Диссертация (1102828), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Êàê è ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñ àëãîðèòìîì Ìåòðîïîëèñà, ïðîáíûå êîíôîðìàöèè ïðè ïåðåõîäå îò êîíôèãóðàöèè xê êîíôèãóðàöèè x0 ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ëîêàëüíûìè êîíôîðìàöèîííûìè èçìåíåíèÿìè (íàïðèìåð, âðàùåíèå êîíöåâîãî ìîíîìåðà) èëè íåëîêàëüíûìè (ïåðåñòðîéêà âñåé öåïè). Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ òî÷íîãî ìóëüòèêàíîíè÷åñêîãî âåñàW (E) îí ôèêñèðóåòñÿ, è âûïîëíÿåòñÿ äëèòåëüíûé ïðîèçâîäèòåëüíûé ïðîãîí,ïðè êîòîðîì ëþáàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ âåëè÷èíà O ìîæåò áûòü èçìåðåíà ìóëüòèêàíîíè÷åñêè,hOiM uM C =XO(x)W (E(x)))/ZM uM C .x32(15)Òðåáóåìàÿ îáû÷íî êàíîíè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïóòåìïåðåâåøèâàíèÿ ìóëüòèêàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà êàíîíè÷åñêîå, íàïðèìåð, êàíîíè÷åñêèå ñðåäíèå âû÷èñëÿþòñÿ êàêhOi(β) = hOe−βE W (E)−1 iM uM C /he−βE W (E)−1 iM uM C .(16)Çàìåòèì, ÷òî ýòî ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì äëÿ ëþáîãî âûáîðà W (E).Îáû÷íî â êîìïüþòåðíîì ìîäåëèðîâàíèè ñ N èçìåðåíèÿìè îæèäàåìûå çíà÷åíèÿçàìåíÿþòñÿ ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè (èõ îöåíêàìè).Êëþ÷åâàÿ îñîáåííîñòü ìóëüòèêàíîíè÷åñêîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ïåðâîìøàãå, íà êîòîðîì âåñ W (E) îáû÷íî ðåãóëèðóåòñÿ, ÷òîáû âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäàìåæäó êîíôîðìàöèÿìè ñ ðàçíûìè ýíåðãèÿìè ñòàíîâèëèñü ïðèìåðíî ïîñòîÿííûìè, äàâàÿ ïðèáëèçèòåëüíî ïëîñêóþ ýíåðãåòè÷åñêóþ ãèñòîãðàììó.
Åñëè ýòîìîæåò áûòü äîñòèãíóòî, ìîäåëèðóåìàÿ ñèñòåìà âûïîëíÿåò ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå ïî ýíåðãåòè÷åñêîìó ïðîñòðàíñòâó. Âòîðîé øàã ýòî ôàêòè÷åñêèé ïðîäóêòèâíûé ïðîãîí, êîòîðûé ðàáîòàåò ñ ôèêñèðîâàííûìè âåñàìè, ðàññ÷èòàííûìèíà ïåðâîì ýòàïå. Áëàãîäàðÿ ýòîìó îáåñïå÷èâàåòñÿ ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ äåòàëüíîãî áàëàíñà òàê æå, êàê è â ñòàíäàðòíîé ïðîöåäóðå Ìåòðîïîëèñà.Òàê êàê ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé g(E) îáû÷íî íåèçâåñòíà çàðàíåå, âåñîâàÿ ôóíêöèÿ íàõîäèòñÿ èç èòåðàöèîííîãî öèêëà, êîòîðûé èíèöèàëèçèðóåòñÿ óñòàíîâêîéW (E) = W (0) (E) ≡ 1.
Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíÿåòñÿ ñòàíäàðòíîå êàíîíè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ïðè β = 0, êîòîðîå äàåò H (0) (E) ∝ Pcan,β=0 (E). Òåêóùàÿãèñòîãðàììà ïîñåùåíèé èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ âåñîâîé ôóíêöèè. Ïðîñòåéøåå îáíîâëåíèå îöåíêè âû÷èñëåíèå W (1) (E) =W (0) (E)/H (0) (E).
Ñëåäóþùàÿ èòåðàöèÿ âûïîëíÿåòñÿ óæå ñ îöåíêîé W (1) (E),÷òî äàåò ãèñòîãðàììó ýíåðãèè H (1) (E) è óëó÷øåííóþ îöåíêó âåñîâîé ôóíêöèèW (2) (E) = W (1) (E)/H (1) (E).W (n+1) (E) = W (n) (E)/H (n) (E)(17)Ýòà èòåðàòèâíàÿ ïðîöåäóðà ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà äî òåõ ïîð, ïîêà ìóëüòèêàíîíè÷åñêàÿ ãèñòîãðàììà H (n) (E) íå áóäåò äîñòàòî÷íî ïëîñêîé. Òàêèì îáðàçîì, êîãäà H (n) (E) ≈ const, âåëè÷èíà W (n+1) (E) ∝ W (n) ∝ g −1 (E) ôèêñèðóåòñÿè óæå íå áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñ ïðîäîëæåíèåì èòåðàöèé.332.4.2Àëãîðèòì Âàíãà-Ëàíäàó 2001 ãîäó Ô.
