Движение нейтрино и электронов в среде и магнитном поле в рамках метода точных решений (1102803), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Полученные результаты для случая среды с градиентом скорости согласуются с известными из литературы.5Найденные соотношения применены к численной оценке эффекта удержания нейтрино в связанном состоянии внутри вращающейся нейтроннойзвезды. В квазиклассическом случае (а именно он и реализуется) эти состояния можно представлять себе как движение по замкнутым круговымqNорбитам, расположенным внутри звезды. Радиус этих орбит R =Gnω .Чтобы оценить характерные величины, рассмотрена модель вращающейся нейтронной звезды радиуса RN S = 10 км, плотности n = 1040 см−3 иугловой скорости ω = 2π × 103 с−1 . Для этого набора параметров радиусорбит будет меньше типичного радиуса звезды RN S , если квантовое числоN ≤ Nmax = 1012 .

Данные результаты находятся в согласии с имеющимися в литературе оценками эффекта удержания нейтрино во вращающихсянейтронных звездах, полученными с использованием модели среды, движущейся с градиентом скорости. Дополнительно показано, что исследуемоедвижение частиц удовлетворяет соответствующему условию квазиклассичности.Глава 3. Движение миллизаряженного нейтрино во вращающейся среде. Рассмотрена задача о миллизаряженном нейтрино, помещенном во вращающуюся среду и сильное магнитное поле. Известно, чтотребование квантования заряда может исчезать из расширений Стандартной модели электрослабых взаимодействий, включающих явную U (1) симметрию, в которых нейтрино может быть миллизаряженной частицей.

Современное наиболее строгое экспериментальное ограничение на электрический заряд нейтрино, полученное из закона сохранения в бета-распаде нейтрона, составляет оценку qν ≤ 10−21 e0 . Если нейтрино движется в толщевещества достаточно высокой плотности (n ∼ 1040 см−3 ) при наличии сильного магнитного поля (B ∼ 1012 Гс) с достаточно высоким энергетическимквантовым числом (N ∼ 1010 ) (возможен переход к квазиклассическомуописанию), то эти факторы будут оказывать на движение частицы влияниебольшее, чем масса, именно: qν BN m2ν , Gn mν . В этом приближениирешено модифицированное уравнение Дирака1{γµ (pµ − qν Aµ ) − γµ (1 + γ 5 )f µ }Ψ = 0.2В этом уравнении учитывается взаимодействие миллизаряженного нейтрино с частицами среды лишь посредством нейтральных токов.

Считается,что частицы среды и W -бозоны не обладают миллизарядом, с которыммог бы взаимодействовать миллизаряд нейтрино.6Потенциалы и гамильтониан имеют видAµ = (0, −Ĥ =yB xB,, 0),2 2f µ = −Gn(1, −ωy, ωx, 0),−σ(p̂ − qν A + f ) − Gn00σ(p̂ − qν A)Из структуры гамильтониана следует, что имеются два собственных состояния:χ1 e−ilφ0iχ2 e−i(l−1)φ 0 , ψr = e−ip0 t eip3 z ψl = e−ip0 t eip3 z  χ3 e−ilφ  .00iχ4 e−i(l−1)φДля компонент χi получены−p3 − Gn−RB,ωp3−−RBсистемы уравнений + −RB,ωχ1χ1,= p0p3 − Gnχ2χ2 +RBχ3χ3= p0,−p3χ4χ4где введены повышающие и понижающие операторыl−1qν Bd−−(− Gnω)r,drr2dlqν B−RB,ω=+ +(− Gnω)r,dr r2l − 1 qν Bd+RB−−r,=drr2dl qν B−RB=+ +r.dr r2В результате решения задачи получены выражения для спектра левыхи правых нейтрино:qlp0 = −Gn + ε p23 + |2qν B − 4Gnω|N ,qrp0 = ε p23 + 2qν BN ,+RB,ω=где N = 0, 1, 2, ..., ε = ±1.

