Геометрия орбит коприсоединенного представления специальных групп Ли (1102766), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Точка х пазывается Оо161ей ~ьр11- ДЦИ4ГКОМ ДЛЯ ОТОбражЕН11Я МОМЕПТ», Г, ЕСЛП 1ВГй «у 1Х) < -11. Обрад Г,г) кри1ической точки цдзываетеЯ Ч~В7дцчеекпм значением О'1'Ображен11я МОме1ГГа. ЧнОжество Всек кр11т1Г1еских значепщ1 называется биФ71ре,:аФцонни,ч .Ино:жм:лдвом . Точк11 а 6- В'. пе Являющиеся крити11еекиъ111 зп Ги ниями. 14азывак)тея РегЧАЧень7„,ми Для данного отображе- ниЯ жмента, Папомни1, 1то есл11 прообраз Р 1(а) регулирцой то тки а ки1иактен.
то гог.,'асио х~ Оре.'ле,'1иуцилля он состо11т из торов, еиу ЯВЛЯЯ. П'О" Гь '/ — тополОГ1гческое щ)ост~и1нство. А — - по,ль1ножестВО Р 11 Т!~,.4: 1О;1~ х А — > 'Г - не11рерывцое Отображение, зада1оп10е пересЕройку „41 -+ А~ . Где А = Т',О, „4), .4~ — — Х~), А) . НИЗОВОМ ЗТУ 11еРЕСТРОИКУ ОфМ61141,ФЬНОЙ, е~.:л11 ирй .побом Фиксированном 1 отображон11е Х(1, А) — гомеоморф11зм. 1 п1ютивном с Яу'1ае 11ерестройку назовем неп1ривчадьиой. Вер11емся к с11ы11дектипеокоь1у мнох'Ообрази10 ЪХ-"'. Коли 'Гочка а 4ВВ'еч"1 ОЯ ВДОль какОН-либО 1.Яадкоц кривои -1 В ирОстрие1стве Я", 001а- , я, ь при „)том' ре)'~',6йрнои чч)чкОН Отобрйжения моиента, '1.'0:Йо~никмо «1ие при у~'Ом пе1)ес'хройкн Щъообр~иов (ЯБлйхохцизкя инв4фиьнтнимн ла: ми под~дцц'ообрадиЯ~ди н М~~ ) — тривиальн у. Друх'ими «ЯО" 4'2п~ вами.
каждый $ю т01)оп Лиуви.ия Хладко,'жформируется Внутри .'4 ОСТВВЯЯ~;.Ь Щ.$И ЭТОМ ТОРОМ Лиувй.~ия, Однако ентуаЦЦЯ «4ВНЯСТОЯ„КОХ'ДЙ точка а приближаетоя к Диаграмме Е и в некоторьхй момент Временц щщ'Гыкает ее- Пусть 6.' '" тО хка Встречи ц~'ти ",~' 0 ьщожоством '('ак как с является критическим значением Отображения мОмента., то е п1)ооб)раз может не быть тором (или об'ьедипецием торо))).,4ругиьы ~ ховали, В такОЙ момент прОххсходЯТ не'гривиальные 11ереГ1'РОЙки «би" ф) ркапн11,1 Щ)ооб~)ЙООВ, Напомним- "~то гладкая функция / навыВается ценкйри.'1ьйой функпяей (плп фуккцпей 60:)п,.м11ра) скобки Пуассона, если ( ~'.д~ = О для всех гладких функций д.
т,е. если она щ)инадлеж11Т центру алгебры Ли гля. пл1х функц11и. Коравмерность орбнть1 общето положения О",,г) копрп~-Оеднн~ нного предо 1"авления А~Г называется пномжом ~пп О ал ебрр,т , 1и ~). Пусть Лпп~,,)'~ = «~-, О ~ ск(„х = 1)). стациОи<ц)ная под<игеора (аян~)ли))ор', ко))енто~)а .1' .(= О'. тогда 1~п1Н = шц1(лип АН11(х)~, ,~гФ)* Инво,1ю111вное семепст))о Функций на Й' называется йолньж.
