Диссертация (1103230), страница 7
Текст из файла (страница 7)
при переходе от = 0 до = 1 и от = 1 до = 2 , матрицыпросто перемножаются:0 = (2 ) × (2 ), где (2 ) = 1 (1 )2 (2 − 1 )(1.25)Этот результат немедленно можно обобщить на случай непрерывного ряда слоистыхсред, расположенных в областях 0 ≤ ≤ 1 , 1 ≤ ≤ 2 , . . . , −1 ≤ ≤ , Если1 , 2 , . . .
, — характеристические матрицы сред, то:0 = ( ) × ( ), где ( ) = 1 (1 )2 (2 − 1 )... ( − −1 ).(1.26)Исторически сложилось так, что матричный метод одним из первых был применен длярасчета и анализа периодических структур оптического диапазона [66]. Поэтому физическиесвойства веществ, из которых изготавливаются слои структуры, в формализме матричногометода принято записывать через показатель преломления среды.29В поглощающих средах относительная диэлектрическая проницаемость содержит мни√мую компоненту = ′ + ′′ , поэтому показатель преломления = становится комплексным [67]: = ′ + . В области оптических частот, где = 1, действительная частьпоказателя преломления записывается через мнимую и действительную части относительнойдиэлектрической проницаемости:√︃√′ 2 + ′′ 2,2(1.27)√︃ √′ 2 + ′′ 2 − ′,=2(1.28)′ =′ +Действительная часть показателя преломления ′ описывает, собственно, преломление, амнимая часть описывает поглощение в среде энергии падающей волны.Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания при расчете матричным методом имеют вид:=(11 + 12 ) − (12 + 22 ),(11 + 12 ) + (21 + 22 )(1.29)=2,(11 + 12 ) + (21 + 22 )(1.30) - элементы характеристической матрицы, а и в случае нормального падения волнына структуру равны показателям преломления первой и последней сред, считая по ходураспространения излучения.
Характеристическая матрица одного слоя структуры имеет вид:(︃ =cos 2 − sin 2 − sin 2 cos 2 )︃,(1.31) — толщина -ого слоя структуры, — его коэффициент преломления, — длина волныизлучения, падающего на этот слой, — мнимая единица. Матрица, описывающая слоистуюструктуру, представляется в виде произведения матриц, описывающих каждый из отдельныхслоев.Обзор литературных источников [10,24,45,62–64] показал, что для теоретических исследований, как правило, используется матричная методика расчета, это вызвано возможностьюработать с более компактными выражениями. Для численного эксперимента и численнойоптимизации чаще применяется метод импедансных характеристик, так как данный методпозволяет использовать рекурсию и тем самым увеличить скорость вычислений.301.4.3Метод конечных разностей во временной областиМетод конечных разностей во временной области (КРВО) в настоящее время являетсяодним из наиболее часто используемых методов численного решения задач электродинамики.
В англоязычной литературе он встречается под названием Finite Difference Time Domain(FDTD). Метод КРВО был предложен около 40 лет тому назад [68], [69], но широкое применение получил только в последнее время. В первую очередь это связанно с появлением ишироким распространением высокопроизводительной вычислительной техники.Метод конечных разностей во временной области может быть использован при расчетедвумерных и трехмерных слоистых структур, фотонных кристаллов [70, 71].Рассмотрим общую постановку задачи о распространении электромагнитного излучения в оптически неоднородной линейной среде с произвольным видом пространственной модуляции диэлектрической проницаемости (, , ).
При этом система уравнений Максвелладля векторов напряженности электрического и магнитного полей и выглядит следующим образом: (,,) = ∇ × ,− = ∇ × . (1.32)(1.33)Полученная система может быть представлена в виде 6 дифференциальных уравнений длякомпонент векторов поля:[︂]︂[︂]︂ =−−=−,,(,,) (,,) (1.34)[︂]︂[︂]︂ =−−,=−,(,,) (,,) (1.35)[︂]︂[︂]︂ ,.=−−=−(,,) (,,) (1.36)В уравнениях Максвелла изменение электрического поля (частная производная) зависит от распределения в пространстве магнитного поля (ротор). Аналогично, изменениеполя зависит от распределения в пространстве поля .На этом наблюдении основан алгоритм численного решения уравнения максвелла Йи[68].
В предложенном алгоритме сетки для полей и смещены по отношению друг к другу на половину шага дискретизации по времени и по каждой из пространственных переменных (1.6). В результате такого представления из полученных конечно-разностных уравненийможно определить поля и на данном временном шаге на основании известных значенийполей на предыдущем шаге.31Рисунок 1.6 — Поля в ячейке сетки. Из таких ячеек составляется пространственная трехмерная сетка ЙиПри заданных начальных условиях алгоритм дает эволюционное решение во временнойобласти с заданным временным шагом.
