíîé åìêîñòè, íî â îòëè÷èå îò åãî îðèãèíàëüíîãî ïðèìåíåíèÿ äëÿ çàäà÷è Êîðòâåãà-äå Ôðèçà, âîïðîñ î ðàçðóøåíèè ðåøàåòñÿ äëÿ êëàññè÷åñêèõ ñèñòåì ÍàâüåÑòîêñà è Ýéëåðà, à òàêæå ìîäåëüíîé ñèñòåìû ñ ïðîèçâîäíûìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.Îñíîâíîé íåäîñòàòîê ìåòîäà îòñóòñòâèå äîêàçàòåëüñòâà ðàçðåøèìîñòè, îäíàêîäëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî âîïðîñà â ëîêàëüíîì ñìûñëå ìîãóò áûòü ïðèâëå÷åíû ðåçóëüòàòûÎ.À. Ëàäûæåíñêîé î ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.Ïåðâîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà Íàâüå-Ñòîêñà â öèëèíäðå âûñîòîé H ðàäèóñà R:∂u+ (u, ∇)u − ν4u + ∇p = 0, div(u) = 0,∂t|u t=0= u0 (x),uz (ρ, ϕ, 0) = 0, uρ (R, ϕ, z) = uρ (0, ϕ, z) = 0,Z2π ZH0∂uz(R, ϕ, z)dϕdz +R∂ρ0(17)(18)Z2π ZR ∂uz(ρ, ϕ, 0) dϕdρ = h(t) ∈ C[0, +∞).uz (ρ, ϕ, H) − H∂z00(19)â êîòîðîé óäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ñ.È.
Ïîõîæàåâûì ïîêàçàòü íàëè÷èå ðàçðóøåíèÿðåøåíèÿ ïðè ñïåöèàëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå òåîðåìû:Òåîðåìà î ðàçðóøåíèè.Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Íàâüå-Ñòîêñà íå ñóùå-ñòâóåò ãëîáàëüíî âî âðåìåíè ïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1. Ïóñòü f (t) ≥ 0, òîãäà ïðè óñëîâèè J(0) > 0 èìååò ìåñòî îöåíêà ñíèçóZJ(0), J(t) = uz ( , t)(H − z)d ,J(t) ≥1 − J(0)k 2 txΩ15xèìååò ìåñòî îöåíêà íà âðåìÿ ðàçðóøåíèÿT∞ ≤1;J(0)k 22. Ïóñòü f (t) ≥ a2 > 0, òîãäàaJ(t) ≥ tan(akt + c0 ), c0 = arctankkJ(0)a,èìååò ìåñòî îöåíêà íà âðåìÿ ðàçðóøåíèÿT∞ ≤π/2 − c0;ak3.
Ïóñòü f (t) ≥ −a2 > 0, òîãäà ïðè óñëîâèè kJ(0) > |a| èìååò ìåñòî îöåíêà ñíèçóJ(t) ≥kJ(0) − aa 1 + c0 eakt,, c0 =aktk 1 − c0 ekJ(0) + aèìååò ìåñòî îöåíêà íà âðåìÿ ðàçðóøåíèÿkJ(0) + a1T∞ ≤ln.2akkJ(0) − aÇäåñü f (t) = g(t) + h(t), ãäåZR Z2πg(t) ≡ −ρHp(ρ, ϕ, 0)dρdϕ.00Âòîðàÿ çàäà÷à ñòàâèòñÿ äëÿ ìîäåëüíîé ñèñòåìû∂(42 u − 4u + u) + (u, ∇)u + ∇p = 0, div u = 0,∂t|u t=0= u0 (x),(20)ñõîäíîé ñ ñèñòåìîé äëÿ ñïèíîâûõ âîëí â ïàðàëëåëåïèïåäå Ω = [0, L1 ] × [0, L2 ] × [0, L2 ].Òàêèì îáðàçîì, â òðåòüåé ãëàâå ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà íåëèíåéíîé åìêîñòè äëÿ àíàëèçà íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ãèäðîäèíàìèêè. Ïîñêîëüêó äàííûé ìåòîä ÷óñòâèòåëåí ê ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ñôîðìóëèðîâàòü îáùèå òåîðåìû ïðåäñòàâëÿåòñÿ çàòðóäíèòåëüíûì è êàæäûé ñëó÷àé ïðèõîäèòñÿ àíàëèçèðîâàòü îòäåëüíî. ÷åòâåðòîé ãëàâå äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû îñíîâíûì ðàáî÷èì ìåòîäîì äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðàçðóøåíèÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ìåòîä íåëèíåéíîé åìêîñòè, íî íà÷àëüíî-êðàåâûåçàäà÷è ñòàâÿòñÿ äëÿ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé òèïà Êîðòâåãà-äå Ôðèçà.
Çàìåòèì, ÷òî ìíîãèå èç ýòèõ óðàâíåíèé âñòðå÷àþòñÿ â îáëàñòÿõ íåëèíåéíîé ôèçèêè, íèêàê íå ñâÿçàííûõñ ãèäðîäèíàìèêîé, â êîòîðîé èññëåäóåìûå ìîäåëè îïèñûâàþò, â îñíîâíîì, ðàçëè÷íûåïðèáëèæåíèÿ ìîäåëè ìåëêîé âîäû.16 ïåðâîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è, ñîîòâåòñòâóþùèå îáîáùåííîé ñèñòåìå Êîðòâåãà-äå Ôðèçà:"#N1 X∂t uk + ∂x ukakj uj + ∂x2 uk = 0,2 j=1k = 1, ..., N,(21)ñèñòåìå ÊäÔ-ÊäÔ:1ηt + ux + (ηu)x + uxxx = 0,61ut + ηx + uux + ηxxx = 06(22)(23)è åå ñèììåòðè÷íîìó àíàëîãó:11ηt + ux + (ηu)x + uxxx = 0,26(24)311ut + ηx + uux + ηηx + ηxxx = 0.226(25)Ìåòîäîì íåëèíåéíîé åìêîñòè äîêàçûâàåòñÿ ðàçðóøåíèå ðåøåíèé çà êîíå÷íîå âðåìÿïðè åñòåñòâåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ.Ðàçðóøåíèå â çàäà÷àõ (21-25) ÿâëÿåòñÿ âïîëíå îæèäàåìûì, òàê êàê äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êâàçèëèíåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåì ðåçóëüòàò î ãëîáàëüíîé íåðàçðåøèìîñòèáûë ïîëó÷åí â ñåðåäèíå ïðîøëîãî âåêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
