Диссертация (1102828), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Åñëè íîâîå ñîñòîÿíèå x0 ñ ýíåðãèåé Ejãåíåðèðóåòñÿ èç ñîñòîÿíèÿ x ñ ýíåðãèåé Ei ñ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ q(x0 |x), òîêðèòåðèé ïðèíÿòèÿ ïðîáíîãî øàãà Ìåòðîïîëèñà çàäàåòñÿ êàêmin( 1,ḡ(Ei , t)ψ(x0 )q(x0 |x)).ḡ(Ej , t)ψ(x)q(x|x0 )(22)Íàêîíåö, ïåðåñìîòð îöåíêè ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé âûïîëíÿåòñÿ ñèñïîëüçîâàíèåì åå ëîãàðèôìà:S(t + 1) = S(t) + γt (e(t) − p∗ ).37(23)Ìîäèôèöèðóþùèé ôàêòîð îáû÷íî âûáèðàþò êàê γt = γ0 t0 / max (t0 , t), òîåñòü îí èìååò àñèìïòîòè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü 1/t. S, e, p∗ ÿâëÿþòñÿ M -ìåðíûìèâåêòîðàìè. S âåêòîð Si (t)i=1,...,M , âåêòîð e = (0, 0, ..., 1, 0, ..., 0) ðàâåí åäèíèöåâ ïîëîæåíèè çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ïîñëå øàãà, à âåêòîð p∗ ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþñìåùåíèÿ, ÷àñòîòîé ïîñåùåíèé äèñêðåòíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé, êîãäàïðîöåññ ñîéäåòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì èìååò ìåñòîEmaxXp∗ (E) = 1.(24)E=EminÑóùåñòâóåò äâà íåîáõîäèìûõ óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ìåòîäà:∞Xγt = ∞,(25)γtν < ∞, ν ∈ (1, 2).(26)t=1∞Xt=1Ïåðâîå èç ýòèõ óñëîâèé íå âûïîëíÿåòñÿ â îðèãèíàëüíîì àëãîðèòìå ÂàíãàËàíäàó. Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóþò àëãîðèòìè÷åñêèå ïðåèìóùåñòâà àëãîðèòìàÑÏÌÊ íàä àëãîðèòìîì Âàíãà-Ëàíäàó:• Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîñòè ãèñòîãðàììû ïîñåùåíèé â ñõåìå Âàíãà-Ëàíäàóðàáîòàåò òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè çàðàíåå îïðåäåëåíû ýíåðãåòè÷åñêèéäèàïàçîí èëè çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ìîäåëüíîé ñèñòåìû, òîãäà êàê â ÑÏÌÊìîæíî ðàáîòàòü ñ ïðîèçâîëüíûì äèàïàçîíîì, âêëþ÷àþùèì â ñåáÿ ðåàëüíîäîñòèæèìûå ýíåðãèè.• Èòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà ìåòîäà ÂËÌÊ èíîãäà íå îñòàíàâëèâàåòñÿ èç-çàñòîõàñòè÷åñêîãî õàðàêòåðà âðåìåíè äîñòèæåíèÿ êðèòåðèÿ ïëîñêîñòè ãèñòîãðàììû.