если из него мощно выбрать (~йп~ Й+шс(О)/2 функционально невависимых на 0" ФУНКЦИЙ. КАЖДЫЙ Ковент(ЗР Х Е ~)' ОПРЕДЕЛЯЕТ КОСОСИММОЦЩЧЕСКУВ) 2- ФО1е1у па 0 м Т,.",(Е") равенством Ф,К,9,' = ',х,Ы,91';, Тем срым на Н' задано кос осимметрическое векторное поле типа ~,2ЛИ. Опреде,1як)п1ее на ()' см бку Пдассоиа-Дь ~~',д~~'.г) = Ф.,(дд,4') .
Иептральные функции лдесь -- это пноариамшы м)ир1(соедциеиноео ДХидставлсиия 1,или пр и..10 мнаираамхпь)). Т.е. Такие функц1Н1 „~ Е ~.:"' (О'), что для лхобого ',г Е ~' вьп1олпяе1ся тождество ~~,'Ас1 д.) = ~,'х,', О1 ран11 101пте антон скобки Пуассона-„'1и па 0$)биты по))ождает там симхХлекти~хескуц) ст))уитон - Форму Кириллова. Напомним ее определение. Пусть 0 — а.:11 ебра,.'1И груп'~ы,Чц С. 'Ьгда, как нетрудно убедиться, касате.,1ьнос пространсхдо в то'.~ке .1.
к орбите О"(х) состоит из всех векторов вида ай;.'г „ Р пробеГае т' О . П~й ть Й, У Два касательных Векто$)а к Орбите 0'~,г1 ( г) В точке;т . Тогда и силъ Вы1пескйзанного можно считагь, что Вектора а И 1) допуская)т п)и..Дставление (неоДнозначное',~ В ЦНДе а = аС)„'Х, Ои~1сфеленин1 2 О<~!!!с~;м, ~ийо 1йо~~й ф ~ Я"- ~1~- йф~й11о!!!1.!11сй~й О~1фщ»- 1„"цф1ониОЙ дийс~~УЙмм6' ° ю,, е1;"4Ф (;ди$11сщВфеж оарсГщцо(:уйь Щ ф) 7йоч7ьм ф Л"', 'юй0 мйофйж:ем116 Ф: Ф 1О(ф) ! -+ О(у) Я6.44ийсФ 7ЩИЮИОмьннм рцгс40смюем, ВОР!Яльйь$е Йъо'чк!1 Фл Д"' диадем ~."ч1ийВ7й1 хфФхкйдмеж-'ЯщФ- мц 61фя~мщкокной д11ае~замме Ь.т11удно пОнять, что имли ~ С Е, и если подмно2еести1! Ф (ф) к!1мпйктны длЯ В(хх Точек ф ОО1мза о1'оо~йыеений моиента Ф .
'хо Пу~ ть В' — обычное Л" -1 1орное евклидопо прост11анстио, и гладкое ;,1ногообр;пие М'~' ~':ждается и .Й'~ с11стеиои: гд! ~К!'.1')'!~; — ! 1 — функциоп !..'1ьно независимыи набор гладких функцид. ~'х;, .6' — Ф Й, = !11; —.!! !,,;(2;,; -„!2! ° Р1!1'(;иОт1111,'1 наоо1) 1т! ! !/ !...,, ~с!., ! !1). Ст. !,х.
