Диссертация (1102749), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поляризации первой и второй гаромник в численномэксперименте были линейными, причем угол между направлениями их поляризаций ψ0варьировался от 0° до 90°.Начальные условия (z = 0) задаются в виде электрического поля линейнополяризованных первой и второй гармоники лазерного излучения так, что ψ0 – уголмежду направлениями их поляризаций:Exz=0 ( r,t ) = e− r 2 2a02E yz=0 ( r,t ) = e− r(E e−t 2 2τ 12122a02E2 e−t22τ 22cos (ω 0t ) + E2 e−t 2 2τ 22)cos ( 2ω 0t ) cosψ 0 ,cos ( 2ω 0t ) sinψ 0 ,(2.20)E1, E2 – пиковое значение электрических полей первой и второй гармоник.Геометрический фокус задается с помощью умножения начальных условий (2.20) нафазовый параметр exp[iωr2/(2cf)] в частотном пространстве, f – фокусное расстояние.§2. Метод численного решенияПоскольку исследуется генерация и распространение ТГц излучения в режимеединичного филамента, в численном моделировании решается аксиально-симметричнаязадача(2.11).Такойподходпозволилсущественноповыситьспектральноеипространственное разрешение по сравнению с работами [129 – 131], где численнорешалось уравнение в XY-геометрии.Особенность исследования ТГц излучения в задачах филаментации состоит в том,что пространственные и временные характеристики электромагнитного излучения прифиламентации изменяются в больших диапазонах.
Для корректного описания ТГц сигналафиламента необходимо спектральное разрешение не хуже 0.05 ТГц и диапазонисследуемых частот по крайней мере 0.05 – 2000 ТГц. Такой большой частотный диапазоннеобходим для описания полей основной и второй гармоник титан-сапфирового лазера вовременной области с хорошим разрешением. ТГц сигнал филамента является сильнорасходящимся, что накладывает не менее жесткие требования на разрешение попространственномуспектруиисследуемыйдиапазонпространственныхчастот:небходимо рассматривать пространственную область в поперечном сечении в диапазоне10 мкм – 1.5 см, при этом используя достаточное число сеточных узлов, чтобы описыватьТГц излучение, распространяющееся под большими углами к оси филамента.39Для оптимизации численного счета шаг по координате распространения z –адаптивный, его значение высчитывается на каждой итерации в зависимости от значениямаксимальной интенсивности лазерного излучения на данном этапе распространения.Таким образом, шаг по z-координате уменьшается в процессе самофокусировки лазерногоизлучения от 1 см до 5 мкм в нелинейном фокусе филамента и при формированииплазменных каналов.Переход из пространства радиальной координаты r в пространство угловыхвекторов kr осуществлялся с помощью дискретного преобразования Ханкеля которое былореализовано в численном моделировании согласно методу, предложенному в [ 147 ].Данный метод является сравнительно медленным по сравнению с так называемымибыстрыми алгоритмами преобразования Ханкеля.
Однако быстрота этих алгоритмовдостигается путем аппроксимации исходной подынтегральной функции Бесселя какойлибо другой функцией или рядом (например, полиномами Чебышева [148]), что приводитк возникновению невязки, растущей с каждой итерацией, поэтому такие алгоритмы неподходят для решения задач распространения, где прямое и обратное преобразованияХанкеля выполняются многократно на каждом шаге интегрирования.Согласно [147], прямое и обратное преобразования Ханкеля нулевого порядкафункции f(r)∞F̂ ( kr ) = ∫ f ( r ) J 0 ( kr r ) r dr ,0∞f ( r ) = ∫ F̂ ( kr ) J 0 ( kr r ) kr dkr ,(2.21)0в дискретной форме имеют видF̂ ( m) =f (i) =T 2 N −1∑ Y ( m,i ) f ( i ),jN2 i=1 01 N −1∑ Y ( m,i ) F ( m),T 2 m=1 0(2.22)где F0 ( m) = F ( jm / T ) , f (i ) = f ( jiT / j N ), Y0 (i, m ) = 2 J o ( ji jm / j N ) / J 12 ( jm ),m, i – номера узлов сетки в пространстве kr и r,jm – mй корень функции Бесселя нулевого порядка,T – размер области определения функции f(x),J0 и J1 – функции Бесселя нулевого и первого порядков соответственно.Как видно, узлы сетки расположены неоднородно как пространстве радиальнойкоординаты r, так и в пространстве угловых векторов kr в соответствии с обобщенной40теоремой аппроксимации.
Значения этих величин в узловых точках пропорциональныкорням функции Бесселя нулевого порядка. Таким образом, точки, соответствующиенулевому и максимальному значению r и kr в расчет не включаются, однако, увеличиваясеточное разрешение, можно получить значение искомых величин в сколь угодно близкихточках.Численное интегрирование уравнения (2.11) с учетом (2.12, 2.17-2.19) проводилосьна основе расщепления по физическим факторам.Уравнение (2.11) расщеплялось на шаге Δz на:• линейную задачу дифракции и дисперсии:⎛ ∂⎞−ikÊ ( kr ,ω , z ) = 0,z⎟⎜⎝ ∂z⎠(2.23)• задачу с керровской нелинейностью:∂2π iω 2Ê ( kr ,ω , z ) = − 2P̂ ( kr ,ω , z ) ,∂zc kz(2.24)• задачу с плазменной нелинейностью и поглощением:∂2πωÊ ( kr ,ω , z ) = − 2 Ĵ eff ( kr ,ω , z ) .∂zc kz(2.25)Уравнения (2.23 - 2.25) интегрировались последовательно, решение предыдущегобыло начальным условием для последующего.41§3.