Непосредственно из вида спектра следует, что1) при выполнении условия qν B = Gnω правые нейтрино удерживаютсяв веществе так же эффективно, как и левые;72) при выполнении условия qν B = 2Gnω левые нейтрино становятся стерильными, а правые – связанными с материей.Для волновых функций получены точные выражения:qqBpε−ilφl2ν3√1 − p0 +Gn Ls ( 2 − Gnω)r e2ψl = e−ip0 t eip3 z  qp3qν Bl−12−i(l−1)φ√i1 + p0 +Gn Ls( 2 − Gnω)r e2ψr = e−ip0 t eip3 z √ε2qp3p0Lls ( qν2B r2 )e−ilφ1+qpqBil−12−i(l−1)φ3ν− √2 1 − p0 Ls ( 2 r )eНа основе выражений для спектра найдена поправка к критическому полю нейтрино, рождающегося в процессе распада нейтрона, в случае малыхплотностей имеющая видBc =∆2Gnω+.qν2qνПоказано, что со стороны магнитного поля и среды на нейтрино действуетэффективная силаFef f = (−qν B + 2Gnω)ωr,где 2Gnω 2 r играет роль силы инерции, выталкивающая частицу с орбиты,2Gn – эффективная инертная масса.Для излучения миллизаряженного нейтрино получена формулаdE2 qν2 β 2 (qν B − 2Gnω)2=.dt3 m2ν1 − β2Дополнительными оценками показано, что в реальных астрофизическихусловиях (например, нейтронных звездах) действие среды может быть соизмеримо с действием магнитного поля, Gnω ∼ qν B, и приводить к существенному изменению интенсивности излучения.Глава 4.

Движение электрона в среде и магнитном поле. Исследована задача о распространении электрона в среде и магнитном поле.Найдено точное решение модифицированного уравнения Диракаno1µµ25 µγµ (p + e0 A ) + γµ (1 − 4 sin θW + γ )f − m |Ψi = 0,28где f µ — эффективный потенциал электронов в среде, m — масса электрона, e0 - модуль заряда электрона, θW — угол Вайнберга. Потенциалы имеютвидAµ = (0, A) = (0, 0, xB, 0), f µ = −Gn(1, 0, 0, 0).В качестве спинового оператора выбран оператор продольной поляризацииT̂ 0 = m1 σ(p̂ + e0 A). Точное выражение для спектра имеет видrGn 2Gn− 2Gn sin2 θW + ε (mT 0 −) + m2 ,p0 =22pгде ε = ±1 – "знак" энергии, T 0 = ms p23 + 2e0 BN , s = ±1 — cобственныезначения спинового оператора.

Важно отметить, что в полученном спектре отсутствует вырождение по спиновому квантовому числу, которое имеет место для уровней электрона, помещенного в магнитное поле (уровнейЛандау). Это связано с нарушением четности в слабых взаимодействияхэлектрона с частицами среды.Из найденного спектра следует соотношение(p0 −GnGn 2+ 2Gn sin2 θW )2 = (mT 0 −) + m2 ,22которое при исчезающе малой плотности (то есть прив известную формулу Эйнштейна p20 = p2 + m2 .Для вектора состояния получено выражениеC1 |N − 1i0 iC2 |N i0 |ΨN i = e−ip0 t |p2 i|p3 i C3 |N − 1i0  ,iC4 |N i0Gnm 1) переходитгде использованы векторы состояния одномерного гармонического осциллятора с положением равновесия, сдвинутым относительно нуля.

Спиновыекоэффициенты имеют видrrrrηmp3sηmp3C1 =1+1+,C=1+1−,2Gn002mT2mTp̃0 − Gnp̃−022rrrrεmp3sεmp3C3 =1−1+,C=1−1−.4Gn002mT2mTp̃0 − Gnp̃−022Эти формулы дают точное решение задачи о движении электрона в среде и магнитном поле. Как и в вакуумном случае частица в нулевом состоянии левополяризована. Правополяризованного нулевого состояния не9существует. Показано, что в случае n = 0 эти формулы сводятся к известному решению задачи для электрона в постоянном магнитном поле.В отдельном разделе выполнен предельный переход к случаю B → 0и получены известные из литературы формулы, описывающие свободноедвижение электрона в неподвижной среде.В качестве дальнейщего развития полученных результатов на основенайденного спектра построена классическая функция Лагранжа, описывающая электрон в среде и магнитном полеpGnL = −m 1 − v 2 + q(vA) + sv.2Соответствующее уравнение Лагранжа(√mGn)v̇ = q[v × H]+s2v1 − v2описывает частицу, движущуюся по окружности (в случае vz = 0) c раP+s Gnmvдиусом R = qH 2 , где P = √1−v.

