Диссертация (1103043), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда всилу свойств дифференцирования по параметруEFxx ,HGxx .Применение преобразования Лапласа к системе (1.1.6)-(1.1.10) даетF p G,x cG p F ,x c(1.3.1)Fp2p| x0  F | x0 F0 ,xcc ( p, x )  1  g ( p, x ) .Первые два уравнения из (1.3.1) дают волновое уравнение2F p2F .x 2 c 2(1.3.2)При  , не зависящем от x , общее решение уравнения (1.3.2) имеет видF  C1 exp(pp x)  C2 exp(  x) ,cc(1.3.3)где первое слагаемое соответствует волне, идущей в сторону противоположнуюx , а второе – вдоль x . Таким образом, условие излучения можно представить ввидеF ( p, x) | x  C ( p) exp( p  x) .c(1.3.4)32Обозначим через U ( p, x) решение уравнения (1.3.2), удовлетворяющееусловиюU ( p, x) | x  exp( p  x) .c(1.3.5)Тогда из граничного условия в системе (1.3.1) следует, чтоF ( p, x)  W ( p, x) F0 ( p) ,W ( p, x ) 2U ( p, x).c UU ( p,0) ( p,0)p x(1.3.6)В силу теоремы о свертке решение поставленной задачи (1.1.6)-(1.1.10)можно представить в видеtE (t , x)  V (t   , x) E0 ( )d ,(1.3.7)0V (t , x)  W ( p, x) / p .Если E0 (t )   (t ) - функция Хевисайда (1.2.10), то V (t , x)  E (t , x) .

Такимобразом, функция V (t , x) описывает форму сигнала в диэлектрике в случае,когда форма сигнала в вакууме представляет собой ступенчатую функцию.Отметим, что любая функция E0 (t ) , равная нулю при t  0 , может бытьпредставлена в виде разложения по функциям ХевисайдаtE0 (t )   (t   ) E0 ( )d .(1.3.8)01.4. Распространение сигнала в однородном диэлектрикеРассмотрим задачу о распространении сигнала в однородной среде. Вдальнейшем перейдем к безразмерным переменным, где скорость света с = 1, аx - безразмерное время. ТогдаU ( p, x)  exp(  pnx) ,33W ( p, x ) 2exp(  pnx) ,(1  n)(1.4.1) dn  n( p )      i .  ed 1p   - дипольная поляризацияЗдесьi  1 (d),2e 1  2p 2дипольная поляризация с инерцией (i),2( p   )2-электронная-поляризация (e). Отметим, что без ограничения общности можно положить  1 , выбирая  в качестве единицы частоты, а величину 1/  в качествеединицы времени.Для случая однородного диэлектрика:  i11 (t  xn ) p dpV (t , x) e,  0i  i 1  npПри| p | подынтегральное(1.4.2)выражение(1.4.2)принимаетвидp 1 exp p(t  x) .

V (t , x)  0 при t  x  0 .Для дипольной поляризации      1  1 i i n 1in1 1211 i(   )2 O( 3 ) ,n2  O( 3 ) ,(1.4.3)2где n1   / 2 , n2  (   ) / 2   / 8 . Обратим внимание, что здесьпоявилосьслагаемое,пропорциональное i 1 ,чтофизическиинтерпретируется как проводимость. Как уже указывалось выше, это связано с34разрывом функции f (t ) из (1.2.9) при t  0 . Это означает, что скорость припоявлении поля изменяется мгновенно, т.е. не учитывается инерция частиц.Далее11 i2 1  b  O( )  ,p(1  n) 2i  b   / 4  ;(t  xn) p  i (t  x)   (t  x)  n1 x icx  O( 2 ) ,(1.4.4)c  n1  n2   / 2  2 / 8 .СледовательноV A (t , x) 1e1e(t  x )  xn1(t  x )  xn1i dIm  1  d ei (t  x )A(1.4.5)cos (t  x)  sin  (t  x)d  2 d ,Aгде d  b  cx .

