Геометрия орбит коприсоединенного представления специальных групп Ли (1102766), страница 4
Текст из файла (страница 4)
„.т екотт структуры на оовмеотних тктверхностлх уровнЯ гвометрнче.к;1'д' тщт~ грйла и нтт"и".града пдотпад~;н, ц, т 1 !тих'ц отто груптта,~ ! д 1 д цнжецнй проетран~ тв~т ~1~~ ответта тт!Вттттт яЯх еор ~'- Ът ~т ратт ) ° Яил ЯетсЯ пол~'прЯмы34 ттропзведетт!иеА4 Ортого „, ц,ттотт труппы О~~тт) и группы Г~ц) трансляций (пардддедьцьтх пере- В!и-ОВ). Группа ~'('Й) = коммутативньтттт нормальный де титель В Е',й,! !1а~ьторфнттй И".,Ъ'йствне О~п) на Р~и) -- это стандартное 11реД~.'та,::::,,ъ",тр*цщ О!'11) и Л". Алгебра Лтт ~.!,'тт,'! группь! Е!'и,'! — Это полупрЯмаЯ еуммя ЯО(11) Я~ ~Л", 1"ле !~: '.~О(и) — Ф ЕМ! Л"! — диффе~и'.!!циал с"1"ан,дарт!то! о 11редс'1"ййлениЯ В~,и,! в Л ', а И раеематривйетОЯ как коммута Гттвиаа алгебра Лтт.
Ироттвво.1ьньттт э.темеят 113 е(тт) можно аапио~т'1ь ц вттде .-. — — х,!1. где х Е .ю(.и,'.у ~ Й' . Полный набор инвариантОВ ко11рттсо!.!ттт!Внного ттред~."1авлен11Я А~ГДЕ!'д',", приведен. например, В ~30~. Бас инх~ рееУет <'::1~ чай тт = 3. Имеем ал1 ебр~' Ли ~ !'3) = ЯО!'3) -'.: В' . где атгеО1)а Ли ЯО~,З) = ~!'!. ср., с!) реалтт31'е1сЯ и В11,1е КОГО('.ттмме1р11'тегких иатртта размера 3 х 3 с коммутатором ~А,Хт) = .'1 — ВА.
При этом л'!. ~ >~ = е;!, ~"!. ~".!~ — т".1, ~!.'1, т';!~ = с! . Инвариаттты еопрттео!'.д11ненного 11!)Р,'т( тт!В.ъ'тщя на 6 ! 3) Вьтглядй'1 т!1х. ~. — Й'-,'+ Ь"., + В';. Д вЂ” Я1Л!+ Я..Л, +.~'Я,, Гле .'~;, Ь;, '~д. Й!. Х),». Йд еоорзинйтные функттии на !. ~3) ( .~~!, ~~~., Ьз отве тато1 базису ~.'!, ~'., с;! ~, .Й1,.И». Л1 базису прог'1ранеттта Л Нйттоынттм ОЩМ'Деление скобки Пуаееона на еимп.Ф!к"т'ичееком мпого- 1 К от~!я".1!1111 !.и, ~ '~ . Пусть х ..... у — яоктьтьная еттгтема еоорд11на1 на Я.-') - -',, -- коорлттнатьт Формы '. В . ! Определеньх тт:ъ равенства :-"" ',:,„; = ~~,'. СКО6КОй ПУаосона ~~,д~ фУНКПтттт т'.д 6 С~!ЛХ) На !11.а- П1РК'111 тЕГКОМ МНОГООбрадтттт ~ЛХ, Ы) И;тэт,тттаЕТЕЯ ФуттКЦИЯ.
ОттрЕЛЕЛЕНттам !!ЯВ~ нс'1 цом д~ дд УЙ=-"~,„~„,,- ,'2.1()) ~-кт!!Фу Цуао:отта на орбц1ах коприеоеднненного представленн11 можно ! Кт~'-1! ! ь' В ед11ну1о т ко6т;у — !.кобку Пуассона;.,'1н на веем 11роггранст Вт ~-т'-'~тт .Х. д Е С'"",1)'), то „ттнтвто тио п<можпть по О11ределенттто ~~',у~ «х) = ~~ ~ О'!',Х,'., !1 ~ О'(х) ~(Х) . дН Л= — х В. д5' (~1~1зьевается. мы мореи Вьебрзть Г«ъ24ильтопиан В '.Гйким „,ы Ето система ~2.17).1~2.18) б~ .~ет экцивалептна системе ве1!1111 !'2.5) 42 6) 42*7) НстрУД11о Видеть, что ОЕОбражеееле ф~",,р! -~ 11 ~Я. Л) .
