Диссертация (1103043), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Этопредполагает максимально полное использование полезной информации,которую можно извлечь из ограниченности сигнала по времени.Ещеодноположение,котороенарушаетпредположениеобограниченности спектра – это принцип причинности, в данном случаеутверждение, что реакция вещества не может начаться раньше, чем в немпоявилось поле.

Принцип причинности математически формализован в23уравнении (1.1.8), которое устанавливает связь между действительной имнимой частями ДП. Это так называемая формула Крамерса – Кронинга [1].Как правило, при численном моделировании процессов распространенияимпульсных сигналов в средах с дисперсией, высокие частоты зачастую простоотбрасываются, и используется модель сигналов с ограниченным спектром.Такой подход оправдывается тем, что основная энергия падающего сигналасосредоточена в сравнительно узкой спектральной области. Большую рольиграет и то обстоятельство, что ограниченность спектра существенно упрощаетчисленные расчеты. При таком подходе рассчитанный отраженный сигналформально неограничен по времени и, строго говоря, появляется раньше, чемначинает работать передатчик, даже если соотношение Крамерса-Кронингавыполняется.

Очевидно, что результаты такого моделирования будет непростоставить в соответствие реальным экспериментальным данным, полученным сиспользованием коротких, сверхширокополосных импульсов.Усложнив себе математическую модель взаимодействия импульса сосредой будем предполагать, что имеем дело с моноимпульсной системойзондирования, когда частота следования и длительность излучаемых сигналовпозволяют рассматривать их как единичные изолированные импульсы, невлияющие друг на друга и на исследуемую среду в процессе всего циклаизмерений.Будем исследовать свойства ограниченного по времени, и, следовательно,неограниченного по спектру сигнала.

Будем использовать модели, в которых ненарушается принцип причинности. Такие решения будем называть точными, ибудем сравнивать их свойства с приближенными решениями – решениями сограниченнымспектром.Будемоставатьсяврамкаходномерногоприближения. Дадим математическую формулировку задачи с использованиемуравнений Максвелла:divD  0 , divB  0 ,24rotE  1 B1 D 4, rotH J,c tc tc(1.1.1)D(t )  E(t )   f ( )E(t   )d , B  H .0Для одномерного приближения задачу можно сформулировать:E  {0,0, E (t , x)} , D  {0,0, D(t , x)} ,H  {0, H (t , x),0} , J  {0,0, J (t , x)} ,E 1 H H 1 D 4,J,x c t x c tc(1.1.2)D(t )  E (t )   f ( ) E (t   )d .0Будем считать, что полупространство x  0 занимает вакуум, где D  E .Рассмотрим задачу о падении сигнала из вакуума на диэлектрик при отсутствиисторонних токов ( J  0 ) при t  0 :E(t , x)  E0 (t  x / c) , E0 (t )  0 .(1.1.3)Общее выражение для поля в вакууме – падающая плюс отраженная волна:E(t , x)  E0 (t  x / c)  E1 (t  x / c) .(1.1.4)СледовательноE E0  E1 ,tcE  E0  E1 ,x(1.1.5)EEc 2E0 .tx25Имея в виду, что на границах раздела сред (при скачках диэлектрическойпроницаемости) тангенциальные компоненты электрического и магнитногоEполя, а, следовательно, и производная x непрерывны, последнее уравнениеопределяет граничное условие при x  0 .

Для того, чтобы сформулироватьграничное условие при x   , будем считать, что начиная с некоторого xсреда становиться однородной и можно сформулировать условие излучения.В области x  0 , t  0 требуется найти решение системы интегродифференциальных уравненийE 1 H,x c t(1.1.6)H 1 D,x c t(1.1.7)D(t , x)  E (t , x)   f ( , x) E (t   , x)d ,(1.1.8)0с начальными условиямиE (t , x)  H (t , x)  0 при t  0 ,(1.1.9)и граничными условиямиEEc 2E0 при x  0 ,tx(1.1.10)и условием излучения при x   .Для того чтобы не нарушался принцип причинности, ДП можнопараметризовать коэффициентами действительной функции f ( , x) .Будем считать, что падающая волна имеет разрыв производной на фронте,например,E0 (t )  exp( t / t0 ) sin( 0t ) при t  0 .(1.1.11)Как известно [19], в системах типа (1.1.6) - (1.1.10) разрыв функции илилюбой ее производной распространяется со скоростью света.

С другой стороны,принято считать, что сигналы распространяются с групповой скоростью. Это26верно, если под сигналом понимать основную часть энергии сигнала и еслиизменение диэлектрической проницаемости в спектральной области, гдесосредоточена основная энергия, мало. Однако в задачах зондирования земнойповерхностиволнамиметровогодиапазонабольшуюрольиграетраспределение влажности. Для воды же диэлектрическая проницаемостьменяется почти на 2 порядка с изменением частоты.

Максимум скоростиизменения диэлектрической проницаемости, которая в общем случае являетсякомплексной величиной, воды располагается в области 10-100 ГГц [20]. Этодалеко от характерной частоты зондирующего сигнала 0.1 ГГц. С другойстороны, максимум скорости изменения ДП влажных дисперсных минералов иминеральных солей зачастую располагается в диапазоне десятых долей ГГц[21].Рассмотрим точные решения системы (1.1.6) - (1.1.10), включая точноеописание движения фронта сигнала, и исследовать зависимость формы сигналаот вида функции f (t ) .1.2. Модели параметризации диэлектрической проницаемостиПолучимвидфункцииf (t )длятрехмоделейдиэлектрическойпроницаемости.1.Электроннаяполяризация.Уравнениедвижениясвязанногоэлектрона:mx  kx  eE , x(0)  x(0)  0 , E (t )  0 при t  0(1.2.1)(затуханием пренебрегаем).Применяем преобразование Лапласа [22]:x(t )  X ( p)   e  pt x(t )dt ,0x(t )  pX ( p)  x(0)  pX ( p) ,x(t )  p 2 X ( p )  px(0)  x(0)  p 2 X ( p ) ,(1.2.2)27E (t )  F ( p) ,mp 2 X  kX  eF ,X ( p) eF ( p )e F ( p),mp 2  k m p 2   2где   k / m – собственная частота электрона.

