Инфракрасные сингулярности в квантовой электродинамике при конечной температуре (1103075), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В первом из них вычисления основываются на понятии удаленногопрошлого и диаграммная техника принимает наиболее простой вид. Рассмотрение же конечных интервалов времени позволяет исследовать болееширокий круг задач. В частности, как отмечалось ранее, оно необходимодля решения поставленной в диссертации задачи.В § 2.3 изложены основы формализма вещественного времени в квантовой теории при конечной температуре, позволяющий вычислять функцииГрина равновесных систем. Этот метод также в диссертационном исследовании для учета влияния тепловой бани на электрон.В § 2.4 описываются открытые вопросы формализма эффективного поля.

Одним из таких вопросов является проблема калибровочной и параметризационной зависимостей эффективных величин. Наиболее остро онавстает при рассмотрении квантовой гравитации и неабелевых калибровочных полей.Другим существенным вопросом является проблема интерпретации инфракрасных особенностей в эффективном поле, т.е. вычисления влияния нанего инфракрасных эффектов. В большинстве предыдущих исследованийавторы обходили эту проблему, вычисляя эффективное поле, создаваемоеклассическим источником. Это позволяло рассматривать задачу на бесконечном интервале времени.

Однако, для исследования поля, создаваемогоэлементарными частицами, и влияния на него инфракрасных эффектов,необходимо отказаться от рассмотрения удаленного прошлого. Диссерта7ция посвящена решению этой проблемы, но также затрагивает и первыйиз сформулированных вопросов.В главах 3-5 излагаются основные результаты диссертации.Глава 3 посвящена постановке задачи и построению формализма дляее решения.В § 3.1 формулируется математическая задача о вычислении эффективного тока и электромагнитного поля нерелятивистского электрона массыm, погруженного в тепловое излучение с температурой T ≪ mc2 .

Длязадания начального условия обосновывается возможность использованияпредположения, что в некоторый (начальный) момент времени t0 электрон и фотонное поле статистически независимы. Это допущение означает,что начальная матрица плотности представляет собой прямое произведение электронной ϱ0 и фотонной e−βHϕ /N матриц плотности (здесь β = 1/T— обратная температура, N — нормировочная постоянная).

Тогда эффективное значение некоторой физической величины, задаваемой операторомF, (например, электромагнитного тока Jµ (x) = ψ̄(x)γµ ψ(x)) в произвольный момент времени определяется как()F eff (t) = N−1 Tr U (t0 , t)F U (t, t0 )ϱ0 e−βHϕ ,где U (t, t0 ) — оператор эволюции на интервале (t0 , t), Tr означает след по всем электронным и фотонным состояниям. ВеличинаU (t, t0 )ϱ0 e−βHϕ U (t0 , t) представляет собой матрицу плотности системы впроизвольный момент времени t > t0 . Электронная матрица плотностипри t > t0 получается из нее, если взять след по фотонным состояниям:()ϱ(t) = N−1 Trϕ U (t, t0 )ϱ0 e−βHϕ U (t0 , t) .Действительно, так как при условии T ≪ mc2 можно пренебречь рождением электрон-позитронных пар, то начальное состояние переводится оператором эволюции в одноэлектронное состояние. Заметим, что таким образомопределенная матрица плотности электрона включает в себя все радиационные поправки, связанные с взаимодействием электрона с фотонами, втом числе с рассеянием тепловых фотонов на электроне и излучение фотонов электроном.

Это видно из того, что сумма в написанном выражениипроизводится по всем возможным фотонным состояниям.Оказывается целесообразным сформулировать инфракрасную проблемув терминах матрицы плотности электрона. А именно, в § 3.1 показывается, что инклюзивное сечение рассеяния связано только с диагональными8Рис. 1. Диаграммы, представляющие однопетлевой вклад в эффективное электромагнитное поле заряженной частицы.

Незакрашенный кружок отвечает точке наблюдения.элементами этой матрицы, в то время как эффективное поле зависит также и от ее недиагональных компонент. Это означает, что сокращение инфракрасно сингулярных при t0 → −∞, t → +∞ вкладов, следующее изтеоремы Блоха-Нордсика и ее обобщения на случай конечной температуры, имеет место лишь для диагональных элементов матрицы плотности.Другими словами, рассмотрение эффективного поля дает важную информацию о системе, которая не содержится в S-матрице.§ 3.2 посвящен особенностям формализма Швингера-Келдыша на конечном интервале времени в случае квантовой электродинамики.

Исследуется вопрос фиксации калибровочной свободы теории. Указываются принципиальные трудности, препятствующие проведению этой процедуры ковариантным образом, в силу которых одной из наиболее удобных оказывается калибровка Кулона, допускающая каноническое квантование. Аименно, показывается, что после перехода к калибровке Лоренца методомФаддеева-Попова в эффективном лагранжиане возникает нековариантныйчлен (последнее слагаемое):Ll = L − (∂ µ Aµ )2 /2ξ − eψ̄γ µ ψ△−1 ∂µ ∂i Ai ,где L — лагранжиан классической электродинамики, ξ — весовой множитель.В § 3.3 приведены правила теории возмущений, доказывается эквивалентность калибровок Кулона и Лоренца.