Интенсивность излучения при этом2составляет2 q4H 22q 2a2v4dE=.=2 (1 − v 2 )2dt3 (1 − v 2 )23 (P + s Gn)2Сравнивая с интенсивностью излучения в вакууме, находим,dE1GnGn 2dt==1−s+O () .Gn 2dEPP)(1+s|n=02PdtЕсли, например, положить для плотности вещества n = 1043 см−3 =7.72 · 1028 эВ3 , v 1, то окажется, чтоGnGn1∼ 1,∼ .mPvТаким образом, действие среды может существенно влиять на интенсивность синхротронного излучения, происходящего от ускоренно движущейсяэлементраной частицы. При движении в среде с медленно вдоль траектории меняющейся плотностью при прочих равных условиях это проявляетсяв монотонном изменении интенсивности синхротронного излучения.

Приэтом играет роль поляризация частицы. Эффект усиления интенсивностидостигается лишь при ориентации спина, противоположной направлениюдвижения. В ином случае интенсивность ослабляется.Важно отметить, что полученное точное решение для квантового состояния электрона в среде и магнитном поле может быть также использовано10как первое приближение для описания движущихся частиц во внешнейсреде более сложной конфигурации.

В качестве примера рассмотрена проблема движения электрона в среде с градиентом скорости и магнитномполе. Эта задача интересна с точки зрения различных астрофизическихприложений.Если эффект, связанный с угловой скоростью ω, мал по сравнению сдействием магнитного поля, то можно вычислить поправку к спектру, используя теорию возмущений с малым параметром Gnωe0 B 1. Проведенныеоценки показывают, что для нейтронных звездδ=Gnω∼ 10−20 1.e0 BПоэтому оправдано использование спектра и найденного выше состояния(не учитывающего вращение) в качестве низшего порядка ряда теории возмущений для поиска на этой основе следующих поправок. Окончательнаяформула для спектра имеет видppN ' p0N + 2s sin2 θW 2e0 BN δ.Полученный сдвиг уровней энергии, зависящий от энергетического квантового числа N = 0, 1, 2...

приводит к соответствующему сдвигу в частотесинхротронного излучения электрона, движущегося внутри плотной средыс градиентом скорости.Глава 5. Некоторые спектральные задачи для систем Дирака иМаксвелла. Рассматривается общая проблема поиска собственных значений и собственных векторов квантовых задач, гамильтониан которых обладает заданной общей структурой. Обсуждается метод решения краевыхзадач для систем Дирака и Максвелла в слабой постановке с использованием специально определенных фукнциональных пространств. Показано, какзадача дифракции электромагнитных волн в конусе может быть сведена кфредгольмово разрешимой.Широкий класс задач, возникающих в нерелятивистской квантовоймеханике, допускает применение метода факторизации, предложенногоЛ.

Инфельдом и Т. Халлом. В работе предложено обобщение этого метода для определенного класса гамильтонианов Дирака, который включаетвсе рассмотренные в работе задачи, имеющие точные решения. Эти общиезакономерности сформулированы в виде отдельного утверждения.Заключение. Перечислены полученные результаты и кратко сформулированы основные выводы диссертации.11ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ1. Найдены точное решение задачи для модифицированного уравненияДирака, описывающего движение нейтрино во вращающейся среде, задачи о движении миллизаряженного нейтрино во вращающейся средеи магнитном поле, а также задачи об электроне в неподвижной среде и магнитном поле.

Получены точные выражения для спектра иволновых функций. Для задачи об электроне выполнен переход к случаю B = 0 и получены формулы, описывающие свободное движениеэлектрона в неподвижной среде, совпадающие с известными из литературы.2. Разработана универсальная схема для поиска решений указанных задач и им аналогичных, основанная на введении абстрактных операторов и установлении соотношений между ними, развивающая и дополняющая традионные методы, которые рассматривают уравнениеДирака как систему дифференциальных уравнений.3.

Характеристики

Список файлов диссертации