Диссертация (1102749), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ониспользовался в [125, 123, 85, 126,127] для описания спектра, углового распределения иполяризации ТГц сигнала.Заметим, что квантовый подход не учитывает эффекты распространения и неявляется самосогласованным, то есть не описвает обратное влияние среды навоздейтвующее на нее излучение.Наиболее общий подход к описанию генерации и распространия ТГц излученияфиламентасостоитврешенииоднонаправленногоуравненияраспространения(unidirectional pulse propagation equation или UPPE) [ 128 ]. Такой подход позволяетсамосогласованнорасчитыватьгенерациюираспространениеэлектромагнитногоизлучения от ТГц до УФ частотного диапазона.
В нем не используется параксиальноеприближение, что позволяет исследовать сильно расходящийся ТГц сигнал филамента.Учитываются как линейные эффекты (дифракция, дисперсия), так и нелинейные (откликсвободных и связанных электронов среды, поглощение).32В [129 – 131] с помощью UPPE был получен спектр ТГц излучения филамента.
Длячисленного моделирования аксиально-симметричной задачи в [129 – 131] использоваласьXY-геометрия, поэтому разрешение сетки достаточно низкое (порядка 1.25 ТГц). Крометого, такой выбор геометрии приводит к численной анизатропии в решении, которую, впринципе, можно уменьшить, увеличивая сеточное разрешение, но полностью избежатьнельзя.Вданнойдиссертационнойработеиспользуетсямодельнаосновеоднонаправленного уравнения распространения с учетом четырехволнового смешения иобразования фототока.33ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕНЕРАЦИИ ИРАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕРАГЕРЦОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИФЕМТОСЕКУНДНОЙ ФИЛАМЕНТАЦИИ В ГАЗАХ§1.
Математическая формулировка задачиОднонаправленное уравнение распространенияУравнения Максвелла в немагнитной диэлектрической среде имеют вид:∇× E = −1 ∂B,c ∂t(2.1)1⎛∂D ⎞∇× B = ⎜J +,c⎝∂t ⎟⎠(2.2)где E и B – электрическое и магнитное поля, D – электрическая индукция, J – плотностьтока свободных зарядов. Все поля зависят от пространственных переменных r ≡ (x, y),времени t и координаты распространения z, с – скорость света в вакууме.Отклик связанных электронов среды на электрическое поле описываетсяполяризацией среды, которая связана с величиной поля посредством материальногоуравнения.
Представим поляризацию как сумму ее составляющей P(1), описывающейотклик среды на слабое электрическое поле, и части P, которая является нелинейнойфункцией компонент электрического поля и играет большую роль в условиях сильныхполей. Такое разложение справедливо для электрических полей, при взаимодействиикоторых со средой большинство электронов остается связанными внутри атомов илимолекул. В данной работе рассматриваются изотропные и однородные газы, для которыхкомпонента поляризации P(1) является линейной функцией компонент электрическогополя в частотном представлении.
ТогдаP̂ (1) ( r,ω , z ) = χ (1) (ω ) Ê ( r,ω , z ) ,(2.3)где χ(1)(ω) – линейная восприимчивость среды.Электрическая индкция будет иметь вид: , , = , , + 4 , , ,где(1)ε(ω) ≡ 1 + 4πχ (ω) – относительная(2.4)диэлектрическаяпроницаемостьсреды.Подставляя выражением (2.4) в уравнение Максвелла (2.2), дифференцируя его повремени и используя уравнение (2.1), можно получить векторное волновое уравнение,описывающее эволюцию лазерного излучения в прозрачной нелинейной среде. Впространственно-временной области оно имеет вид:! !!Δ − ∇ ∇ ⋅ − ! ! !! !!!! − ! , ! , ! =!! !!!!! + !! ! ,!"(2.5)34где E, J и P зависят от (r, t, z). Использованы одинаковые обозначения для частотнозависимой диэлектрической проницаемости материала ε(ω) ≡ n2(ω), n(ω) – комплексныйпоказатель преломления среды (включающий эффекты линейного поглощения), и еевременного представления ε(t). Следует отметить, что в общем случае, волновоеуравнение (2.5) включает в себя временной свертку диэлектрической проницаемости сэлектрическим полем.