задаваемое формщамн Я, =А;;;+Л„, Г'те ~ = 1.2,3, устанавчивает изоморфизм системь1 ',2,5) !2.6).!'2.7) и 11С1с1!ы !,2.1 ь ) !2-ЕМ с Гамил1тон11йно11~ 1,. 1 ..., 1 Н= - --!',ЯЕ+Л!) +; —",.~~ - — 'Л1) + — (5З+Л.1) +Г 24! ' 24,- ' где парахн трь1 4!..'1~,.4а н фун1цЕЕИ Л!. Л~, Л1, (/ берутся из сис1ем (',5).!'2.6),!'2,~), по дад31п.1 не па Л"!'Р), а нй Ь"',Л', !'см., па11риъ1ер. Ф). заметим, 110 при у1аза11ном 11зоморФизе1е 1п$1(1рал1х Г = !'Р,у ) и 6 = (.4ы — Л.е,' переходят в инварианты ~!.
~' а.тебры Ли е',3), а !;11теГрал з!Есрг11п Е = !'.4' ., '!~'2 В тами.е1 токинги !'2.21). ХЙ11 Как <'Кобец ~ .13) яв.ЕЯется вьерожденнои, т1$ '1.111 системьх !3,1.ц„'2,16) всегда существуеот „Ева фу11кционътьно независ1ч! п.1х интеГрала ! 2.9'!. НеособьЕе совместные поверхности уровня интет'ра.чол ('2.с! ! ~!Л,'+ Й,'+ Л„' = С., 5!Р! +5~Л2+ 5~АЗ вЂ”вЂ” (Д С В"!'3,Р,! есть с11мее,1е1<т11'1еские мно1 ОООраз11ее. Гом4 О11орфныо Т5 ~,еасате,'1ьеЕО- иу Расс1О! ниЕО двудерноц сфер11!. ОЕрани'111м систему ~2.1э),(2.16) на ве!О1торуеО совместну1о 11оверхцость уров116 !,'2.22,' Полу'Еао11 гам11льтолвйу се1сте му 11а 1~ тьЕрехмерном с11миле1сти п'.ско."4 многообразип.
Д.,'Еа ее ееои1о11 икт~ Гр1Цжемостн ДО Лпувил.чео необхОД11мо суее1ествование Д11У'х Фуве'циои иь11о иезавцс11мь1х на 7".'~" 11111ОЕ'ралов «сы., например. ~22~). ~'~е' ьа1~ Га1111.$Ьтоинян. О'К'.ЦЦДИО ВОЕГД11 еЕВЛЯе'1'ся Ннте1РЕЕЛОМ Сис1'еХ11~1. „тех.рххруюмость по ..Чкувйллхо Оисхемьх (235),(2Лб) ОзначВсхх' смхцю-' 1ввцие интегрвлй~ ф7иеционйльно незйвисимОГО с х'жмильтониххном ЯЯ втой хтоверкнс1с'ти УровнЯ с тоит Отметить., что Лохтотххйте.тьиыхх ххн,, Рал может сухххесх'вов"1ть не нй. Всс% хховерхн~к.тЯЯ, уровня, й линхь на ,хсоторыхх из нхХх. Д.тЯ пойертхностец (3., 21 тхожио считд„'Гь, чтО с = 1 . ско„1ькт' линеииОе ххреобразовйние Л = схВ.,~ = $ хх = со1твс) сохра„.Яет ~ кобку (2.1З).