Обработка результатов численного экспериментаРезультатомчисленногорешенияуравнения(2.1)являетсяспектральноераспределение электрического поля ! , , . Спектральная плотность мощностисуперконтинуума S(ω, z) лазерного импульса на расстоянии z равна:!! , = ! , , !! ! ,(2.26)а его частотно-угловое распределение: , , = ! = sin , , !,(2.27)где k (ω ) = ω n (ω ) c – волновой вектор.Для получения профиля ТГц излучения полное частотно-угловое распределение(2.26) интегрируется в диапазоне частот [ωmin, ωmax], измеряемом в эксперименте:!!"#!!"# , =! sin , , .(2.28)Для получения временных распределений поля ТГц излучения из полного массиваданных с помощью супергауссова фильтра с частотой отсечки ωmax вырезается часть ТГцсигнала !"# , , = exp −!"!!!"#×!!! , , ! ! ! !(2.29)измеряемая в эксперименте.
Далее распределение ТГц поля определяется Фурьепреобразованием выражения (2.28):! !"# , , = !!!! !"#!!, , exp (2.30)Для анализа поляризации ТГц сигнала, расчитывается зависимость интенсивностипроекции ТГц излучения на ось полязатора n = (cosβ, sinβ) от угла поворота поляризатораβ:!"# , =! !!! !! !"# , , ⋅ ! (2.31)Тогда под направлением поляризации ТГц сигнала на данном расстоянии zпонимается угол βTHz, при котором интенсивность ТГц излучения максимальна:maxITHz( z ) = I (βTHz , z),(2.32)а под эллиптичностью – отношение минимального к максимальному значениюинтенсивности ТГц сигнала.ε THz ( z ) =minITHz(z)ImaxTHz(z)=I( βTHz + π 2, z).I( βTHz , z)(2.33)42Таким образом, в численном эксперименте получены спектральная плотностьмощности S (ω , z ) и профиль ТГц излучения S (α , z ) , его частотно-угловое S (α ,ω , z ) ивременное ETHz ( r,t, z ) распределения, а также эллипс поляризации ITHz ( β , z ) , направлениеполяризации βTHz и эллиптичность ε THz ( z ) .§4.
Модель суперпозиции локальных плазменных источников терагерцовогоизлученияДляинтерпретацииформированияугловогораспределенияТГцсигналаодноцветного филамента и регулярного кластера одноцветных филаментов соискателемразработана модель суперпозиции локальных плазменных источников терагерцовогоизлучения.Разработанная модель основана на следующих предположениях:• плазменный канал филамента является протяженным источником ТГц излучения;• ТГц излучение отдельных его участков является когерентным (поскольку вселокальные источники были образованы одним импульсом, и смещение электрона за времяпрохождения импульса мало по сравнению с длиной волны ТГц излучения);• доминирующийвкладвегогенерациювносятпоперечныеосцилляцииэлектронной плотности.Тогда электрическое поле плазменного канала в дальней зоне в точке, кудапомещен детектор ТГц излучения, есть результат интерференции (рис.
2.1) излученияотдельных его участков.Интенсивность излучения филамента в дальней зоне I(θ) можно записать в виде: ∼! !!" ! ! , , , exp!!" !!! !!!"#!exp −! − !!,(2.34)⌢где E γ z,θ , z,t — излучаемое в момент времени t под углом γ ( z,θ ) поле малого(( ) )участка филамента длиной dz, расположенного на расстоянии z от его начала, l(z) —расстояние между элементом и детектором, λTHz – длина волны ТГц излучения, νс = 5⌢ТГц — частота столкновений электронов с нейтралами.
E γ z,θ , z,t обуславливает(( ) )распределениеинтенсивностивслучаеотсутствиялибоналичиявнешнегоэлектростатического поля.43Рис. 2.1 Схема интерференции излучения элементов плазменного канала: L – длинафиламента, z – положение излучающего участка dz, γ – угол между прямой, соединяющейэтот участок и ТГц детектор, и осью z, l – расстояние между ними, R – расстояние от ТГцдетектора до конца канала, θ – угол между прямой, соединяющей конец канала и ТГцдетектор, и осью z( ()В выражении (2.16) первый экспоненциальный множитель exp 2π i z + l ( z ) λTHz)имеет максимум на оси в силу равенства оптических путей излучения, приходящего вточку с γ = 0 от каждого из участков dz: расстояние z проходит импульс лазера соскоростью c, а оставшееся до детектора расстояние (L − z) + R, где R – расстояние отконца плазменного канала до детектора, с такой же скоростью (пренебрегаем дисперсией)проходит ТГц излучение малого участка, т.е.
оптические пути ТГц излучения от всехэлементов совместно с лазерным до детектора на оси, равны L + R вне зависимости оттекущей координаты z излучающего элемента. Второй экспоненциальный множитель()exp −ν c ( t − z c ) связан с затуханием в результате неупругих столкновений электронов снейтралами и определяет ширину спектра ТГц излучения. При исследованияхфиламентации подобные интерференционные модели применялись при излучениивзаимодействия кольцевых структур филаментов [ 149 ] и формирования частотноуглового спектра [ 150 , 151 ]. Интеграл (2.34) определялся численно с шагами Δt =λTHz/(100c) и Δz = λTHz/100.Диаметр филамента составляет dfil ∼ 100 мкм [113], в то время как длина волны ТГцизлучения λTHz > 300 мкм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
