Диссертация (1103043), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Параметризация функции диэлектрической проницаемости сучётом проводимостиВ настоящей главе рассмотрены эмпирические параметризации функцииДП, полученные на основе экспериментальных данных о спектрах отраженныхсигналовпригеорадиолокации.Основноевниманиеуделеноучетупроводимости в функции ДП. Определены параметры ДП, описывающиеуменьшение затухания с частотой.Уравнение движения заряженной частицы в электрическом поле с учетомзатухания из-за столкновений имеет вид:mx  kx  eE  x , x(0)  x(0)  0 , E (t )  0 при t  0Применяем преобразование Лапласа:mp 2 X  pX  kX  eFX ( p) ,eF ( p)eF ( p),mp 2  p  k m p 2  p   2где   k / m – собственная частота частицы,    / m ,  - электрическиймомент .

По теореме о сверткеt~x(t )   f ( ) E (t   )d ,0гдеe1~f (t ) .m p 2  p   2Поскольку [25]54e bt sin at e bt shat то,полагаяaa,( p  b) 2  a 2 p 2  2bp  b 2  a 2aa( p  b) 2  a 2 p 2  2bp  b 2  a 2b  /2,a 2   2  b 2   2  ( / 2) 2при  /2иa 2  b 2   2  ( / 2) 2   2 при    / 2 , получим e bt ma e sin at,  / 2  ~.f (t )  e bte shat,  / 2   maВ дальнейшем для определенности будем рассматривать только случай / 2   . Далее 2 bt2f (t ) e sht  2,ap  p   2(2.1.1)4e 2 N m(2.1.2)2где N – число заряженных частиц в единице объема, и  0 2p 2  p   2(2.1.3)Это весьма общее выражение для ДП, включающее все частные случаи,рассмотренные ранее в параграфе 1.

Главное ограничение – здесь учитываетсятолько один тип заряженных частиц, принимающих участие в формированиисигнала. Будем считать, что все остальные частицы или работают призначительно более высоких частотах (например, электроны в атомахпроявляются в оптическом диапазоне), тогда они учитываются слагаемым  0 ,или при значительно более низких, тогда они не играют роли.

Введение55слагаемого  0 соответствует добавлению слагаемого ( 0  1) (t ) в функциюf (t ) .Перейдем к частным случаям. Если заряженные частицы свободны, то  0, иf (t )  ( 0  1) (t ) 2(1  e t )2  0  2p  p(2.1.4)Если эффективная частота соударений гораздо больше, чем частотысигнала, тоf (t )  ( 0  1) (t )   (t )2  0  0   / p ,pгде  2 / -(2.1.5)проводимость.Именно это представление считаетсяобщепринятым и используется в большинстве моделей.

Но оно не можетобъяснить экспериментального факта повышения доли высоких частот вотраженных сигналах.Попытаемся оценить частоту соударений теоретически. Воспользуемсямоделью идеального газа. Поскольку в газе молекулы движутся хаотически, а вжидкости и твердом теле – более упорядоченно, то реальная частотасоударений должна быть меньше этой оценки. Для газа   nvs , где n – числосталкивающихся частиц в единице объема, v – средняя скорость заряженныхчастиц, s – эффективное сечение соударений. Эффективный диаметр молекул8порядка 10[26], соответственно сечение соударений с нейтральными2316частицами s  10 см2. Средняя скорость v  kT / m , где k  1.4  10 Дж/K(постоянная Больцмана),T  200o K ,m  20  1.7  1027 кг(будем считать56характерный атомный вес равный 20). Тогда kT/m ~ 105 м2 /сек2 и v ~300м/сек=3 104 см/сек – примерно скорость звука в воздухе.

Число частиц приплотности 1г/см3 равно примерно 3 1022 см-3. Отсюда для частоты соударенийполучим верхнюю оценку  1011 сек-1. Однако насколько эта оценкауменьшится при учете упорядоченности движения молекул в жидких и твердыхтелах совершенно неясно.Можно попытаться использовать представление (2.1.5) в качествеэмпирической параметризации ДП, как наиболее простое и естественноерасширение общепринятой модели на основании экспериментальных данных оспектрах отраженных сигналов.2.2.

Поляризация, учитывающая только проводимостьРис.2.1. Зависимость действительной (сплошная линия) и мнимой (точки)частей ДП от частоты   Im p при  0  4 ,   0.25 (1) и   4 (2).Обратим внимание, что в этом случае особая точка при ps  0 не являетсясущественно особой точкой подынтегральной функцииV (t , x) 11 (t  xn ) p dpe,i C 1  np(2.2.1)если понимать под существенно особой точку, в любой окрестности которойможно найти любые значения функции. Это связано с тем, что при p  0показатель экспоненты (t  nx) p  0 .