Вводя переменную    | t  x | , получимI1  sin  (t  x)Ad  |t  x| Asin d    Si (| t  x | A)  ,2(1.4.6)где  соответствует знаку величины t  x , Si – интегральный синус. Используяинтегрирование по частям, нетрудно убедиться, чтоI2  cos (t  x)A2d cos | t  x | A | t  x | I1 .A(1.4.7)Окончательно получимV A (t , x) cos | t  x | Ae (t  x )  xn1 [1  d | t  x | I1  d O ( A 2 )  .A1(1.4.8)35Разрыв этой функции при x  t , т.е. амплитуда распространяющегося соn x x / 2скоростью света фронта сигнала, равна e 1  e, в полном соответствии с(1.2.18). Затухание амплитуды разрыва обусловлено проводимостью привысоких частотах, что, в свою очередь, связано с отсутствием инерции частиц.Для дипольной поляризации с инерцией 122 O( 3 ) ,(1.4.9)2n 1 O( 3 ) ,221Здесь нет слагаемого, пропорционального  i , т.е.

проводимость сростом частоты стремится к нулю. Далее имеем11 i2 1    O( )  ,p(1  n) 2i  i 2(t  xn) p  i (t  x)   (t  x) x  O( 2 ) , 2V A (t , x) 1e( t  x )(1.4.10)i dIm  1  d e i (t  x ),A2d  x2 , что формально совпадает с (1.4.4) при n1  0 .гдеОкончательно получаемV A (t , x) cos | t  x | Ae (t  x ) [1  d | t  x | I1  d O( A 2 )A1(1.4.11)амплитуда распространяющегося со скоростью света фронта сигнала постояннаи равна единице.Для электронной поляризации 122 O( 3 ) ,(1.4.12)36что совпадает с (1.4.9).

Следовательно, все результаты для дипольнойполяризации с инерцией справедливы и в этом случае.1.5. Результаты численного моделированияМоделировалось распространение волны внутри однородного диэлектрикапри падении на него электрического поля, представляющего собой единичнуюступеньку (функцию Хевисайда). Этот процесс описывается формулой (1.4.2)Прямое численное вычисление интеграла по бесконечному интервалуневозможно, и поэтому для расчета интеграла (1.4.2) вдоль комплексной осинеобходимо провести аналитическую оценку.Кроме численного аспекта здесь присутствует и аналитический: приизменении знака t  x интеграл терпит разрыв.

Ясно, как можно оценивать этотинтеграл – необходимо рассмотреть асимптотику n( p) при    ( p    i ).При этом будем ограничиваться членами второго порядка малости.V (t , x) 11 (t  xn ) p dpei C 1  np(1.5.1)где контур С охватывает все особенности подынтегральной функции,расположенные в правой полуплоскости комплексного аргумента p. Массивзначений функции V (t , x) на достаточно мелкой сетке запоминался на жесткомдиске компьютера. Поле от сигнала произвольной формы вычислялосьпосредством свертки (1.3.7).Исследования показали, что точность вычислений решающим образомзависит от выбора контура интегрирования в 1.5.1. Был разработан алгоритм,позволяющий для каждой точки (x, t) выбирать оптимальный контур иззаданного однопараметрического семейства контуров интегрирования.

Дляэтого из однопараметрического семейства выбиралось конечное подмножествоконтуров. При достаточно грубой сетке интегрирования прямым перебором37определялся контур, точность расчета на котором максимальна. Точностьрасчета определялась сравнением значений интеграла на исходной и удвоеннойсетках интегрирования.

Затем, на оптимальном контуре, выбиралась сеткаобеспечивающая заданную (или максимальную, если заданная оказываласьнедостижима)точностьрасчета.Разумное распределениеточексеткиинтегрирования по фрагментам контуров (как правило, дугам окружностей иотрезкам прямых) обеспечивалось автоматическим выбором сетки на каждомиз фрагментов.

Результаты расчетов представлены в виде графиков.Дипольная поляризацияРезультаты расчетов представлены на рис.1.1, 1.2, 1.3.Рис.1.1. Зависимость ДП от частоты   Im p для случая дипольнойполяризации   1 ,   238Рис.1.2. Функция V (t , x) для случая дипольной поляризации   1 ,   2Рис.1.3. Распространение сигналов с периодами падающей волны T=2 (слева) иT=20 (справа) в среде с дипольной поляризацией   1 ,   2Интересно, что при t>20 форма сигналов от падающих волн с периодами,отличающимися в 10 раз, практически одна и та же.