~'11ст-мох1 урадпеиих1х,2,15),~2Л6,' с Ханц,.тьтонхханом ~2,21,' опцсьхва,т.сЯ рвзличные заДачи линиьхики ХВерДого тела и некоторые другие. ДО Р11ГО ВРеьхех1Хх цс е "~ 1-И "~НДатХХХ рас» 1Х ХтРххввлххсь от тет ххсх и д тЯ к "х -х; Т1111 из ник оылп 1тй1хдены ххптегрнруемые случаи, х О ес.'ть Указйн ДОП~Ат" Яцт ельныи х1нтегр1х-т. СВЯ «хх между рнзличих*хми кт11ссическххьххх задачами ,.„'~;.~11пки, и чястностх1, существоввц1хе заьхены координат.
ххриводящеи 11)113н ция к зкв1хдалентному Вххду, отмечалнсь иногхх1ъхи авторами (сьх..„ цвпрыц'Р,12"1.131),1. Список основных извес тных цнтегрххруеь1ь1Х слу 1аев 1ЯЯ уравненпй 12.15',.~2.16) с гам11льтонхханоы 1'2.21~, то с сть слу Хаи ай, 'ра, Лаграниха. Код11яевско11, Горя'хева- Ьх1лыгцна, Жуковского, Срс*- 1е11скс1го. Ь...теоп1й, Стскловх1-Ляпунова с т к11захх1хе~х га111хххьтоХТХхана ~Ч и .р>пат1п1те.т1нс1го интеграла х1, можно найти, например, и ~81. 2.2 Тенз О$эное )эйсширсние алгебры Ли для классического случаи Эйлера и бифурыйциОнныО дийГРВммьх.
ЕЯ1х уж(' отм ха.тось„задача ЭЙлера движенххя твхрдого те.та вокруг за- 11',я'.1.тс'нно11 в 11ен'хре иас(': э"х'ого 'х'ела, т'Очехх опххсывйс-'тся '$'равпсн1хя';4Т1 ",-'-~1 .т,тЯ .1лгебр1т,.х11 с-.х = е13) группы Ли Е(3) двинхехтий тре.смерпох о дРостранства Л' ~.тЯ удобства вв де11 11ер~ обозна'1енхХЯ: 1оглв инварианты Ххопр11с.оедХТХхенцого представлениЯ длЯ алгеоры '3' еННЫК Х,: (Х = 1,..., О) ВЬХГТЯДЯт С;ТЕД~'ИХЩИЬ1 С1ОРХХЗОМ ~"аццдьтОнпйн Н и Дополнптюлъный интами А. 6~ГДут.
ЙытлйД6'х'.ь ,'си„, ~тащ~иые~х ф): ®мма 2 Д4я .И~) 'а4еем ~-4едующай наба ийвариантоа: ('р 29'1 Доказательство. Инварианты коприсоедин~ ппого пр~..дставлення для алгебры ..Ъ1 С) мы лиски. Слеловательно, теперь мы иожуи нанти соотнетстау1опдк инварианты для топорного расптиреннм Й,'Н! . если восщя1дуемся алгорцтмои '„1!, смхтр. 17. Прныенян хгот алгорцтм к ннваРиантаы алгебры ..1и Н, гамильхониану Н и дополнительному иптоГ~миу Й, прихорони к утвержленнн) леыыы Башеп,зз.,л'1пей оу,хет расс',4отрениу охобрзження Ф: ЛХ' — + Й „Гло "'-- ~~~1. Ч1, К~.
Н~) — отображенпе момента, ЛХ" = И'(Й~Й)'~ -- ор- ~"Па ибшего положения) конрисоединенного нредстаплеппя в 1Ц~)) ' . РеЖ~оженис 1 Миожс~.",хи6о ЬХ Абмясмйсж Гладким 'ип~'ОАФЙИАхййим "'"'"аа~Р~иис.а, онффеоморфмым 7!'„7 "> ) . 30 Ящ;ко счйЧ ~~ 1 Ь» чх О Орбйтй Й .Й 3щщфя'-сд (я~~дуцдцщ~ ец~-.~у~дц~ц ~уды 5 - В~Фщестненные жнсхануы д уй 0) У~+ У +Ув =1, 'щ '~д + ц~цг + У~*Я (~ Д.~ Х~ Ф Уьха -т- Убх~ —— а . У~х~ +;~йх5 + РзА~ + х'У4 + У~У.", + г.',~Ув = 6 Доказательство. Ллн нахождения множества оообонносхей 3 охображ~н1и мо~н'птй нужнО исс.,т4'дОВЙ"Рь сжд~'1О1п~'к) отдаст~'ы'~ из дйВя Ги Чзйй+'НИЕ '.