Âàíã è Ä. Ëàíäàó îïóáëèêîâàëè äâå ðàáîòû [28], â êîòîðûõïðåäñòàâëåí íîâûé ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ îïðåäåëåíèÿïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ìîäåëüíîé ñèñòåìû è ïðèìåíåííûé ê äâóìåðíîé ìîäåëèÈçèíãà è äðóãèõ ñïèíîâûõ ìîäåëåé.  2002 ãîäó îïóáëèêîâàíî ïðèëîæåíèå àëãîðèòìà ê ìîäåëèðîâàíèþ ôàçîâîãî ïîâåäåíèÿ æèäêîñòè [93]. Îñíîâíàÿ èäåÿçàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äàííàÿ ïðîöåäóðà ÌÊ ïîñåùàåò êîíôîðìàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî ñèñòåìû ñëó÷àéíûì îáðàçîì, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëåäóþùåå ñîñòîÿíèå x0 â Ìàðêîâñêîé öåïè áóäåò èìåòü ýíåðãèþ E 0 , ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëó ñîñòîÿíèé g(E 0 )∆E â èíòåðâàëå [E 0 , E 0 + ∆E].Âåðîÿòíîñòü íà÷àòü ýòîò øàã èç îïðåäåëåííîãî ìèêðîñîñòîÿíèÿ x c ýíåðãèeéE âûðàæàåòñÿ êàê 1/(g(E)∆E).
Åñëè ïðèíÿòü ýòîò øàã ñ âåðîÿòíîñòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé îòíîøåíèþ ïëîòíîñòåé ñîñòîÿíèé g(E)/g(E 0 ), òî ïðîöåäóðà MÊäîëæíà ïðèâîäèòü ê ñëó÷àéíîìó áëóæäàíèþ ïî ðàçðåøåííûì çíà÷åíèÿì ýíåðãèè ìîäåëè è, òàêèì îáðàçîì, ê ðàâíîìåðíîé âûáîðêå âñåõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé.Çàäà÷à çäåñü, êàê è â ïîäõîäå ÌóÌÊ, ñîñòîèò â òîì, ÷òî g(E) - ýòî íåèçâåñòíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðóþ ìåòîä ñòðåìèòñÿ îïðåäåëèòü.
Ýòî ðåàëèçóåòñÿ ïîñðåäñòâîì ñëåäóþùåé áàçîâîé èòåðàöèîííîé ñõåìû:1. Ïðèíèìàåòñÿ íà÷àëüíàÿ íåñìåùåííàÿ ãèïîòåçà g(E) = 1 ∀E , ãèñòîãðàììàïîñåùåíèé H(E) = 0 ∀E è ìîäèôèöèðóþùèé ôàêòîð f = f0 .2. Âûïîëíÿþòñÿ øàãè ÌÊ, ïåðåâîäÿùèå ñèñòåìó èç x â x0 (òî åñòü èç E âE 0 ), ïðèíèìàåìûå ñ êðèòåðèåì ïðèíÿòèÿ, ïîäîáíûì Ìåòðîïîëèñó,min(1, g(E)/g(E 0 )). Åñëè øàã ïðèíÿò, ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé îáíîâëÿåòñÿ g(E 0 ) = f g(E 0 ) è H(E 0 ) = H(E 0 ) + 1, åñëè íåò, òî g(E) = f g(E)è H(E) = H(E) + 1.3. Ïðîâåðÿòñÿ, ÿâëÿåòñÿ ëè ãèñòîãðàììà ïîñåùåíèé ïëîñêîé, òî åñòü (1 −c)H(E) < H(E) < (1+c)H(E), ãäå H(E) - ñðåäíåå ÷èñëî ïîñåùåíèé.
Åñëèýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, òî ãèñòîãðàììà ïîñåùåíèé îáíóëÿåòñÿ H(E) = 0∀E è f =√f . Åñëè óñëîâèå íå âûïîëíåíî, ïðîäîëæàþòñÿ øàãè èç ïóíêòà2.344. Ïðîöåäóðà îñòàíàâëèâàåòñÿ, êîãäà f < 1 + .Âàíã è Ëàíäàó ïîêàçàëè, ÷òî ýòà ñõåìà ýìïèðè÷åñêè ñïîñîáíà âîñïðîèçâîäèòü, íàïðèìåð, àíàëèòè÷åñêè èçâåñòíóþ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé äâóìåðíîé ìîäåëè Èçèíãà ñ î÷åíü âûñîêîé òî÷íîñòüþ. Îäíàêî ñõåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå àëãîðèòìà óæå ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòîò ìåòîä íå îòíîñèòñÿ ê êëàññó ìåòîäîâ ÌÊ äëÿÌàðêîâñêîé öåïè, òàê êàê êðèòåðèé ïðèíÿòèÿ ïðîáíîãî øàãà â ëþáîå âðåìÿçàâèñèò îò èñòîðèè ìîäåëèðîâàíèÿ.  ðàáîòå [94] óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî àëãîðèòìÂàíãà Ëàíäàó ñõîäèòñÿ, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîä÷èíåííûé ïðîöåññ, ãåíåðèðóåìûé ïî ìàêðîñêîïè÷åñêîé ïåðåìåííîé (íàïðèìåð ýíåðãèè E â ïðèâåäåííîìâûøå ðàññóæäåíèè), ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì.
Îäíàêî, ýòî âûïîëíÿåòñÿ, òîëüêî åñëè îáíîâëåíèÿ ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ðàçíåñåíû âî âðåìåíè ñ èíòåðâàëîì, áîëüøèì, ÷åì âðåìÿ àâòîêîððåëÿöèè ëåæàùåãî â îñíîâå ïðîöåññà ÌÊ. ýòîé ðàáîòå òàêæå äîêàçàíî, ÷òî êîíå÷íàÿ îøèáêà ñõåìû, óêàçàííîé âûøå,pln f −1 ìàñøòàáèðóåòñÿ òàê æå, êàê è îêîí÷àòåëüíûé êîýôôèöèåíò ìîäèôèêàöèè f , ÷òî áûëî ïðîâåðåíî â ìîäåëèðîâàíèè.
×òîáû ïðåîäîëåòü ýòî îãðàíè÷åíèå, áûëà ïðåäëîæåíà ìîäèôèêàöèÿ èñõîäíîãî ìåòîäà [95], ãäå ìîäèôèöèðóþùèé ôàêòîð èçìåíÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ïðîïîðöèîíàëüíî 1/t (t - âðåìÿìîäåëèðîâàíèÿ).  ýòîì ìåòîäå êîíå÷íàÿ îøèáêà íå îãðàíè÷åíà ñíèçó, îäíàêî, ïðàêòè÷åñêàÿ ýôôåêòèâíîñòü ýòîé âåðñèè àëãîðèòìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿïîëèìåðîâ çàâèñèò îò ôèçè÷åñêîé ìîäåëè, ê êîòîðîé îíà ïðèìåíÿåòñÿ.Òàêèì îáðàçîì àëãîðèòì Âàíãà-Ëàíäàó ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âàðèàíò ìåòîäàìóëüòèêàíîíè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, èäåÿ êîòîðîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òî âìåñòîïîèñêà ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé êîíôîðìàöèé ìàêðîìîëåêóëû ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå T ïðîèñõîäèò ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâåýíåðãèé (èëè äðóãèõ ïàðàìåòðîâ ïîðÿäêà ñèñòåìû) ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé.
Äàëåå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ìîæåòáûòü âû÷èñëåíî ïðè ëþáîé òåìïåðàòóðå, à òåðìîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêèñèñòåìû ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâîäíûõ ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû ñèñòåìû.Ê îòëè÷èòåëüíûì îñîáåííîñòÿì àëãîðèòìà Âàíãà-Ëàíäàó ìîæíî îòíåñòèâîçìîæíîñòü íåïîñðåäñòâåííîãî ðàñ÷åòà ñâîáîäíîé ýíåðãèè ñèñòåìû, à òàêæååå ýíòðîïèè.352.4.3Íåäîñòàòêè àëãîðèòìà Âàíãà-ËàíäàóÍåñìîòðÿ íà îïèñàííûå ïðåèìóùåñòâà àëãîðèòìà Âàíãà-Ëàíäàó è åãî øèðîêîåïðèìåíåíèå â íàóêå î ïîëèìåðàõ, ñóùåñòâóåò ðÿä íåäîñòàòêîâ äàííîãî àëãîðèòìà, íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ íåäîêàçàííîñòü åãî ñõîäèìîñòè ê èñòèííîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé.Îöåíêà ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé, ïîëó÷àåìàÿ ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìàÂàíãà-Ëàíäàó, ìîæåò äîñòè÷ü ëèøü êîíå÷íîé ñòàòèñòè÷åñêîé òî÷íîñòè, êîòîðàÿ íå áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ ïðè ïðîäîëæåíèè ìîäåëèðîâàíèÿ.