Подынтегральная функция стремится к57(p) 1/ 2 и интеграл по окрестности особой точки стремится к нулю пристягивании контура интегрирования к точке. Таким образом, интеграл (2.2.1)сводится к интегралу по разрезу. Отсутствие вычета в нуле являетсяматематическим следствием того обстоятельства, что проводник качественноиначе реагирует на статическое поле, чем диэлектрик.Для монохроматической волны пространственное распределение поляописывается множителем exp( inx ) (2.2.1).

Поэтому наиболее адекватнойхарактеристикой, описывающей затухание волны, является удельное затухание   Im n (рис 2.2).Рис.2.2. Зависимость удельного затухания от частоты   Im p при 0  4 ,   0.25 (1) и   4 (2).До значений    /  0 высокие частоты затухают быстрее, чем низкие, авыше этой границы удельное затухание перестает зависеть от частоты,стремясь к значению   /(2  0 ). Таким образом, высокочастотные сигналызатухают по закону exp(  x) , почти не меняя своей формы. В области низкихчастот затухание зависит от частоты и при ее снижении может быть скольугодно малым.Как известно, при учете только проводимости интегро-дифференциальнаясистема(1.1.1)–(1.1.3)сводитсякдифференциальномууравнению.58Действительно, в случае (2.1.5) интегральное соотношение (1.1.3) принимаетвидD(t , x)   0 E (t , x)    E (t   , x)d0иD(t , x)   0 E (t , x)  E (t , x) .ttИз (1.1.1) – (1.1.2) следует известное волновое уравнение02EE  2 E0t x 2t 2(2.2.2.)(напомним, что мы продолжаем работать в системе единиц, где скорость2E2E 0 2  2tx , этосвета c =1).

В условиях квазистационарности, когдауравнение переходит в уравнение теплопроводности2E1  E.tx 2Функция Грина этого уравнения имеет видE g (t , x)  x 2  .exp 4t4tДля падающей на диэлектрик “ступеньки” поля (функции Хевисайда)приближенное выражение поля для больших t и малых x можно получить ввиде  ( x  x0 ) 2 C0.E (t , x) exp  4ttЗначение x0 можно получить из граничного условия (1.5)E Et x(2.2.3)59Поскольку  ( x  x0 ) 2 C 0  1  ( x  x0 ) 2 ,E (t , x)  exp  2t4t4tt  2t  ( x  x0 ) 2 C 0   ( x  x0 ) ,E (t , x)  exp  x2t4tt2то при x0 / 2t  1 получаем, чтоx0  1 /  , при t  1 /(2 )(2.2.4)  ( x   1 ) 2 C0 при t  1 /(2 ) .E (t , x) exp  4tt(2.2.5)иБудемназыватьэторешениеуравнениятеплопроводностиУТприближением.

В частности, при x  0E (t ,0) C0 1  C0exp  tt 4t (2.2.6)Численные расчеты показали, что УТ приближение хорошо работает вn   0 (рис. 2.2.4-2.2.5). При n0 x  t амплитуда поляобласти n0 x  0.7t , где 0определяется амплитудой разрыва. Поведение амплитуды было рассмотренодля случая  0  1 . При  0  1 все выкладки остаются справедливыми при n0s .замене s  t  n0 x , x yВ частности, для амплитуды фронта вместо выражения 1.2.17 в разделе 1получимc0 ( y )  12exp  f 0 y  ,n0  1 2n0(2.2.7)60где 2 /(n0  1) – коэффициент пропускания фронта через границу, т.е.коэффициент пропускания при частоте, стремящейся к бесконечности (окоэффициентах отражения и пропускания монохроматической волны [5]).

Внашем случае f 0   и амплитуда фронта равна 2 /(n0  1) exp( t /(2 0 )) , в то1/ 2exp(t /(4 0 )) .время как УТ приближение (2.2.5) дает значение C0tПри n0 x  0.7t истинное значение поля оказывается меньше, чем в УТприближении. С точки зрения уравнения теплопроводности коэффициент C 0определяется тепловым потоком, вошедшим через границу в начале процесса.Однако при малых временах уравнение теплопроводности не справедливо итеоретическое определение C0 затруднительно. Он определяется численно, изсравнения УТ приближения с точным решением.Далее,приграфическомпредставлениирезультатовиспользуетсялогарифмическая шкала.

В представлении результатов в георадарах ГРОТ-10 иГРОТ-11использоваласьквазилогарифмическаяшкала,котораясоответствовала оцифровке данных [27]. Границы значений функции показаныштриховыми линиями, соответствующими интервалам (0,1) для чистоположительных полей или (-1,1) для знакопеременных полей.61Рис.2.3. Функция V(t,x) при  0  4 ,   0.25 . Точки – УТ приближение, C0=2.265.Логарифмическая шкала62Рис.2.4. Функция V(t,x) при  0  4 ,   4 . Точки – УТ приближение, C0=0.5663.Логарифмическая шкалаНа рисунках 2.3, 2.4 показано поле в однородном диэлектрике при падениина него “ступеньки” (функции Хевисайда). Это поле описывается функцией(2.2.1).

Характеристики

Список файлов диссертации