У~+1Д+У6 .- 1 (~~ «1~'~ УВ~ + У'~Уь+ ЫЫ = Ч ° ~/.,:.;х',~ -~ ф,к,, + 'фь~",ь -— Я у~~ ~ +,й~'; уз~'в+х~у + ~~В+:~'зуо = о . ф,~сйД вЂ”, У;,Ь/~ + Уьйф = О, ~Д „.'~/~ + У- Д~2 + ~/„~ф~Д '~- У~ ф4 + УМА~~~ + Я~ЬД вЂ” И у ~А'.,» + у-,Жх~ + у„.3х- + х;, с1д~ + х;,~УУ;, + хд фд = О, У44х ~ + Я.;4хр, + У„ИУ;~ + У~А'~ + У~~Ь;;, + Усох~+ !о ~,'2.36) ( '? '~'.' ) -~- 4',~~Щ + х.-.,б~ф2+ х~4УЗ+ х~фд+ Урфин,*х:~йф = (1, У1 У~ Уз 1А~ — -(ь~~ + — иу2+ — '' <1р~~ -~- у~у~4~~ + Я4~~ +Явь)ДФ Я; .~р 1ф,оргий 6 ЛХнож'ссР46о оообсийосихей 5' д4,Ф, окйоО~Я;жеймо мом(?ЙУЙЯ ,'~~,, И~. Л';, Л~~ есть о6ьедюкипе ~ыщыред;,циом~оств Ь" = Я О5 Ы ,~;„, ком.~:м: цз которых гомеоморфно Я~ х,И', где Ж.; ~',~' = 1,...,4) „,,д~;-;ддютлд сдедуопдит условидмц: ц,~ у~~ — ~/~ = Й ~д4я,яио;ж'Всюбя 5;,1, 61 Ч1 = У: = 0 М1Я .Мможелдби 52 1 ° ~~~ Р~ — У~ — 0 ~длЯ мкОэк'Рсхййй Я~ у — дуг у,~ — ~~щ у, дф, ~~ ~~ф ф цо )ф~ ~~с,гц» о 2 Кт~'ж,У) =д', В,(~,д) = "~, 2Аз , 2 2 2 У.т + У.; + У~~- , 2 2 2 +Др+Дт ф|х,, + тт2х;., + фзхд —— йд, ',2,Э)) ~2 о1) (2.5'2) у,(х1/у —, х,.) + д.,(х,/д+ х~! + уз(хзй+ х6,1 = 6.
Пттът1миы оудгг выгчядетт. стсдиатцнм образом: ,2,.2 2 Х~ ~ ~, х. у~ ) = д . И. ~ ~ х, ф = — '- - — + — ' + — ' Ут Й Чз 24~ 2Аз 2Аз утх! дзхз узхз ~тт(т1у» = 2я~х~ + угх2+ узхз), Из~х,у) = — + — +— А ф., А, Отеят тт т и~ т ~лц~; ~ ~ Я) (~ '~) прцходнтт т. выво тту тт~го образ ф~ „~~ ) вт т "тЧттх так; 2,2,2 Ф%) = ~д .—.' -+ — '-- + ----,2т:., — + — + — ) Я4,'з Дз хз ..А ~ ...4) 2Аз - тт А~ '-~з ~Мх Ы ='-Рзхз,Нз~х,у) = — ' — '. Дз хз ~2,48) з ттраеттяя нзвее'~ иое правндо мно итмей Лагранжа, ттз уравнений ,тц1-',2.44) ват'4то'таезт 'тто ~ уз ~ - ~ 7 ~, Расематриван соотттонтец, ~'~.:13) -',2,48), приходим к выводу, что бцфуркаццонцоц дрцц раммотт т, цттд;,тттожества 51 мттожества оообенност~*.й Я явдяется объедиттеттце ,тнттд.~ттц Р~ и Р~, оттнсанттт.~х выцте: Ф~'Я,', .= Х' О 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