Êðîìå òîãî, ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî êîíôîðìàöèé, ñãåíåðèðîâàííûõ íà ïîçäíèõ ñòàäèÿõïðîöåññà ðàñ÷åòà ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé, ïðèâíîñÿò ëèøü íåáîëüøîéýôôåêò íà îöåíêó ôóíêöèè.Áûëî ïîêàçàíî [33, 34], ÷òî äàííûé íåäîñòàòîê ñâÿçàí ñî ñïîñîáîì óáûâàíèÿ ìîäèôèöèðóþùåãî ôàêòîðà f .
Ïóñòü ns ÷èñëî âûïîëíåííûõ èòòåðàöèéíà ìîìåíò âðåìåíè s è fs ìîäèôèöèðóþùèé ôàêòîð íà ìîìåíò âðåìåíè s.Ïóñòü ÷èñëî èòåðàöèé ns äîñòàòî÷íî âåëèêî, òàê ÷òî ãèñòîãðàììà ïîñåùåíèéóæå ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé. Ìîäèôèöèðóþùèé ôàêòîð óìåíüøàåòñÿ ïî çàêîíó:1log fs−12 òàêîì ñëó÷àå îñòàòî÷íûé ðÿä ìîäèôèöèðóþùèõ ôàêòîðîâlog fs =n∞Xlog fs < ∞(18)(19)s=S+1äëÿ ëþáîãî S . Äàííûé îñòàòî÷íûé ðÿä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó âñåõ êîððåêòèðîâîê ëîãàðèôìà ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé çà âñå áóäóùèå èòåðàöèè.Òàêèì îáðàçîì, áîëüøîå ÷èñëî ñãåíåðèðîâàííûõ êîíôîðìàöèé ïðèâîäèò ëèøüê íåáîëüøîìó âêëàäó â îöåíêó ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé.2.4.4Àëãîðèòì ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ Ìîíòå-Êàðëî (ÑÏÌÊ)Ïàðàëëåëüíî ñ ðàçâèòèåì àëãîðèòìà Âàíãà-Ëàíäàó â ðàìêàõ ìàòåìàòè÷åñêîéëèòåðàòóðû ïî ïðîáëåìàì ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè áûë ñôîðìóëèðîâàí àëãîðèòì ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ Ìîíòå-Êàðëî [33,34]. Ñ ïîìîùüþ ìàòåìà36òè÷åñêîãî ôóíäàìåíòà ìåòîäîâ ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè, â ðàáîòå áûëàäîêàçàíà ñõîäèìîñòü ÑÏÌÊ è ïîêàçàíî, ÷òî ÂËÌÊ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê÷àñòíûé ñëó÷àé ÑÏÌÊ.
Íà÷àëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ ÑÏÌÊ è ÂËÌÊ îäèíàêîâû. Ðàññìîòðèì êîíôîðìàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî Γ è ìèêðîñêîïè÷åñêóþ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ψ(x). Ïóñòü èíòåðâàë êîíôîðìàöèîííûõ ýíåðãèé [Emin , Emax ]ìîæåò áûòü áîëüøå ýíåðãåòè÷åñêîãî äèàïàçîíà ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû, òî åñòüìîæíî âûáðàòü Emin < Egs , ãäå Egs - ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ìîäåëè.Äàëåå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü íàáîð èç M äèñêðåòíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé, ëèáî ïîòîìó, ÷òî îíè ïðèñóùè ìîäåëè, ëèáî ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ïðîöåäóðû äèñêðåòèçàöèè ýíåðãèé, åñëè ýíåðãèÿ ñèñòåìû êîíòèíóàëüíà.
Ýòîò íàáîðýíåðãèé ïðèâîäèò ê óíèêàëüíîìó ðàçáèåíèþ ìèêðîñêîïè÷åñêîãî êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà Γ,Zg(Ei ) =dxψ(x).(20)Ei ≤U (x)<Ei +∆EÎáîçíà÷èì ḡ(Ei , t) îöåíêó g(Ei ) â ìîìåíò ìîäåëèðîâàíèÿ t è îïðåäåëèìSi (t) = ln ḡ(Ei , t). Âûïîëíèì ìîäåëèðîâàíèå ÌÊ öåïè Ìàðêîâà ñ ðàñïðåäåëåíèåìMXψ(x)χi (x),p(x) ∝ḡ(E,t)ii=1(21)ãäå χi (x) = 1, åñëè ýíåðãèÿ íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå Ei ≤ U (x) < Ei + ∆E èχi (x) = 0, åñëè ýíåðãèÿ âíå èíòåðâàëà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