В дальнейшем удобно работать с Фурье-представлением уравнения(2.5):Δ − ∇ ∇ ⋅ +!! !! !!!=!!!!− − ! ,(2.6)где Ê , Ĵ и P̂ зависят от (r, ω, z). Для решения уравнения (2.5) или (2.6) необходимознать материальные уравнения для среды, то есть зависимости поляризации P и тока J отполя E (с учетом запаздывания), задающие модель отклика среды (связанных и свободныхэлектронов).С использованием нескольких приближений из уравнения (2.6) можно вывестиуравнение распространения импульса, которое подходит для численного моделированияпроцессов, происходящих на больших расстояниях распространения.Предполагается, что электрическое поле и отклик среды (ток J и нелинейнаяполяризация P) поперечны. В условиях достаточно мягкой фокусировки выражением()∇ ∇ ⋅ Ê в уравнении (2.6) можно пренебречь.
Когда значение численной апертуры пучкадостаточно велико, возникает ненулевая продольная компонента поля Ez вблизи фокуса, иданное приближение не работает. Разделяя лапласиан поля на продольную и поперечнуючасти, уравнение (2.6) можно переписать в виде:!! + ∇!! , , +!! !! !!! , , =!!!!− , , − ! , , .(2.7)Переобозначим отклик среды (связанных и свободных электронов) как ← +/ тогда уравнение (2.7) примет вид!!!! + Δ! , , + ! , , = −4 ! ! , , (2.8)где k(ω)=n(ω)ω/c.Для учета непараксиальных эффектов при исследовании однонаправленногораспространения излучения перепишем уравнение (2.8) в фурье-представлении попоперечной координатеи разложим на множители первое слагаемое левой частиследующим образом:! − ! , !!!! + ! , ! ! , , = −4 ! ! ! , , ,(2.9)где35k z (ω ,kr ) = k 2 (ω ) − kr2 .Будем(2.10)рассматриватьтолькокомпонентуполя,распространяющуюсявположительном направлении оси z.
Тогда ∂z+ ikz ~ 2ikz. Это приближение приводит коднонаправленному уравнению распространения:!!"= −! , ! ! , , + !!!"!!!!,!! ! ! ! , , .(2.11)Выше был представлен вывод однонаправленного уравнения распространенияметодом факторизации. Строгий вывод уравнения (2.11) представлен в работе [128].Нелинейный отклик среды.Отклик связанных электронов среды на интенсивное лазерное излучение.Вклад нейтральных молекул или атомов газа в нелинейный отклик может бытьописан с помощью поляризации третьего порядка как [112]! = !!!! ! (2.12)(3)где χ1111 –компонента тензора нелинейной восприимчивости.Уравнение (2.11) с учетом (2.12) описывает распространение пучка под действиемдифракции и оптического эффекта Керра, что приводит к самофокусировки пучка (дляположительного n2).
В цилиндрической геометрии пучки с мощностью вышеопределенного порогового значения Рcr испытывают коллапс на конечном расстоянии[132]. Для гауссовых пучков, этот критический порог определяется по формуле:!.!!!!!" = !!!! !!,(2.13)где n0 – линейный коэффициент преломления среды, n2 – коэффициент кубическойнелинейности среды.В случае коллимированного гауссова пучка E = E0exp(−r2/(2a02)) с мощностью Pсамофокусировка произойдет на расстоянии [132]:zc =0.367z d2⎛ P⎞−0.852⎜⎟ − 0.0219⎝ Pcr⎠,(2.14)где zd ≡ k0a02– дифракционная длина.Генерация плазмы и нелинейное поглощениеВ реальном эксперименте генерация плазмы и поглощение в среде препятствуетколлапсу лазерного излучения [133].
Вблизи коллапса интенсивность пучка достаточна,чтобы ионизовать среду. Этот процесс приводит к дефокусировке пучка и нелинейному36поглощению энергии.В результате ионизации среды мощным лазерным излучением образуютсясвободные электроны, что приводит к появлению нелинейного фототока [112].Свободные электроны, рожденные в момент времени t0 и имеющие начальнуюскорость Ve к моменту времени t > t0, будут иметь скорость Ve(t0, t0), описываемуювыражением [112]:!! , ! = ! Θ − ! − ! ! (, ! )(2.15)где m и e – масса и заряд электрона соответственно, Θ(t) – функция Хевисайда, νс = 5 ТГц[134] - частота столновения, Ve(t0, t0) – начальная скорость фотоэлектронов.Тогда плотность фототока J(t) определяется какtJ ( t ) = e ∫ Ve ( t, t ′ )−∞∂N e ( t ′ )∂t ′dt ′,(2.16)где ∂Ne(t') – плотность свободных электронов, рожденных в момент времени t', причемNe(t) – полная плотность свободных электронов к моменту времени t.
