Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате (1102995), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Уравнение (15) описывает переходный режим между упомянутыми законами.Далее в данном разделе мы снова предполагаем диссипацию малой.Для изучения процесса релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию необходимо использовать другую модель случайного блуждания нитей. Эта модель, в отличиеот (1), учитывает замкнутость вихревых петель и кажется более релевантной. Выражениядля Ã(l1 , l2 , l) и B̃(l1 , l2 , l) в этой модели имеют вид:Ã(l1 , l2 , l) = bm Vl l1 l2 ,B̃(l1 , l2 , l) = b̃s Vll5/23/2 3/2,3/2(16)ξ0 l1 l2Итак, необходимо подставить в интеграл столкновений коэффициенты (16) вместо (1).Теорема 6 В модели вихревого клубка, описываемого кинетическим уравнением с интегралом столкновений (3) и коэффициентами (16), полное число вихревых петель равно:13Ṅ(t) = − bm Vl L2 + 4b̃s Vl ξ0−2 C1 (L − 2ξ0 N(t))= −bm Vl L2 + 4b̃s Vl ξ0−2 C1 (hli − 2ξ0 ) N(t),(17)где hli = L/N(t) обозначает среднюю длину вихревой петли.Первая строка формулы (17) представляет собой уравнение эволюции для N(t), решения которого имеют видtN(t) = (N(0) − Nst ) e− T + Nst ,гдеbmL−ξ 0 L22ξ0 8b̃s C1обозначает стационарное число вихревых петель иNst =T =ξ0ξ02=8C1 b̃s Vl8C1 b̃s κ(18)(19)(20)обозначает время релаксации для модели (16).Соотношение (19) связывает полную плотность вихревых линий со средним радиусомкривизны вихревых нитей в (неизвестном) стационарном состоянии:ξ08bs C1 1 1.−L=bm ξ02 2 hliПодведем итог пятой главы.
Во-первых, мы получили уравнение для полной частотыперезамыканий в присутствии нормальной компоненты. Полученное уравнение описываетпереходный режим между двумя режимами распада турбулентности, открытыми Баренгии Самуэльсом. Другими словами, их степенные решения – частные случаи нашего уравнения.Во-вторых, достигнуто понимание того, что модель с открытыми вихревыми нитями неподходит для изучения таких тонких явлений, как процесс релаксации вихревого клубкак стационарному состоянию. Вместо нее мы использовали модель с замкнутыми нитями,что позволило дать оценки времени релаксации вихревого клубка и получить новое, болееточное соотношение между средним радиусом кривизны вихревых петель и их полнойдлиной.В шестой главе дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик на некотором однородном пространстве полупрямого произведения группГейзенберга и Вирасоро.В последние годы в литературе широко обсуждается применение гидродинамическихмоделей типа Камассы-Холма в теории тубулентности.
В связи с этим, представляется интересным расширение класса вполне интегрируемых систем типа Камассы-Холма с цельюих применения в качестве моделей сверхтекучей турбулентности. Одно из таких обобщений предложено автором . Полученные системы, возможно, могут быть применены дляописания сверхтекучей турбулентности в одномерных системах.14Известно, что уравнение Камассы-Холма может быть интерпретировано как бигамильтонова система на коприсоединенной орбите группы диффеоморфизмов окружности. Вданной работе рассматриается класс гамильтоновых потоков на пространстве g∗reg , гдеg = Vect(S 1 ) n C ∞ (S 1 ) с квадратичными функциями Гамильтона специального вида. Целью является описание всех бигамильтоновых потоков относительно модифицированнойструктуры Ли-Пуассона на g∗reg .
Получено семейство двухкомпонентных вполне интегрируемых систем, обобщающих уравнение Камассы-Холма.Существует общий способ построения пары согласованных пуассоновых структур иполучения интегрируемого потока. Пусть g – алгебра Ли, g∗ – двойственное пространство к g (регулярная часть двойственного пространства к g).
Определяют каноническуюструктуру Ли-Пуассона на g∗ : для любых гладких f, g : g∗ → R{f, g}(m) = m([df, dg]).(21)Каждый коцикл ω ∈ Z 2 (g) определяет другую пуассонову структуру на g∗ , согласованную с канонической. Такая структура называется модифицированной структурой ЛиПуассона.Основной целью настоящей главы является описание некоторого класса аналогичныхбигамильтоновых систем на пространстве g∗reg , где g = Vect(S 1 ) n C ∞ (S 1 ), а C ∞ (S 1 ) –пространство всех гладких тензорных плотностей на S 1 степени 0, т.е.
структура Vect(S 1 )модуля на C ∞ (S 1 ) определяется какLf : C ∞ (S 1 ) → C ∞ (S 1 ), a(x) 7→ f (x)a0 (x),где f ∈ Vect(S 1 ). Каноническая структура Ли-Пуассона на g∗reg задается оператором!!!!mmx + 2m∂ p∂mJ0=,∈ g∗reg ,(22)ppx + p∂0pкоторый определяет коприсоединенное действие полупрямого произведения Vect(S 1 ) nC ∞ (S 1 ). Известно, что H 2 (Vect(S 1 ) n C ∞ (S 1 )) = R3 , поэтому модифицированная! струкmтура Ли-Пуссона определяется постоянным (т.е.