!1 !,..., Сз !„' 1;1:. Д), 11~х1У '!'м'мьп1 пз ~С,:1,~'!~„' — 1,! По(','ро.*,!стпом 11лго 'н4'1ма 1$). Лемма 1 Лйо;~:!::!':1й11О.,111дй!космос с11сп1~мй.й ,е!;ж т.",м, 11д1'!1м многообразием. дыфф1-;1морфимм 7"АХ'' ДОкззй'ГбльсУВО Посе!14ьк»' 1'1га 1и!'пть1 ~1'"и) 6 ! 1 г) Р1а11(~ ' ! х1 и1"- 'иаи~'111~1ы то системй, ( Ф ! задает 1,"1алко~~ (Л вЂ” Й; -мерное мпо1'ООО1хюи!' и'1"1к"нно!' н еик ~11доно п1'О"~"Р"Потно -11 «с-'1 пап1!1'~'"Р-. Р'4 ) В каж.'1о!! то'и'е .1 Опо 11111" ет .У вЂ” Л') 11е1эп!!с касате.'1ьное прост1мц1- ств! '1'У, к!!то1)ое --- не что иное.
Еак !!Ртогоп!1льное ЛО11олнепие к ~,",11и1 (т! ! х 1, „... Д!'Й(1 ! ~у;1 х;~, поэтОМУ к11сате.пэвк(н', р1ы( лОение Х,Ц ' ЗПЛгЦЬТС Л СНСТ1 МОИ О1 !':1') = И,... „О1. (;! ) — О, ',Рта11 С!('х) У) = О. Бифуркационные диаграммы для сис'х'Ом) пОлуяаймых тйнзОрньхм расширени8м из класси~хйсыОГО слуяая Зил8ра. 2.1 УРЗВНВНИЯ ДВИ;~КСНИЯ ХВ~РДОГО ~ЕЛО КЯК. ГЯМИЛЬ'ХОНОВЯ СИСЧГВЫЯ« В КЛ )4ХН')ОФ КОХХ МРХаП))КС ) О!) ОШО 11ВВФ СТНЫ У1)авнЕ1111Я ЗйЛЧ)а-ПУ)ХЕСОХИ, 01111~'ЫВ))ХОХХХХХ~ ДВХХЖОНН1' ТВ)'~).~()! 'О 'ГО.-*1)Х С ЗЙК1Н'П.Ф'ННОХХ 'ТО ХЛОП 3 ХХО.'1~ СХ1" )Ы ТЯЖР)"Т11. ЕОТО~3ЫР В ВРКТО~)НО11 ф01)'.Л(' ВЗГЛЯД)Х Х' ТАК: А..=Лыха — Г) хР, Р=РУ'~) 111)ХД('41,.4).-43),:-" = ~',~.'~,м'Х, ~,1 1 — П~:)ООЕЦХ111 В(.КТО~)й .'.)'1':ХОХ)О'1) 1<О))о~'ТБ ТЕЛй На Х ЛдЗНЫЕ ОСХХ ИНЕ1)ЦИИ '1) „ХН, 1. — (К, 1.,„1.
1, ) —.. ~,) 1 * ) 2 ° ) .') ~ -11 Х.ХНВХХЬХО МОЬЫНТЬХ ХХНРРЦХХН Х ~ЛН, 1 8$.'Г 'Х Р,)ХЙ. Х ' Щ)О);,КЦ1111 ХИ'К'Х'ОРХ), С ННЧЗЛОЪХ В Ч'ОЧХ)о ЗйК~И'ПЛ)'":ХХИ)Х Н С ЕОППО)1 В ЦЕНТ~)О Т)"'Хй НЙ Г„'ХНВНЬХС ОО11 ХХНР~)ЦХ111 'Г1'.Ла„Р; ' ЙНЙЛОХ'ххчн))о ХХ~им'КХХ1111 1411Н11'-ХНО1)) ВР1)ХХХКХЯХ,НОХ.О ВРГТОр.) ! ) — 1 ~ 3! -1)'р)') 1) Х 6 К)ХК ООЫ 1- 111)..