Мы предполагаем,что Ne(r, z, t→-∞) = 0.Тогда плотность тока свободных электронов может быть найдена из кинетическогоуравнения, комбинируя (2.15) и (2.16):! !!"!!= ! ! − ! ().(2.17)!Плотность свободных электронов может быть найлена из кинетического уравнения∂N e= W ( I )( N 0 − N e ) ,∂t(2.18)где N0 – плотность нейтральных молекул, W(I) – вероятность ионизации молекулы средыпри ее взаимодействии с излучением интенсивностью I.Существуютразличныережимыионизации,соотвествующиеразличнымзначениям вероятности ионизации. Для описания ионизации атома сильным лазернымполем ширико используется теория Келдыша [135], которая также была расширена такжедля описания ионизации молекул [ 136 , 137 ]. В работе [135] представлена простаяаналитическая формула для расчета ионизации атома.
Параметр Келдыша γ позволяетразделить режимы многофотонной и туннельной ионизации. Другой подход к описаниюионизации атомов основан на использовании теории Аммосова-Делоне-Крайнова (АДК)[138], также обобщенной на случай молекулярных систем [139]. В работе [140] теорияАДК использовалась для описания режима надбарьерной ионизации с использованиемэмпирической поправки. Еще одна модель – модель ионизации Переломова-ПоповаТерентьева (ППТ) [141 – 143] – хорошо описывает экспериментальные результаты в37многофотонном и туннельном режиме.Переломов, Попов и Терентьев [141] получили общее выражение для вероятноституннельной и многофотонной ионизации для связанных состояний атома водорода.
Втеории ППТ рассматривается ионизация связанных электронов атома по действиемпеременного (линейно, эллиптически или циркулярно поляризованного) электрическогополя.В работе [144] проведено сравнение вероятнотей ионизации атомов короткимлазерным импульсом, расчитанным по теории АДК и ППТ, с результатами решениянестационарного уравнения Шредингера. Показано, что вероятности ионизации,полученные с использованием теории ППТ, хорошо согласуются с решениемнестационароного уравнения Шрелингера как в многофотонном, так и в туннельномрежимах.
В случае модели АДК наибольшее согласие наблюдается в режиме туннельнойионизации [144, 145]. В противном случае, теория АДК дает качественное описаниеэксперименту.Экспериментальные исследования механизма ионизации атомов и молекул восновном проводились с использованием лазерного излучения на длине волны 800 нм[146].Нелинейное поглощение можно описать с помощью введения эффективного токаJeff = J + Jabs. При этом учтено, что средняя теряемая энергия соотвествует необходимойэнергии для ионизации среды с плотностью нейтральных молекул N0 и потенциалом Ui.Ток поглощения Jabs имеет видJ abs =UiE2E∂N e.∂t(2.19)Начальные условия и параметры лазерного излучения в численном моделированииДля количественного анализа пространственных, спектральных, временных иполязационных свойств ТГц излучения, генерирующегося в процессе фемтосекунднойфиламентации, проведено численное моделирование распространения мощного лазерногоизлучения в воздухе и аргоне.
Численный эксперимент проведен как для одноцветной, таки для двуцветной схемы филаментации. Длина волны излучения первой гармоникисоставляла λ1 = 800 нм, второй гармоники – λ2 = 400 нм. Длительность импульса первойгармоники τ1 (по уровню e-1) варьировалась в диапазоне 27 – 76 фс, длительностьимпульса второй гармоники τ 2 = τ 12 . Диаметр пучка лазерного излучения 2a0 (поуровню e-1) составлял 1 – 3 мм. Численно исследовалась как филаментации в38коллимированном режиме, так и при фокусировке лазерного излучения линзой сфокусным расстоянием f = 10 – 15 см. Энергия импульса первой гармоники изменялась впределах W1 = 1 – 3.2 мДж, энергия второй гармоники W2 = 0.01W1, что исключало режиммножественной филаментации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