Этот подход позволяет использовать центральнуюразность для аппроксимации уравнений Максвелла, обеспечивая второй порядок точности,применяя численное дифференцирование первого порядка. Для расчета спектральных характеристик структуры на основе результатов моделирования из временной области используется преобразования Фурье.Метод относительно устойчив.
Для того, чтобы обеспечить высокую стабильность, шагпо времени должен быть рассчитан по самой маленькой ячейке сетки. Включение в моделирование элементов с малыми геометрическими размерами уменьшит временной шаг, чтоприведет к неизбежному увеличению общего времени моделирования. Неравномерная структура сетки или криволинейные поверхности в модели также могут привести к грубой дискретизации сеточной модели, точность которой может быть увеличена за счет локальногоуточнения или (когда это возможно) ротации геометрии, чтобы сетка приближенно соответствовала конформной [72].Как и в любом другом разностном методе, в КРВО существует проблема неточногоотображения границы тела на вычислительную сетку.
Любая кривая поверхность, разделяющая соседние среды и геометрически не согласованная с сеткой, будет искажаться эффектом«лестничного приближения». Для решения данной проблемы можно использовать дополнительную сетку с большим разрешением в тех областях пространства, где расположены тела сосложной геометрической структурой [73].
Также можно видоизменять разностные уравненияв узлах сетки, находящихся вблизи границы между соседними телами [74]. Менее затратнымметодом является введение эффективной диэлектрической проницаемости вблизи границымежду телами [75], [76].321.5Методы синтеза многослойных интерференционных структурЗадача синтеза многослойных структур с заданными спектральными свойствами (заданными коэффициентами пропускания, отражения) является обратной по отношению к проблеме анализа многослойных структур с известными параметрами. Различают следующиеметоды синтеза многослойных интерференционных структур: аналитические, численные икомбинированные [46, 77–79].1.5.1 Аналитические методы синтеза многослойныхинтерференционных структурКак и многие другие обратные задачи в физике, проблема синтеза многослойных структур представляется достаточно сложной.
И если для прямой задачи зачастую удается найтианалитическое решение, то для обратной задачи аналитическое решение можно получитьтолько в специальных случаях [80]. Например, несложные формулы для четвертьволновыхдиэлектрических зеркал [24] позволяют определить число слоев зеркала и их оптическиетолщины, обеспечивающие заданный уровень отражения при заданной частоте падающейэлектромагнитной волны. Однако путем поиска аналитического решения могут быть решены лишь некоторые задачи, причем в ряде случаев далеко не оптимальным образом [81].1.5.2 Численные методы синтеза многослойныхинтерференционных структурДля решения задачи синтеза многослойной структуры часто применяются численныеметоды.
Достижение требуемых параметров производится численной оптимизацией прототипа синтезируемой многослойной структуры [81]. Методы численной оптимизации требуютгораздо больше времени для синтеза структуры с заданными характеристиками, чем аналитические. Важным фактором, влияющим на скорость их работы, является оптимальновыбранный начальный прототип [82].Применяя численный метод синтеза, теоретически возможно получить структуры, спектральные характеристики которых могут быть сколь угодно приближены к заданным. Однако результатом такого синтеза являются многослойные интерференционные структуры,толщины слоев которых существенно различны и должны быть выполнены с очень высокойточностью.
При практической реализации могут возникнуть трудности с достижением тре33буемой точности при нанесении составляющих покрытие слоев, что приведет к отклонениюспектральных характеристик структуры от заданных.В зависимости от выбранного алгоритма синтеза в процессе оптимизации могут измениться как толщины слоев, так и их количество в структуре, например, как в методеигольчатого синтеза [78].
Применение численных методов позволяет эффективно создаватьапериодические структуры с большим числом слоев [44].1.5.3 Комбинированные методы синтеза многослойныхинтерференционных структурНесмотря на то, что существует большое количество подходов к проблеме численногосинтеза МИС, основные трудности при использовании любого из них возникают тогда, когдаотсутствуют хорошие начальные приближения к искомому решению.Как уже отмечалось выше, в некоторых специальных случаях удается получить параметры многослойной структуры с заданными характеристиками аналитически. Полученнаяструктура в дальнейшем может использоваться как прототип для численной оптимизации.Например, [64, 79], для структур, состоящих из слоев одинаковой оптической толщины, приусловии, что импеданс любых двух соседних слоев структур изменяется слабо, то есть:≈1+1(1.37)Другими словами, изменение импеданса от слоя к слою происходит медленно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