ОО1)ВНа":)ЕНО ВОКтОРИОЕ ПРОЦ:ХЦЕДЕНХХЕ Ц .Й~. 13 ЭТОХХ С11С111Ц) В1КТОР .ф = 1шеет съхсл Пиит'й"юсеого момеБха. твердйхъ тела Относйтольи0 ПЕИОДВП й;ПОИ тоЧКЙ. ~*11авиеипЯ ДВиженпЯ 'РУДОГО "Гела с фпкеЩъОВаинои "х'ОчкОЙ В Щэопз Вольном и!л'е11цпйль11ом силОВОм поле Оыли получены ЛйЦъйнжеы..Еслй у зтОГО ЙОЯЙ есть Ось симметрий~ '1'О ее з1ожио с'1их'йуыщэ'Гика!1ьиоп; и 1:равнения бед'ГГ Пан'ть след~'кзщпп Впд„' д!! АЫ А.'41Х Ы+ Р Х вЂ” --, 0Р Р=РХЫ, ~.л! '!!(Р1.
Р~. Рз,! по'хеициальная функция и Яаиболее обши11 вид уравцекпй, опись!вающих различные;1адачц дцца- пцкц твердого то.!1а„бьхл предъявле11 М,П.Харламовт,т!'1 в ~6~. Виолам ц ра!.смотрение так 11апжвае.'1ые гиросколичс ские силы, ои получи.| с.1е!1у- м!Пу1о сии'уе!'1ъ- з 1завиец1111: дй .4.ь — — ~АЫ -~ ~Т ! Х ц,~ + Р Х дР (2. Гь) Р = Р Х;~,', ('2.6"! Вее'!'Ор 0 = ~б"1, (7~, дз,1:уело Вектор"фупи1~ин, компопеи'пй б,~Р1 Потерпи 1гт1.
1з~зффиц11!'н'1ы некото~)ои замен% 1:Ои 2-формы на М.~',3) (фор- '411 Г11рО("конических сил; 11ри Этой фъ'нкщ1я !7( !Р) не 111юи".$волька., а 11:Ф'ЕТ ВИД; гл! ~!'! ' произвольная Ве1 тоР-Функи11" * понировани'щ матрица Якоои, Е единичная 3 х 3 матрьша (!.,„! =- 1,2., 3) и дА! дА~ дЛЗ с1тА = -„— + — „ дР! дР2 дР! -1е-"1-о заметить. что система 1'2.1),(2.2) являетея частным случаем с11!'.ТЬХ1Ь1 ~2.,'~),('9.6) (2 1) Даткцьтм 11НСТЩ'МеНХОМ ЛЛЯ НС;слЕДОВанея мехаНПЧЮОкйЖ сИСТеМ ЯВЛЯ- тОтс.я 1ЕОМЕТрн'1ЕСКЙФ.'.
МЕТОДЫ. ЕдК ЩФВНЛО. П~ИИ"Трано'Гво ПОЛОИЖНИЙ ТВКО11 Еис-.ТЕМЬ1 ЯВЛЯЕ'ГСЯ ГЛНДК11М МНОХ'ООб~МИИСМ М. ЭТО . --- ТОЖ НттЗЬтВВЕМОЕ КОНФПГурацИОННОО ПРОЕТРЖНОТВО МЕхаПтт'-теокОЙ Оиотс. Мьт. Гтт; ~стт„тьтонову механнк7 стрОЯт В фазовом проетрюнс1'зе. которое с мж'Гецатттчс'с'котс тО'1кн Зреттття стОВпаДае Г с кокастатстдьным )эжсслоением Х ЛХ ,„Г„„;р,,нищ,Ц- ~;„твои иро,мур;н~:~рва ~'Д цвляется д,ра ~~т ~) ле т — — точка тсХ . ~ ' конек Гор В '1'стчке .т." . Легко проверйть, чтО ~" Я вЂ” ГЛВД1 ОЕ 211-МЕРНОЕ МНОГООбРНЗНЕ ( ГДЕ тт = 41ГЙ ЗХ ',~, КРстМС.. ТОГО, На ЕокаеаТЕЛЬНОМ раСЕЛОЕННН СУ1ЦЕЕТВуЕТ Ес:ТС.СГВЕННая С11МПЛЕттттт*тЕС.та3тт с"ц~утттура ~,'С~т.. Наирттмор.