В то же время амплитуды39сигналов отличаются в 50 раз, хотя амплитуды падающих волн одинаковы. Этообъясняется тем, что рост | Im  | в окрестности    приводит к быстромузатуханию всех частот, больших  .Дипольная поляризация с инерциейРезультаты расчетов представлены на рис.1.4, 1.5, 1.6.Рис.1.4. Зависимость ДП от частоты   Im p для случая дипольнойполяризации с инерцией   1 ,   2Рис.1.5. Функция V (t , x) для дипольной поляризации с инерцией   1 ,   240Рис.1.6.

Распространение сигналов с периодами падающей волны T=2 (слева) иT=20 (справа) для дипольной поляризацией с инерцией   1 ,   2Каждыйсигналприраспространенииразбиваетсянадва:одинраспространяется со скоростью света, а второй – с низкочастотной групповойскоростью.

Картинка высокочастотного сигнала имеет качественный характер,поскольку сетки, на которой вычислялась функция V (t , x) (шаг сетки былвыбран 0.1 по t и x), недостаточно для точного вычисления свертки.Электронная поляризацияРезультаты расчетов представлены на рис.1.7, 1.8, 1.9.41Рис.1.7. Зависимость ДП от частоты   Im p для случая электроннойполяризации   1 ,   2Рис.1.8. Функция V (t , x) для электронной поляризации   1 ,   242Рис.1.9. Распространение сигналов с периодами падающей волны T=2 (слева) иT=20 (справа) для электронной поляризации   1 ,   2На рис.

1.9 представлен пример распространения в среде с собственнойрезонансной частотой, без поглощения ( Im  ( )  0 ). Резонансная частота   1соответствует периоду T  2 /   6.28 . Период T=2 примерно в 3 раза меньшерезонансного, T=20 – в три раза больше. Видно, что периоды, меньшерезонансных, гораздо эффективнее раскачивают резонансную частоту.1.6.Сопоставлениеэкспериментальными даннымирезультатовмоделированиясПри георадиолокационном исследовании реальных сред роль того илииного механизма поляризации во взаимодействии с электромагнитнымимпульсомбудетопределятьсясоотношениемхарактерноговремениустановления этого вида поляризации с характерной длительностью импульса.Например,есливдиэлектрикепреобладаютбыстрые(относительнодлительности импульса) поляризационные процессы и проводимость низка, томожно наблюдать эффекты, полученные для дипольной поляризации врассмотренной модели.43Вкачествеиллюстрациирассмотримданные,полученныепригеорадиолокационном зондировании в соляных шахтах на глубине около 600метров от поверхности, где проводимость очень низка.

Для поваренной икалийной солей характерны эффекты ориентационной поляризации с малымвременем установления, которые на несколько порядков превосходят эффектсмещения зарядов, поэтому последним часто пренебрегают [23]. Как следует израсчетов для случая дипольной (ориентационной) поляризации, изменениедлительности импульса слабо сказывается на форме и, в основном, влияет наамплитуду импульса. В эксперименте удалось проанализировать зависимостьглубины проникновения сигнала от длины импульса передатчика.Экспериментальные данные были полученны в ОАО «Белгорхимпром» сиспользованием георадара «ГРОТ-12».

На рисунках 1.10а и 1.10б представленыфото и схема эксперимента по локализации затопленных выработок, то естьзаполненных рассолом.Рис. 1.10а. Фотосъемка проведения исследований в шахтах44Рис.1.10б. Схема эксперимента.Красной линией обозначен профиль георадарной съемки, пройденныйгеорадаром ГРОТ-12 с антеннами длиной 2 метра и передатчиком с импульсноймощностью1мегаваттпостене выработки(Рис.1.10б).Всинихпрямоугольниках выработки, заполненные рассолом (по предварительнымданным).

Характеристики

Список файлов диссертации