Íàïðîòèâ, èòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà ÑÏÌÊ çàâåðøàåòñÿ ÷åðåç çàäàííîå âðåìÿ, êîãäà γt ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå íåêîòîðîãî âûáðàííîãîïîðîãà.• ÑÏÌÊ äîïóñêàåò ñåëåêòèâíîå ñìåùåíèå â ñòîðîíó âûáðàííîãî äèàïàçîíàýíåðãèè ïóòåì âûáîðà âåðîÿòíîñòè âûáîðêè p∗ .38Êà÷åñòâî ñõîäèìîñòè ÑÏÌÊ, îäíàêî, îïðåäåëÿåòñÿ òåì æå òðåáîâàíèåì, ÷òîè â ÂËÌÊ. Êîíå÷íàÿ ãèñòîãðàììà ïîñåùåíèé ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé äîëæíà áûòü ðàâíîìåðíîé (ïîñëå íîðìàëèçàöèè ñìåùåíèåì p∗ , åñëè ýòî íåîáõîäèìî).2.5Âûâîäû ê ðàçäåëó 2Èç ïðèâåäåííîãî îáçîðà ëèòåðàòóðû ñëåäóåò, ÷òî íà òåêóùèé ìîìåíò â ôèçèêåïîëèìåðîâ ñóùåñòâóåò õîðîøî ðàçâèòàÿ òåîðåòè÷åñêàÿ áàçà äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðàçáàâëåííûõ ðàñòâîðîâ ìàêðîìîëåêóë.
Êðîìå òîãî, ðàçðàáîòàíû ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîçâîëÿþùèå îïðåäåëÿòü çíà÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ïîëèìåðíûõ ñèñòåì. Îäíàêî ïîâåäåíèå ìóëüòèáëîêñîïîëèìåðîâ, ñîñòîÿùèõ èç ãèáêèõ è ïîëóæåñòêèõ áëîêîâ, ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè, çà ðåäêèì èñêëþ÷åíèåì, äåòàëüíî íå èçó÷àëîñü, è ìíîãèå âîïðîñû îá èõïîâåäåíèè â çàâèñèìîñòè îò æåñòêîñòè è ïåðâè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñòàþòñÿ îòêðûòûìè. äàííîé ðàáîòå ïðåäïðèíÿòà ïîïûòêà îòâåòèòü íà ýòè âîïðîñû.393Ìîäåëü ñèñòåìû è ðàçðàáîòêà àëãîðèòìàÀëãîðèòì ÑÏÌÊ áûë ðàçðàáîòàí â êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâû ìåòîäó Âàíãà-Ëàíäàó,è äëÿ íåãî ìàòåìàòè÷åñêè äîêàçàíà ñõîäèìîñòü ê èñòèííîé ôóíêöèè ïëîòíîñòèñîñòîÿíèé ñèñòåìû.
Ýòî îäèí èç ìîùíûõ ìåòîäîâ ïëîñêèõ ãèñòîãðàìì ÌîíòåÊàðëî, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèég(E) ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû.  äàííîì ðàçäåëå äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû îáñóæäàåòñÿ, êàê äàííûé àëãîðèòì ìîæåò áûòü îáîáùåí äëÿ ñëó÷àÿ îïðåäåëåíèÿìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé èëè ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ èëè ìåçîñêîïè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ, îïðåäåëåííûõ íàïðîñòðàíñòâå ìèêðî-ñîñòîÿíèé ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Äàííîåîáîáùåíèå ïðåäñòàâëÿåò àëãîðèòì ÑÏÌÊ êàê èíñòðóìåíò äëÿ ïðîöåäóðû ñèñòåìàòè÷åñêîãî îãðóáëåíèÿ ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû è ïåðåõîäà ê áîëåå êðóïíîçåðíèñòîé ìîäåëè, èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ âûïîëíåíèÿ øàãà ãðóïïîâîéðåíîðìèðîâêè ìîäåëè.  ýòîì ðàçäåëå îáñóæäàåòñÿ ôîðìóëèðîâêà ïðåîáðàçîâàíèÿ ðåíîðìãðóïïû äëÿ ñèñòåìû ñïèíîâ è ïðîöåäóðû îãðóáëåíèÿ ïîëèìåðíûõìîäåëåé â òåðìèíàõ ÿçûêà àëãîðèòìà ÑÏÌÊ. Êðîìå òîãî, îáñóæäàåòñÿ ïðèìåíåíèå äàííîãî ìåòîäà äëÿ ðàñ÷åòà äâóìåðíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé âñëó÷àå, êîãäà â ìîäåëè ïðèñóòñòâóþò äâà êîíêóðèðóþùèõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ýôôåêòà g2 (E1 , E2 ).Ñòàíäàðòíûå àëãîðèòìû Ìîíòå-Êàðëî ÿâëÿþòÿ ýôôåêòèâíûìè èíñòðóìåíòàìè ïîëó÷åíèÿ êîíôîðìàöèîííîé âûáîðêè è ðàñ÷åòà êàíîíè÷åñêèõ ñðåäíèõçíà÷åíèé ñòàòèñòè÷åñêèõ è ìåõàíè÷åñêèõ íàáëþäàåìûõ âåëè÷èí ôèçè÷åñêèõñèñòåì [96].