~Ц), '1ае еае еонфттгурацттоттиое прос,'т'ранс.тво с::11с'1'емы зачаетуто не 1олько .'стнстгообрс1-3ис.". но н группа, то еутцс'ствует н нс.'скОлькО ттн011 подход С1Х~ Чеипто МСХЙНИ'1С'СЕИХ СИС ТС"М, ННПОМттИМ, ЧТО ДЛЯ ГЛЙ4КОЙ фЪ НК11НИ тт ца с'1";мпле1ътиче( ком многообразтттт мс)жно пос'Уроттть гзмильгоново ЦЕЕТОРПОЕ ИОЛЕ Ъ., КОТОРОЕ НаЗЫцаЕтСЯ КОСЫМ ГРЪДИС ИП сс:.1 Н ОбОЗНаЛае 1"си символом Л: = чр;Гас1 Н . Фунт цття П' называс тся 1 а.;ти.тьтоттттаттом систсмы, Пуетт Ст" — грУттттв ..'1и.
8 - — ее алгебра 1п, и Р'(1) — орбита еоприс оелиненттого иредстттттлсния ЛсГ группы Ли 6", проходятиан терез -с 'и у ~ ~.= 0", где Й' — ироетрвнс..тво. сопряженное с" О . Па еаЖЛО11 ОРСтИТЕ Р (1) 1ОПРттс'.ОЕДИНЕттттОГО ИРЕДСТВВЛС'НИЯ ГРУППЬ1 С МОЖНО СИ1РС.'ЛЕЛ11ТЬ С'.11МПЛЕ1~ТттЧССЕУН) с'ГР~'1С.'1'УРУ ы.' . ЭТа ~-фОРМН НазьтйаЕТСЯ фОРМОтт ЕИР11ЛЛОВа..'С1ОжНО ПОЕаЗатт, ~',с М..
НаПРттМЕР..181,', 'ттст ГаМПЛЬ-.01соиы уравпепця х = я~тас1 Н, па орбтттс Ст",с, относи1'с",тьно формь1 ЕтЦН1 тлова. ' 1 имс тс)т вид .т' ас1 111с .1(х) . Хаенм образом на 1ъа.й лот'т орб1пе ттознит.атс1т гамильтоповьт уравнс.ния — ас.1,1ц' . ~,1), с С О,УХ Е ~.- ~О ) (2.8) Эту 01101.сму на 0' ттвзь~ватот урствнетсил,сстт Эйлера,. Ичвесттто, что чногстс- ф11зтт тесеи 11111ересиьтс задачи приводятся е такому виду. Остттеа1ИСЕ ИО ~ОСтНЫХ ЗЙДач, ВОЗ11111СатСЗЩ11Х тт МЕХЙНИКЕ, Й ТаЕЖЕ 11ЗЛОЖЕттттс' И(.'*1'О Р1ит,.саттттого вопроса.
моттс1ссс на11ти„напр11мер, в ~23Я28~. Б частттстс.т11, ОЕ 1ЗЫтяИ."тс.я, -ттц СИЕТс;.Му уратцтотттт11 (Л.51,1 2.6),~',2.7) МОЖНО ПрЕДС1антттт. тт встде уравнс"нтпт Эйлера ~2.8) для атгестр11,.'111 е(3) группы двттжений 'р'хиерного евклплового прос-.транства. 'Хактте системы гампль"10новт,1 ва 4-и "рных стрбтттах е п1)ттс[м'.Лии.нн го представте1111я. и. еае ст11'тВо л-тя полно11 тттттегрттруемос'1чт по Лттуттттллто необхоДимо указать еите однц ттн ГВ1" раЯ ~~'и ~ напримЦх ~2ф. В рабохФ Я ттоказано, ~1то УйвеюнВЯ ф5),!'2.6)42 7) также гамнльтонойы отноонтвльно некоторой сттмплвй:- ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