не зависящим от точки∈ g∗reg )pоператором!(m0 )x + 2m0 ∂ − c1 ∂ 3 p0 ∂ + c2 ∂ 2,(23)J=(p0 )x + p0 ∂ − c2 ∂ 22c3 ∂!m0∈ g∗reg и c1 , c2 , c3 – некоторые константы. Заметим, что структуры (22), (21)гдеp0на самом деле определены на коприсоединеннойорбите (Diff + (S 1 ) n C ∞ (S 1 ))/(S 1 × S 1 ),!m0содержащей постоянный момент∈ g∗reg , m0 (x) = const, p0 (x) = const.p0Рассмотрим класс квадратичных функций Гамильтона на g∗reg*!!+!!mmm1, M −1,(24)H0=2ppp15где h, i обозначает скалярное произведение в L2!+ Z*!m1m2,= (m1 (x)m2 (x) + p1 (x)p2 (x)) dx,p2p1S1а симметричный оператор M выбирается в формеn0n1PP22iiiε (1 − ∂ ) +ai ∂(−1) bi ∂i=2i=0M =,n1Pibi ∂γ(25)i=0где ai , bi , γ, ε – такие константы, что M строго положителен и обратим. Такая функцияГамильтона может рассматриваться как естественное обобщение h0 (m).
Сформулируемосновное предложение данной главы:Теорема 7 Пусть m0 , p0 (см. (23)) – постоянные функции. Единственными бигамильтоновыми относительно модифицированной структуры Ли-Пуассона векторными полями вида X = J0 δH0 (где J0 , H0 даются формулами (22), (24)), являются гамильтоновывекторные поля, соответствующие следующему оператору "инерции" :!ε (1 − ∂ 2 ) α − β∂M=,(26)α + β∂γгде α, β, γ, ε – константы.Таким образом, получаем втроую пуассонову структуруJ1 =ε (∂ − ∂ 3 ) α∂ − β∂ 2α∂ + β∂ 2γ∂!,(27)и вторую функцию Гамильтона!!Zm1(2αu2v + 2βuuxv + γuv 2 + εu3 + εuu2x)dx,H1=2pS1uv!= M −1!m,pтакую что X = J0 δH0 = J1 δH1 . Полученные уравнения имеют вид(mt + mx u + 2mux + pvx = 0pt + (pu)x = 0,где m = εu − εuxx + αv − βvx , p = αu + βux + γv.Рассмотрим теперь некоторые частные случаи построенной бигамильтоновой системы.Подставляя α = β = 0, ε = −γ = 1, получаем систему, известную ранее:(mt + mx u + 2mux − ppx = 0(28)pt + (pu)x = 0,16где m = u − uxx .
Если же мы положим ε = γ = 0, α = β = 1, то восстановим систему,описанную в литературе:((v − vx )t + (2uv − vx u)x = 0(29)(u + ux )t + (u2 + uux )x = 0,В заключении перечислены основные результаты диссертации.10Основные результаты и выводы• Получен спектр звуковых волн, излучаемых вихревым кольцом при перезамыкании.Показано, что спектр имеет узкополосный характер, аналогичный классическому.• Предложена модель вихревого клубка в сверхтекучей жидкости, учитывающая потери энергии при перезамыкании нитей. Получено новое уравнение распада вихревогоклубка: Установлены границы применимости модели и ее связи с гидродинамическими моделями турбулентности. Таким образом, найдена еще одна нелинейная интегрируемая система, представляющая собой нелинейное интегро-дифференциальноеуравнение в частных производных.
С его помощью впервые исследованы быстрые,существенно нестационарные режимы распада турбулентности в бозе-конденсате,изучено поведение вихревого клубка при его нестационарной эволюции.• Учтено влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изученыразличные режимы эволюции и их связь с описанными в литературе ранее. Полученоновое уравнение для числа перезамыканий в стационарном вихревом клубке подвлиянием нормальной компоненты.• При помощи модели случайного блуждания замкнутых вихревых петель изученыпроцессы релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию. Впервые определены времена и законы релаксации.• Дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик нанекотором однородном пространстве полупрямого произведения групп Гейзенбергаи Вирасоро.Тем самым получен ряд интегрируемых обобщений уравнения Камассы-Холма, вероятно, описывающих турбулентное движение в капиллярах.Список литературы[1] Кузьмин П.
А., Механизм распада турбулентного состояния в сверхтекучей жидкостии спектральные характеристики звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами //Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. N 3, 2006, с. 11–13.17[2] Кузьмин П. А., Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате// Письма в ЖЭТФ, том 84(4), 2007, стр.
238–242.[3] Кузьмин П. А., О двухкомпонентных обобщениях уравнения Камассы-Холма // Матем. заметки, т. 81, 2007, стр. 149–152.[4] P. Kuzmin, On the full rate of reconnection in the nonstationary vortex tangle: a masterequation approach // Phys. Lett. A, vol. 362, 2007, pp. 84–85.[5] P. Kuzmin, Exactly solvable models of nonstationary turbulence in the Bose condensate //Phys. Lett. A, vol. 372, 2008, pp.
2123–2126.[6] П. А. Кузьмин, О спектральных характеристиках звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами, Сб. тезисов конф. «Ломносов–2006», секция «Физика», c. 169–170,Физический ф-т МГУ, 2006.[7] П. А. Кузьмин, Ф. В. Шугаев, Об одной точно решаемой модели квантовой турбулентности, Сб. тезисов конф. «Ломоносовские чтения», Физический ф-т МГУ, 2007.[8] F. Shugaev, P. Kuzmin, Nonstationary turbulence in Bose condensate, Fluxes and structuresin fluids, St. Petersburg, Russia, 2007.[9] P.
Kuzmin, Exactly solvable models of nonstationary quantum turbulence, WEHSFF-2007,Moscow, November 2007.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