 òî æå âðåìÿ èç-çà îñîáåííîñòåé Ìàðêîâñêèõ öåïåé äàííûå ìåòîäû íå ñïîñîáíû îïðåäåëÿòü ýíòðîïèþ èëè ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ è ñòàòèñòè÷åñêóþ ñóììó â êàíîíè÷åñêîì àíñàìáëå. Äàííûé íåäîñòàòîê èñêëþ÷åí â àëãîðèòìàõ ïëîêñêèõ ãèñòîãðàìì Ìîíòå-Êàðëî, â òàêèõ êàê ìóëüòèêàíîíè÷åñêèéìåòîä Ìîíòå-Êàðëî (ÌóÌÊ) [26, 27], àëãîðèòì Âàíãà-Ëàíäàó [28] è àëãîðèòìÑÏÌÊ [33,34].
Òàêèå àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ îáû÷íî íàñòðîåíû íà âûáîðêóïî ìàêðîñêîïè÷åñêîé ïåðåìåííîé, íàïðèìåð, ýíåðãèè, ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé. Âñå ïåðå÷èñëåííûå ìåòîäû ÿâëÿþòñÿ ïðîäîëæåíèåìêëàññè÷åñêîé èäåè çîíòè÷íîé âûáîðêè Ìîíòå-Êàðëî [29] è ìîãóò áûòü ñôîð40ìóëèðîâàíû äëÿ ðàâíîìåðíîé âûáîðêè äðóãèõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ âåëè÷èí. Âëèòåðàòóðå ñóùåñòâóþò îáçîðû ïî ìåòîäàì ÌóÌÊ [92, 97, 98] è ìåòîäàì ÂàíãàËàíäàó [99102], íî ïî àëãîðèòìó ÑÏÌÊ íà òåêóùèé ìîìåíò åñòü ëèøü íåñêîëüêî [103105].3.1Ìíîãîìåðíûé àëãîðèòì ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ Ìîíòå-Êàðëî (ÌÑÏÌÊ)Àëãîðèòì ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêè óñîâåðøåíñòâîâàííîé âåðñèåé àëãîðèòìà Âàíãà-Ëàíäàó, äëÿ êîòîðîãî ìàòåìàòè÷åñêè äîêàçàíà ñõîäèìîñòü ê ïðàâèëüíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé íà áåñêîíå÷íîáîëüøèõ âðåìåíàõ [95]. Ïîýòîìó áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò çàäà÷à ôîðìóëèðîâàíèÿ äàííîãî ìåòîäà â îáîáùåííîì âèäå, êàê èíñòðóìåíòà äëÿ íàõîæäåíèÿ ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé.