Следуя методу ШвингераКелдыша, каждой вершине взаимодействия приписывается индекс 1 или2. Пропагаторы приобретают 2 × 2-матричную структуру, причем пропагатор типа (αβ) соединяет вершины типа α и β, где α, β = 1, 2. Точкенаблюдения приписывается индекс 1.Отличие от стандартной формулировки метода Швингера-Келдышапроявляется прежде всего в том, что пропагаторы фотона вычисляются9при конечной температуре вследствие наличия равновесного излучения.Кроме того, так как задача рассматривается на конечном интервале времени, то δ-функции в вершинах, выражающие закон сохранения энергииимпульса, заменяются выражениями00eiv t − eiv t0δ (v) → ∆(v) , ∆(v) =(2π)3 δ (3) (v),iv0где t — время измерения.

Это сглаживание приводит к тому, что эффективные электромагнитное поле и ток оказываются инфракрасно-конечными,и исследование инфракрасных особенностей на конечных временах не требует введения дополнительной регуляризации.Важным отличием диаграммного представления эффективного поля виспользуемом аппарате от S-матричной диаграмматики является отсутствие внешних фотонных линий, соответствующих излученным фотонам ифотонам тепловой бани — влияние последних неявно представлено внутренними фотонными линиями. С этим напрямую связано несокращениеинфракрасных особенностей в эффективном поле, так как при расчете инклюзивного сечения рассеяния именно интегралы по импульсам внешнихфотонных линий, соответствующих неконтролируемому излучению, сокращают инфракрасные расходимости, возникающие при интегрировании поимпульсам виртуальных фотонов в петлях.

Например, в однопетлевом приближении эффективное электромагнитное поле заряженной частицы представлено диаграммами на рис. 1. Инфракрасные сингулярности в диаграммах (a)-(c) не сокращаются. Многие авторы, обходя эту проблему, исследовали лишь поле классического источника, тем самым ограничиваясь рассмотрением диаграммы (d).В § 3.3 обсуждаются причины указанных различий диаграммных техник и показывается, каким образом соотношение унитарности позволяетустановить связь между диаграмматиками в S-матричном формализме иаппарате Швингера-Келдыша.Также в § 3.3 освещены вычислительные тонкости, связанные с правилом обхода полюсов в фейнмановских диаграммах, приведен простойпример вычисления в построенном формализме, демонстрирующий, какимобразом в калибровке Лоренца восстанавливается закон Гаусса.Глава 4 посвящена вычислению вклада инфракрасных особенностей вэффективное поле и интерпретации полученного результата в физическихтерминах.

Общий вид инфракрасно сингулярных диаграмм, дающих вклад410в среднее значение тока, представлен на рис. 2. В § 4.1 произведено прямоесуммирование этих диаграмм как при конечной температуре, так и в вакуумном случае. Выделена ведущая асимптотика при больших временах ипоказано, что она определяется эффектами, связанными с тепловой банейфотонов. Полученный результат можно записать в терминах электроннойматрицы плотности в картине Шредингера, которая в импульсном представлении с учетом инфракрасных эффектов принимает вид()ϱ(t; q, q + p) = exp −Θp2 t eip0 t ϱ0 (q, q + p),(1)гдеΘ=2αT,3m2√q 2 + m2 — энергия электрона с импульсом q,p0 = εq+p − εq , εq =α = e2 /4π — постоянная тонкой структуры (спиновые индексы опущены). Из этой формулы следует, что инфракрасные эффекты приводят кподавлению недиагональных элементов матрицы плотности.

Иными словами, происходит декогеренция состояния электрона, т.е. запутывание его ссостоянием фотонного поля. Этот эффект в дальнейшем называется инфракрасной термализацией. Он имеет место как при конечной, так и принулевой температуре, хотя в последнем случае процесс протекает гораздомедленнее (недиагональные элементы матрицы плотности электрона экспоненциально зависят от времени при конечной температуре и степеннымобразом в вакууме).С другой стороны, вклады в диагональные элементы матрицы плотностиϱ(t; q, q) инфракрасно-конечны. Это означает, что инфракрасные особенности не меняют функцию распределения электрона по импульсам.

В соответствии с обсуждением в § 3.1 исчезновение инфракрасно-сингулярныхвкладов при p = 0 является частным случаем теоремы Блоха-Нордсика.В § 4.2 предложен непертурбативный метод вычисления асимптотикиэффективного поля при больших временах, позволяющий получить приближенное уравнение для матрицы плотности электрона, описывающееинфракрасную термализацию, не прибегая к явному суммированию диаграмм во всех порядках теории возмущений:[]∂ϱ(t; q, q + p) = ip0 − Θp2 ϱ(t; q, q + p).∂t11Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации