Геометрия орбит коприсоединенного представления специальных групп Ли (1102766), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рао-уждентттт совершентто ана.'|огнчны иутткту а). Под~" таем: ф~,~,', —. Рз О Р~ . ц) ахает'~~ждая анялогичтто ттуттъ,'т'у а), нолучаем: Ф~ ° ъз) = 1;", О Рб . т) Рти';смот~ме4 теперь ут'..товия д~ = яд, д» вЂ” '- доз, дз = ямб . Ъ равненття ~')я',,'2.36) щшмут внд-' д ~урвувльс'х'ВО. Докалатюяьство Йв вызыввст больп$оГО тр~'да и щю" .,~в~» я по схюи' тво$н*ыы 1 О ° Првд1ожвнио .'«Оказано. '7~ 4) 'Т( 4)' Видим, 'гто иЧМ с циици Л и1~и тонзорном 1эисппцэриии соответствуют ла~' верестройки, обознадюм их 7 ('.':1) и 'Т(А)' ~си,рис,2 и рис.З),. ГРтм1 7',,:1) оцисывц'гса системой ~2.66), ~2.67), а 7 (А)' соотвстству- '4 ~'~~ = 0,,~~ у=' О), Перестройка 7"( Л) в тсрьппмх уравнений выглядит йЕ; --ф~ =', где -ФОе О ~)~~ь + фф = д, Гдс 6~ — Ф О, 1 "еп-'ь| оОр~иом.
окр~~"жиос'х'~ы основднио цилцяд~и ! (. тягнвзх"тся в ч.'Оч- '' ~ "бРаз7$ощие персстраивик>тся в плоскость (см.такжв предыдущу~о „: ~'(фу ~ О; 1, Я' хВ' ~Л~ ) ции, что в клыоичеекои с.чу"иа Эйлера )))ц имщщ Ожт, - ид 1 31 ° ~2.761 „г.~~ + т~ +;);"„— 1 ,,2, 2 х~ .'г Н= —,-г — + 2А~ 24~ ,~ионной диаг1)аммои;здесь ',см.,нап1)имерф':) будет диагор;-ц,,~ма ; уды ',,-~рнная на Рис 1 елева (т.е. В ОПЯТ ~:).,Ь», отвечак))цпк ийтегра- ::УМ ' р ~д', оответетвенн0,1, Образ отоб1)жкеиим момента — ~'. 11ри этом уфой -,)ще отображения момен 1а л~ жат Оледук)багие множества точек. ,„,,у1)валов й~, ~1~, ~К~В) ), ~.О).О~! — Две окружности,~' О 5' .
ДЛЯ вЂ” ото мнОжестВО с; ., Где по Оп1)еделеиию о) две ОК1)7жно'Р я~~,есекаю1диеся по лвум точкам Для точки Ь) В Щ)ообРа".)е ото... ~ия момент)) имеем две точки. Для В) — также Две точки, Для (Ы ):„,",,' 3', ),' точки иитс1)вала .)) В п~)ообрй3(' лежит ~..: = с) х Я, И.
па- .„....~-.,.ля каждой из остальпык точек Г в црообр'ь)е имеем два уорд ~ ~у~ Я работах Н."Зупга и Л,Элиаесопа ~',см. 14.)1,146~) бь~ло покава ,, пв возникмо)пи( В )том случае перестРОЙки имеют тип прямого -...1цщ;;)ения «то есть ( Оответ( тйъющГн.' ОтображГ ния момента локальП1»1 пР "" ). 1 '' '' ' Е~0 ;04)яч0(ти 'центр — Цент~)' А х .4 (~ м.'ханже ~431) „точке Ь) — 'ееДло. )щ)" В х .4. Инте1эвалам ч). 4)~~ — - пе1)ес'Гроики 4 х Я, ннте1ызлу 61 -Вх ')'.
Инте1)валам В~6', и 0)Л1 —,' х.4 ПТак, будем и;.)уча гь цереет1)оикн инвариантньхх лаграи)кевьтх подаэабы)ий для рассматриваемого ) лучая -- тензорного расши1)е-- м д11я ) лассическои задачи Энлсра. Мщзначим через '7 (Х';,! Пц)е- Ч)4и1, отвечан)щйе подмножествам 1'; ~», = 1,...,20), Е1)оые то"4йзи-чич через Л по ~щ)остр ~нство В Л соответствув)щее ь))- 4Фн~)там ~у~, ))2. у;), череп Л . Л'.,'. й4 -- соответственно координа- "~~ (/4.В 3~)- (х), х2.,')')!.
! х,), х,. Хя, таким Образом, мо)кно Записать '1 ' '2 '$ Й~ ' '. ' Й',~ = Б. " =- ~ 7/,...,, Ц)) .,г )..., .,г~,' . С:ледок)Щие 211 пунктов аявак)т. Каки множ ~ тпа лежат з прооб1);иах Отображений момента ~и ."'1ек из Р,, а также перестройки 7 ~Р;) й = 1...., 2О;1 ° Об)оана- ) '®Я 76'» . 7(А) .
7 ~',-:1)'. 7~'Б), 7 ~В)' были обьжнены вьппе "Ч' М,'10,42. )) ' '1) = .1! х А. и;том лу-, полный п1. бра: т чки "")'-"ь ':) 6 Р» — две окрюкности каждая и') КОТОРых п1)ямо ~™О Оуеть енйчйлй 2 Е (Ф~ЛХ ) )) К) . ТО, Гхо ОВЯзини коипонВБтн Ф (~:) Зто Т М .Й~, НВПОЯМ:ДСТБСННО ВЬЛЕКЙХТ БЗ теО~ЖМЫ 4. П~.*ОТЬ ТЕВВ1)ь точкй '; и ме Й)ЩЙм м йфдйпзх1й 121,,$~, 2),, 4 ) ОО ОТВВтолмнн О В О( ях ~') ~, ~'), 6 ~. А3, леремо)пзотся по О6$)йзъ* Ото~ф:йкенйя мОЫО1л"ъ В,4оль кВко11-л11бо Гладкой к1)ийоне., п1)и этом) еелн ~ 1)О))еходит через тОчке -1"О ВО3В нкВА!т нетриВисиьнзя 11е)и'.От~)ОЙк1),. ннВяриВнтпОГО ')н ГрйнжеВО1 О ОДмнОГО061)ЙВБЯ, П$)ООО~м)зы Ф '~==,' ДлЯ;.
~= Р, !Де 1 = 1.....9-, нйходят~;.Я п1)Й.'льГ411 ВыклЙДкйА1и п1)и иееледОВнни)1 сн(,".Гемы -„2. ~'8)-~- ~)О) '1О, что Ф '1,-") = 9 д.1к = —, Р; 1"» = Щ...,20) Оченпдно„так как Р„';Г~Ф1.Ч',1 = 9 для ' = ).О..... „2О, ) ~м.*сх$0'ц)и-"А Х.„~ = ~;Х)1, Б~), Ь.лное)1'-1(м'ком~' ела )на) .')иле~)н здесь, кнк ))ь1 отме 1'::111 ))ьлпе. соответствует к..обенкоеть .4 х;:1. Ир)1 1онзорном 1)Вен)11Р"пп11 "т'" оео"енно"т" В ")1-')У теО1)е-'1ь) ) ',«'м О'1'1).21) переиДет " 7( А х '7,'А', . Ра~,с) ЫЛйм йнйлогично для других 11щмноже( ТВ 7'; 6нфуР- кацноннон д11аграммы, '), тик)к~ Ветл».
«уВ систему (2.78) 1" 2.85) „олределя- В)1 Осталыплс пе1)его)О11Н11. О11)1снцньк В пунктнх 1',— ' ) )). Тын)1 Обрнзом, тео)м."м)), докнзннй. у~Я[[о[4 к $О(41 ° Скобкой; П~чих:,Онж:Ли НВ, 80(ф[, соотв('."и,РВУтопил .еды" ,,[~тдтор1 ~3.1). иыВВ~' Вид: Д,тееь, как и В [треДь[ЛУщей Глав, символ:-.; 1. Озна.1ает знак персстйноики 1[нЛекеов '~1;.'1. ~") . ~'-с'[Й Всв Ф; '~,. Й ~милични, и ец[; = О.
им1и Ци.'Ди уу[[х [п[лекоов есч ь Вовка,да[ОЩН[. ~'$, 1. А. -- 1, 2, 3~, .4мотиы, '[то ок(й)ка (3.2» Бь[рожД6'.нж В Д 1 ЛХ. у~) . Гоми.1ьтоновй ои" етемв длЯ длГебрь[ ..'1й ВО(й зйпись[ваетеЯ В внД»' Яювноний ЭЙЩм-' [.те 11~М1, р,' Г[1м[[,ть'1"он[[йн. Цнвар[[йцты,ддя 601 4~ Выхлядйт так: Совмесхнь[1 1[оверхнос'Ги уровн[[ функцтгй Г[, Г~ есть орбиты копри~:.о- ел[[ненно1'о 11 редстав,'[ення с~ ~Г[. О21 = ~ ~ ЛХ ~~ + ~ р ~ = [ ~. „'ЛХ, р) = с-, ~ Пе'1~)~дно В[1.тет[з. '['Го ири ~".~ ~ 2 ~ с~ ~ и[[(: е:4 орОич'~. Обд[е1'о 1[оложепиЯ. Го.*';[ео.;[орф[Г['й) 1[р[[мом~' про[[введению,дв час'рнь[х сфер *~~' х ~~~ .
Бр[1 С1 =: ~ С) ~ ° ПО'1УЧНКЛ'СЯ сИНГ~'.т[[Р[[Ь[Е ОРОИТЬт, ГОМЕОМОРф[[ЬИ.'. СфЕ~М" Я' Ц, наконец, ~ сли е[ < 2 ~ с.„~ . то Р" ['11. с~) =- 9. 1ак[[.[ образом, скобка ~3.2) зад;1ВГ па орбитах .',* х Я2 сичплокти'[[склок) ст1ьукГуру, а;3.31 опредо,.[ЯФ" Г на уг[тх орбитах Гам[1.[ьтоноэу в[[ля му Г двумя степенями свободы, Д.тя О~'. 1[о.[ной 1[птеГ.рирув':[ое Г[1 ио Л[[ув[[т.тй~ н~. Оохо.'[1[мо и,'~о<.тато [но суп[~:*.ствовапт[о о,[ноГО 'топо.[и[[те.тьно[ о 1[нте[ рат[1 Х~, фупкционжчьно независим[ОГО с Га[[лл[тоннано:1 .Ц на орб[1 Гах.
Га( ( [ [отри[1 квмдрвти -[нь[Й Га[ [идьтон[[ац В[иа ~',3.7) ГФ.' 0;, 4; — и( ео'1*орь[е Вещественные параметры ( 1 = 1. 2, 3 [. В работе 134 быт и к,за[ ., что длЯ Гаъ[ильтон[[ана ',3.71 дополн[1 .л[,пи[1 кв.- Ярат[[ Хц[ [и [[[[ТЕ[.[1 [д Ст;тц~ ~*"ТВОЕ~1 ТО,тЬКО В ТОЫ Г тр, П ув [-.ОГ 1 1 И [р.„~.[оеурь[ ГВМ11ЛЬТОНИЬНа уЧОВ 1еТВОрЯ[ОТ ( ООТНОШЕИИЯК: !,'3.25) !',3,26) 1,'3.2'!' ) ДОКЙЗИ 1ЮХБ1 ХПО. Л ОКЕЙ АРЛЬ(."'ХВО СОВРРЩФ,'ЦКО ККЯЛОГН~ПИ) ДОИ!.; 1з Р! 'Р.,'! !ъ- !"! В~ ЛР:~1ЫЫ Б'~ДОИ ~3':!ХСМЙТ~ЪИВЗТЬ О'ГО6~)!!.ЖРНИР МОМЛТГЙ, Ф; ЛХ -+ Й, ГДР !!-.!Х Ф вЂ” 11Ь.!, ХХ!. А.,», У~) ..'И' — '-' О'!(!~~',$0(4~,'~,~ — — О~ЭОИТй Об'ЩОГО ДОДО2КР'.- ВЙЙ !О):.Ц>!ХРОР ЛИНО!!НОГО Пр! ДО !;3Н„В.НИЯ В 11!'.~0~4,'!)'.
ПРОдЛОЖ~" нХХО 3 '4йО.~~~:~. О!~~,~!О ЛХ',.~.й.~,~~:~й~:~ !."..-~Ода ~~.!~ й~" ~:.О ~!!,!~".!~ХйЬ~„!!!, .1%1"ОО..~~!ЙЗМС4Ф. дБфф» О,МСф~фИЫ.,Н Г~! Х У '! ДОКЙЗЗ'Х'ЮЧЬС'Х'ВО, Л,ОЕй."!й Ч"ОЛЬ4" 1" ВО НРПО(.'.'!,)ОДС ЕВРЕПО ВЬГГРЕм!Р 7 К~3,Ъ Ы- МЫ !. ЯРРИ,Ъ)ЖЖНПР ДОКИ;.3ЫНО. ,ЛОЖНО <'ЧИТЙТЬ, '-1ТО ОБИТЬ ООЩРГО ПОЛ(!ЖР!!ПЯ '17 ЗЙДВ! 'Х(.'Я В Й " сй~.'т! х!~)н ХЛР В"Р КОН~.'ГЙН7Ы ВРЩОСТВЮ'.ННЬХ, Щ)Н Э'ХОМ, В !.'И.4У ВИНА".ЕЙ-ЗВАННОГО, С'.ЧЛ- ~'4РМ, Ч$'О Г! '„~- ',! ~ ("г~ ~, О.) ф- «~. уц,цФ)Оь~х энм~нхой я,6.,х Е ~~, е ~ Л.: „ДръГиыц 4лОВйъп$. полйГФм. , 0 4--, Р1 ктур~ь$е кинстанти С".;;, Прсдстаа.тянт ыбой жорданову кдет- .-,, Л н' д" 1.
Ие(дн1щ' дд' н- ° .а СУ,— О, .;ф,~ ~'~ =1,2....,и — 1;~: = 1.,2, д'!. 0нридодюйий 6 Л4~Г66фи Лз 'Рый;О~м) 0цдя 61фс,м ийзьй1и7нь ' 1:ищыыль- „~.,;,~д д.;;-.„;:~ф ~.~~~~ Лй ццльпотоптпы~' спопйальние алг~..бры Ли размереи.тей 8 и 9 рам матри- ~,",ц:;<-ь н р<йотих ~411 и ~421. 0щ3едСлВНИР 7 С ЙсЦияльйбй с~фййОЙ Лй кц306~;,м, однш.'йдзндк1 "~~дл р~~,,7а, бает,в~".'чаек)щдю спи цц046яОЙ яА мф~' Ль.
Щ Ц;идмй Кчпжай|ти'и це,'и к1 буде'~ цы 1и~'ление ицв;цзиантов коприин:"диярн19хо 'тррлстивъ нпя Групп,.ь. эалаииьхх описанным вьтпн спи(мин'.,$, Я.д 1)~:'~('м рй1.'('.А4г~:1 рничать отдельно двд ~'д~тп~$й: Л =- и и А ~- 0. 0ООЗнйчи'.д т„'-',ии1.' и„'и'( (ф)и . ! и 'и:~и'э О ~ и 0 ~ соотм".т$."тя(чпн). ИНВ'ЦЭИЯН'ГЫ И КаНОНИ ХЕСКИЕ КОО~ЭДИНЯУЬ$ НВ ОРОИ'ГЖХ КОПРИСОСДИНОННОГО ПРЮДСХЯВЛЮНИЯ СПВЦИЗЛБНХ 1Х Гр'~'ПП ЛИ.
Рж"митины гпв ыл.~ "лу мй 1) =- О~ . Спстеми ~',1.1) в этом с1учм при- мет вид ~.1~~ун~.ш и лт "т~ми иэ п = 1 дифф» ренцивльних. уравпс пик в 'Бы"Гных пропп во '1имх. Ь п~.рц.-1Х и — 2 у1кщн(-ни11 снгтемы сжду~ 1, что ипв*1:рданты нг элв1и ~Г1 в-'" 1и'~м".и циоп,1 „,, Посдс.~не~ уравнение этоц си~. тамы дГ 6Р' дР х~ — ', х„-- — .. + х„.~,. — =.
О ,':1,'2) "дх,, ' дг, '* " дх„, ДоказяйельстВО. ПУсть 6:" грУПЕЕ)), Лн, со1))жтстпу1ошай О. Ор': ьцта, Ежпр))соедпненного предскавдениа, проходящая чве)ю х~ О', опрс- УЕИЕЯФ"ТСЯ ЕЙЕ 1." (Х) = (АС1 Х ~ Е)' ~- (У~ . Е.УЩЫ'ДЯДЯМ,'Ъ'ЕВЬИНтЫ МЕЩЯЩЫ ЕМ ());(у',:) слайд)'н)ЕЦеем Об()йзом: й.;;().') =' х1~.'-', гдов 1, ), ~* = 1... й, .)Ь.;1- ье) „-ЕО11));)ать, '.е'1'О 1)а).'4В~)ность Йппул)Рт ОЕ)а АН11(х,1 емкч'Йр)), х 1)ае)нш'3.'- )) — 1'аей,и;)) ., гд~. ПО Ощ)сдолвн1по.
Лпп(х 1 = ~~б О ~ ас(~х — О~ . А, ПО» 1;Ольк~:. )))с(Й = п11п (41п) Айе)('х)), то, рассъ10х$)~нис явного В11да ~-:6" ютреецы ('ю,;;(х'));))Еверп1ает дока:)аЕИ,Еьс1цо 111)едложен11)1. Пред,1ожоцм~ ,.$Ж))~аеео Да.'ес1 ~л'дйм полагать. что орбиты к~)пе)всО).,111ценно1о цред~ тав.ее)е))й :,1)Едал'е'ся спи т6'.мам11 Вн„1а Г)11 Д,. — )ееева()11анты (1 — -- 1,....п — ",(.
п~)1ечс1.1,~1, — — Х»,. д.ея ОЕ Д =1.';, для й1, с) ф О, Обозе1а-Еим эти орбиты евро) О',,'х,' н О~(х) . Првдложение '.) Орйаць1 мтрнса~дан<:нноа1) црсдллавлеип)1 С)",'(х) и д ~ х) — 01)ои)пь) ОЕ)щс '0 РО4ОФ!~нию, ЯВАМ)отц)и)с)е ВФйдА)1ми дье~мВе)ньяи Ж))О 'ОМф~),.'.111ЯМИ. Доказате.4ьство. Локаза1е.1ьствО и» Оставляет тру,да. е(.1и ра сьеот()еть Яаньп) е)лд ма1реЕп (и„;(х~) н (61,,,'х',') =- ('дЛ,,/дх;,' для ал1) бр,Ли 6; Н О) .
ПрСджжМКИ)',(ж)01)НО. И)'()е.'11дсм ез'. пос'ц)ое,*н1по фо()мы Ь.11()11л,'еова и е1й,ионичРГЕс1ех ео)орд11- Яд'Г иа О() е)11тйх Обще"Го положонеЕЯ, ЪОРЮКй 2;Е. Д.'Е)Е (1'~',Х~ ММЕС )1 фо~)МД А)11)И'1ЛОВЙ: 1 4;1;=. Д ЕЬ'ц — — ф /' 4Д ХЕ :.,':";:~рема 22 ('А С'Мищенаа,:'. А.7.:Фадинио ~;;::~~уещь В = хфОизбО4ьнйм Я2Г6фЯЯЦ ..'.~ д — и ',~':;::'-~~ннОВО а~и,"двшй646ним ЯЩищ4. Ди, Ощбеч92Ощ тЧ2ОН39О.4ьньЖ кОбехйъОЯ, А~,ы -.
ВфОиЗЬО4ьнь ;„-':-.,-)„ц, ~"Ого фДНКЩИ .~(Х+ Ай) И д(Х+ РЦ) Н22; ;.;";-:~~тн; Оф6нтт2Я2' кОЩРисОРдиненнОГО 22редсщцв„~ени ::;; щи 642ебфе Аи О ° сж, ''МЙВфи4Фщ" .' Щ нвщю6'нхиьФ ВОЯФФООедФ- 64 Й4366фе юг 9, т2. Е 8" м 6ещесхдбенные уйми Одной(:.Я 8 ИНВОАЛОЦВИ НЯ л хруты Ли, От228ечаю- Таким образом лчв Й(й) = Й(й~) имеем инводютивное семейство :-:,ф~якций , 2и), ~ Г„"(=) )— оеъ4еиство фде 2 ~ = (Й~, 1 протт'цтольные ковектора (~' инварианты.
Аналогично для Й(Й) = (ЦЙ2) имеем г2е 6" = (6'„'. ) — ироизттодьные коцектора. Я = 1...,, 2ц) . «'~'." (=)»вЂ” ":...- Вкпариаттттт. Как и рати.е, гпттаем, что орбиты Й(О ) и Й(О., задаРтстт т нстемамя вида ~..Ф ° 2п-21 С2т~-"~ ° Ул---2~, ) ~2о-4 '., «де "! ~ О . -. = (х. д',', . а Л. ', „~~ — инварианты ( 1 = 1....., тт — 2 ), .::"..:'Ввпчем .~~~'"' = Г~"" длтт тц01) и д~',"~ = Г~~~"" д.и й('О2) „м = 1.2. Раесътотрим два инварианта из мттожества Уж', )Г=~„'2... ооо":::,4вачим цх ~(.' ) и ф; ) . Применим к цим метод сдвига аргумента. Поду- , <И ...„дЙ' ''"."Иминтеграды „т" (=) =' ~,'=:+о) и д~~,'.") — -- д(-+,;3), тх. нару функций ;,,".4Р семейства (4.27) иди (4.28) в случаях и',О") = Й(От*) и Й(О') = 1 ~(О2) ':~: ФО'Гветстзецно ( д; и д ковектора„на которые производится сдттиг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