Èç âûøåñêàçàííîãî ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, ÷òî àëãîðèòì ÑÏÌÊ ñâÿçàí ñ ÷èñëåííûìè ïðîöåäóðàìè ðåíîðìàëèçàöèè. Ïðîñòîé øàã ïðîöåäóðû ðåíîðìàëèçàöèè îãðóáëåíèå, ñâÿçûâàþùååáîëåå äåòàëüíûé óðîâåíü ìîäåëèðîâàíèÿ ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ìåíåå äåòàëüíûì.3.1.1ÒåîðèÿÏðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà ñ ïðîñòðàíñòâîì ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé Ω ñ ìèêðîñîñòîÿíèÿìè x è ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòåé ψ(x)ýòèõ ìèêðîñîñòîÿíèé. Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî â ñèñòåìå ñóùåñòâóåò íàáîðk íàáëþäàåìûõ âåëè÷èí O1 , . . . , Ok íà Ω. Ïóñòü òàêæå ñóùåñòâóþò ìàêðîñêîïè÷åñêèå íàáëþäàåìûå âåëè÷èíû, íàïðèìåð, ýíåðãèÿ E , îáúåì V , èëè äðóãèåïàðàìåòðû M , è ìåçîñêîïè÷åñêèå âåëè÷èíû, íàïðèìåð, ïàðàìåòð óïîðÿäî÷åííîñòè Mi â ñóáîáúåìå Vi ñèñòåìû.
Òàêîé íàáîð ïàðàìåòðîâ îïðåäåëÿåò ìàêðîñêîïè÷åñêîå è ìåçîñêîïè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû. Äëÿ âñåõ íàáëþäàåìûõ âåëè÷èí ìîæíî ðàçäåëèòü èíòåðâàë âîçìîæíûõ çíà÷åíèé íà mi ó÷àñòêîâOi,1 < Oi,2 < . . . < Oi,mi+1 . Ìàêðîñîñòîÿíèå i = (i1 , . . . , ik ) îïðåäåëÿþò k-ìåðíûåãèïåðêóáû Ci = [O1,i1 , O1,i1 +1 ] × . . . × [Ok,ik , Ok,ik +1 ], êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàçáèåíèÿ ìèêðîñêîïè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íà íàáî41ðû ìèêðîñîñòîÿíèé ωCi = {x ∈ Ω|(O1 (x), . . . , Ok (x)) ∈ Ci }, ïðèíàäëåæàùèõäàííîìó ìàêðîñîñòîÿíèþ.
Êîëè÷åñòâî òàêèõ ìàêðîñîñòîÿíèé âûðàæàåòñÿ êàêNO = m1 ∗ . . . ∗ mk . Âåðîÿòíîñòü íàáëþäàòü ñèñòåìó â âûáðàííîì ìàêðîñîñòîÿíèè i = (i1 , . . . , ik ) âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëå:Zp(i) = p(i1 , . . . , ik ) =ψ(x)dx .(27)ωCiÐàññìîòðèì ìîäåëèðîâàíèå ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî íà ïðîñòðàíñòâå ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé Ω ñ èíâàðèàíòíûì ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé àíàëîãè÷íî ïîäõîäó â ðàáîòàõ [33, 34, 106]:p̂(x) ∝X ψ(x)p(i)iICi (x),(28)ãäå ICi (x) èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ íàáîðà ωCi . Àëãîðèòì ÑÏÌÊ ýòîèòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà, â êîòîðîé â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t â òå÷åíèåìîäåëèðîâàíèÿ ïðîèçâîäèòñÿ êîððåêöèÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòè p(i), îñíîâàííàÿíà ãèñòîãðàììå ïîñåùåíèé ìàêðîñîñòîÿíèé.
Ïðèìåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå:gt (i) = g(i1 , . . . , ik ) âåñîâîé ôàêòîð ãèïåðêóáà Ci íà òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè ìîäåëèðîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, gt ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé ìíîãîìåðíîé ôóíêöèèïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé â ìàêðîïåðåìåííûõ íà ìîìåíò âðåìåíè t.  ýòîì ñëó÷àåñóùåñòâóåò îöåíêà äëÿ p(i), ïîëó÷àåìàÿ ïî ôîðìóëå:gt (i)pt (i) = P.g(i)ti(29)Äàííàÿ îöåíêà äàåò çàâèñÿùóþ îò âðåìåíè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé:p̂t (x) ∝X ψ(x)igt (i)ICi (x)(30)äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îáû÷íûì ìåòîäîì MÊ.
Äàëåå ââåäåì â ðàññìîòðåíèåëîãàðèôì ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé St (i) = ln[gt (i)], ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé îáîáùåíèå ìèêðîêàíîíè÷åñêîé ýíòðîïèè S(E) = ln[g(E)].42Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü:p̂t (x) ∝Xiψ(x)IC (x) .exp{St (i)} i(31)Èòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà ÑÏÌÊ â òàêîì ñëó÷àå ïðîèçâîäèòñÿ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Ïðåäïîëîæèì, ïðîèçâîäèòñÿ ìîäåëèðîâàíèå Ìîíòå-Êàðëî ñ âåðîÿòíîñòüþ ïåðåõîäà w(y|xt ) â ñîñòîÿíèÿ y èç ñîñòîÿíèÿ xt .  òàêîì ñëó÷àåíîâûé øàã ïðèíèìàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êðèòåðèÿ ÌåòðîïîëèñàWM (y|xt ) = min 1, eSt (i1 (xt ),...,ik (xt ))−St (i1 (y),...,ik (y))ψ(y) w(y|xt )ψ(xt ) w(xt |y) .(32)Ïóñòü xt+1 òåêóùåå ñîñòîÿíèå â ìîìåíò âðåìåíè t + 1, òî åñòü xt+1 = y ,åñëè øàã áûë ïðèíÿò, è xt+1 = xt åñëè øàã íå áûë ïðèíÿò. Îïðåäåëèì äîïîëíèòåëüíî ñìåùåííóþ âåðîÿòíîñòü âûáîðêè êàê π(i), äëÿ ìàêðîñîñòîÿíèéi:Pi π(i)= 1. Êîíêðåòíûé âèä ýòîé âåðîÿòíîñòè ìîæåò áûòü âûáðàí ïðîèç-âîëüíî, íî îíà ìîæåò ïîìî÷ü ñóùåñòâåííî óñêîðèòü ñõîäèìîñòü ìåòîäà, åñëè ååïðàâèëüíî ïîäîáðàòü äëÿ êîíêðåòíîé ñèñòåìû.
Êîððåêöèÿ îöåíêè ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé (èëè å¼ íàòóðàëüíîãî ëîãàðèôìà) â òàêîìñëó÷àå ïðîèçâîäèòñÿ ïî ñëåäóþóùåé ôîðìóëå:St+1 (i) = St (i) + γt δi,i(xt+1 ) − π(i) .(33)Òàêèì îáðàçîì íà êàæäîì øàãå ìîäåëèðîâàíèÿ ÌÊ ïî ìèêðîñîñòîÿíèÿìîöåíêà ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé îáíîâëÿåòñÿ, à ñ íåé è îöåíêà ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ìàêðîñîñòîÿíèé è âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ øàãà âïðîöåäóðå ÌÊ.
Òàêîå îáíîâëåíèå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî íå ïîñëå êàæäîãî îòäåëüíîãî øàãà, à, íàïðèìåð, ïîñëå êàæäîãî øàãà ÌÊ, ÷òî ïåðåîïðåäåò åäèíèöûâðåìåíè ìîäåëèðîâàíèÿ.×òîáû îöåíêà, âûäàâàåìàÿ äàííûì àëãîðèòìîì, ñõîäèëàñü, äîëæíû óäîâëåòâîðÿòüñÿ ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ íà âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü ìîäèôèöèðóþùå-43ãî ôàêòîðà γt :∞Xt=1∞Xγt = ∞(34)γtν < ∞ äëÿ íåêîòîðîãî ν ∈ (1, 2) .(35)t=1Âûáîð çàâèñèìîñòè ìîäèôèöèðóþùåãî ôàêòîðà îò âðåìåíè γt îáû÷íî ñëåäóþùèé: γt = γ0 t0 /max(t0 , t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