По теореме о сверткеt~x(t )   f ( ) E (t   )d ,(1.2.3)0e1~f (t ) .m p2   2В нашем случаеsin t p 22,(1.2.4)e~f (t ) sin t .mПоляризация равна дипольному моменту единицы объема:t~P   ex  eN  f ( ) E (t   )d ,(1.2.5)0где N – плотность связанных электронов. По определению электрическойиндукцииD  E  4P  E   f ( ) E (t   )d ,(1.2.6)0и для электронной поляризации получим:24e 2 N2f (t ) sin t  2,гдеmp 22(1.2.7)28Отметим,что извещественностифункцииf (t )следует,что ее**g(p)g(p) (символ *g(p)преобразование Лапласаобладает свойствомозначает комплексное сопряжение).2. Дипольная (ориентационная) поляризация. Модель здесь – слабосвязанныедипольныевзаимодействиясмолекулыполемгораздовэлектрическомменьшеэнергииполе.Энергиявзаимодействия(столкновений) с окружающими молекулами.

Последний эффект, в том числепри наличии поля, приводит к релаксации любой начальной поляризации захарактерное время 1 /  :dP P E.dt4(1.2.8)Отсюда следует, что для ориентационной поляризацииD(t )  E (t )    e  E (t   )d ,(1.2.9)0f (t )  e t .p 3. Дипольная поляризация с инерцией. Функцию~f (t )можноинтерпретировать как величину, пропорциональную скорости диполей привнезапном включении поля в нулевой момент времени.

Действительно, еслиt~t~ввести функцию F (t )   f ( )d , то в (2.3) имеем~x(t )   F ( ) E (t   )d0.0Если поле E (t ) является единичной ступенькой (функцией Хевисайда),0,E (t )   (t )  1,t0t 0,(1.2.10)29~x(t)F(t ) . Такимто производная от него есть дельта-функция Дирака, и~~F(t)образом,можно интерпретировать как координату, а f (t ) и f (t ) - какскорость диполей. То, что f (t ) не равна нулю при t  0 , означает, что скоростьизменяется мгновенно, а это означает, в свою очередь, что не учитываетсяинерция частиц. В результате это приводит к ненулевой проводимости присколь угодно высоких частотах, что невозможно при учете инерции, посколькуинерционные частицы просто не успевают реагировать на высокочастотноеполе.Наиболее простая аппроксимация, позволяющая описать дипольнуюполяризацию с учетом инерции, имеет видf (t )   te2t2.( p   )2(1.2.11)Можно получить общие соотношения, связывающие поведение фронтаволны с поведением функции f (t ) в окрестности нуля.

Положим скорость светас =1 и введем новые переменные s  t  x , y  x и x y s , t s .Координате фронта соответствует точка s=0, точкам за фронтомсоответствует область s >0. Уравнение (1.1.8) примет видsD( s, y )  E ( s, y )   f ( , y ) E ( s   , y )d .(1.2.12)0Дифференцируя и используя интегрирование по частям, получимDEs s , y sfE ( s   , y )d ,s,y0ss, y2D2Es 2 s , y s 2 f (0, y ) E ( s, y )  s, yE f (0, y )ss, yfs2 fE ( s, y )   20, y0 s(1.2.13)sE ( s   , y )d , ,yИз уравнений (1.1.1) и (1.1.2) следует, что3022D   E,s 2  y s 22 E  2 2  E  f (0, y )sy y  s , ys(1.2.14)s, yfs2 fE ( s, y )   20, y0 ssE ( s   , y )d . ,yВ окрестности фронта представим поле в виде рядаE (s, y)  c0 ( y) 0 (s)  c1 ( y)1 (s)  c2 ( y) 2 (s)  ...

,(1.2.15)s 0 (s)   (s) ,  n ( s )   n1 ( )d .0Подставляя это представление в уравнение (1.2.13) и приравниваякоэффициенты при одинаковых  -функциях, получим цепочку уравнений2dc0 f (0, y )c0 ( y ) ,dydcf 2 1  f (0, y )c1 ( y) dys 2 c0c0 ( y )  2 ,y0, yЗатухание амплитуды фронта определяется значением(1.2.16)f (0, y) . Припадении единичной ступеньки на однородную среду, в частности, длядипольной поляризации (см.

(1.2.10)) амплитуда фронта должна спадать позакону1c0 ( y )  exp(  y ) .2(1.2.17)Если f (0, y)  0 , т.е. учитывается инерция носителей заряда, то амплитудафронта не изменяется при распространении: c0 ( y)  1 . Коэффициент c1 ( y )определяет производную от поля за фронтом. В однородной среде приf (0, y)  f 0  0 производная от поля изменяется линейно1c1 ( y )   f 0 y .2(1.2.18)311.3. Преобразование Лапласа исходной системы уравненийВсе функции, входящие в исходную линейную систему уравненийобращаются в нуль при t  0 и, ограничены некоторой постоянной при всех t .Для исследования решения таких систем наиболее адекватным методомявляется преобразование Лапласа.Предположим, что для всех x  0 существуют изображения Лапласа поt для функций E (t , x)  F ( p, x) , H (t , x)  G ( p, x) , f (t , x)  g ( p, x) .

Характеристики

Список файлов диссертации