Гармонические отображения римановых многообразий (1102685)
Текст из файла
2 СО Яддуо щ,Щ8чэи6ЩВ8сЯ ОбОэниЯ6~ Глаза ~, Дприорнаи нвустойчизОсть хмрмОничеО~иих щО~~дЩ~ЯЯЯф. в в е е в в., ж а Ф 4 .Ф- Ф 4 в. Ф в и" . В. Пврнж и нтораи ваРиации Фуниционвла Лирвхлв ° е е е ° е е ° ~ ~ в ° ~ ° ° ~ ~ ° $2, Яеуотоичиность гармоничвсеих Отображений нвкоторнх однороднее миогообраВий в ° ° ° ° е. ° . в 36 $3. Индеком гармонических отображений афер ° ° ° ° ° 64 Глава 2. Задача минимизации функционала Лирихлв ..... 69 $4 е ПрвдВВритвльннв энчислвеин е ° в е ° ° е ° е ° в 69 $5. Поведение фнкцио~щла Дирихие на группе диФфеоморфизмоз дщ~хснвзного многообразия....
65 $6. Необходимое топологичвокое условие существования ДЮ ~~ У~ ~~~~" ~~Ж~~~Р~М~~РИЧ6сКея группа диффеоиор~ивщц~ !;".;~"„. ~~~'ь) ~ ~=- ~у~~ при достаточно мал~~ з оу,.зщ~ачм зющщ гладкие отсбражения ~'6 'Г щ в и многообразна, реализуюмие ~нимФ Е на иодм~жест- врсстршства Отббрайений Предисловии в что ~ ~ иомнамт" но и фиксируем некоторое Отображение ~)~'~ С ~ 4$~ СЗ~ КО~ВТИЗЙ~ ~ЙЭЙВ !)и ~абсолютная версия) или на содержащей отображение у комаоненте связности аространства С „ ~М,И) (относительная версия) .
Ю Обе задачи глубоко нетривиальны и имеют богатую историю. Пусть 4~ замкнуто (компактно и без края). Классическими резуиьзадач в случае дааМ= ~ ~доказательство может быть основано Ф':;.:: солвтную версию задачи Лирихле; современное решение задачи реаесли ~двумерная~ кривизна Ф неположительна (С,И.Альбер В. С И й.Сэссон дзу~~рную ~~д~~у Плато сорри ~29 показал, что абоолют- у уомезко ~~~~ и' ликом ииие ноотрОил '.гбмеомор$ное Я ' ' ')" '~~' „" бек ддщзали что нетриниальнооть ~В~ ~У ) нлечет сЭЮстн~ .39еиВ ЖОМ Ои 6деюх'6 ЯВхии'УОЯВнжО 3ЩЯОнзЯООЯОУО ОтМДЙВ8еиЯ ~Д, глобально шального в своем гомотоаичесиом классе.
Следующий ваиний результат получили Гильдебранд, Баул Я/ Радиуса т > О , леиащий в нормальной окрестности любой из сзоих точек (нормальной окрестностью точки назызается любая ОблйОть ОЩ)8Д8лВБВЯ ЯОДмйльЯОЙ сист8мм иОО~ЩМВйт О Ц8ВтДОМ з этой точке). Пусть у'~ЗМ) с 3('с) и т< 'РДД, где константа ~ > О маиорирует функцию двумерной крививнн на Ф Тогда в С„~ ~Ч, М) существует абсолютно минимальное гармоническое Отобраиение ~, нричем ДМ) С Л('с), Примерами Решений задачи реализации являются голоморФнне отобраиенин Ев ИМВ ьЮ1 Е = ОО~~Р) ж~ Е, ~1х у~ ~13 Гдз ФК(Р) — Объем мнОГообрйзин Р (Воли ойщР= О, то полоким 'ба(Р) = ~ ).
при ВтОм ~~$ Е нй Джу~ ЯВ достк ГЙВтсяу Воли гсмотопичзсеии клксс ~$д ) НВтрилкилзн Следстаив 6.6. Пуоть зцподнеии уса(вил теоре~ 6 4 а В жйждой компонентв связности проотрйнстий С' ~~Ч, ~У) содвркктся ГЗОбйльнО миБиьильнОО ГЙДЯОничеОЯОе О'.РОбр8%ение. БрОДООАО- жим, что Обй Отсбрйжзнкк ~ и ~9 Гомотопкчзсжи нзтринийлъны. тогда м4 Е >() нй ~~ х у~, но НВ достигйвтоя ни нй одном глйдкОм Отсбдюзи!Бии иэ этОГО х'Ом(ОООичесиОГО клйоОЙж РЯд Гнрмоничзских (ИВминимйлъзнх) Отобрйж8нии иидй пострсзн в ~Э -НЫШО ИЗЯВОТНЫМИ вйзт, что гомотопичбажие клйссы отобрйкзний ив МЛР и Ф~Я с НВдостигЙВмым и~~ Е > О вовнижнют и слздуяцих ситуациях (Р~ к Ф' зймкнутн, С (Р, Я) НВсвязно): (1)М=Ы~~З~ЩО, (2) А Я=2, ')~~~Ф)ФО,~~~Ф)= О, (3)У'(м)ФО, жркнизнй Ф нзположитВльнй ~ НнпрнмВр, можно Взять тйк06 ссчзтнни6 ГДЕ М,у ~ С ~у,„) 1„7 — СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-Чинита и Еэ рранненен ~1), оченцдно, Вытекает симметр ость формы 8~ е еленее 1.1.
Второй фущаментальной формой гладкого ,3 отобраления ~: Р~ — Я/' ремановнх многообразий назннается симметричеснел билинейнаЯ форма В = 7~~сК ) на 'Г~ Х Г~, 'й~ . Средней нринезной Отобраиенин ~ назыВается поточечный след Н~ = ~.т 8~ этой йормы, янлнющийся ГЛЕДВИМ ВЕХТОРННМ ПОЛИВ ВДОЛЬ ~ е Формулируемые ниже леммы 1.1-1.4 хороио изнестны ~ см.нанрн- Вложение Гладиех риманоннх многообразий Тогда формы Ву е Н~ нрннимын значения В нормельнси расслоении к Д~Й ) В гле Х= ~Э~ь/Э~) ~ С ра-Лагравиа для функциовалв Ди ;--":":Р '" а.+ иие ЙОО1роевив, Пуоуь ф: 806 Рзсслсбеиб О Риманонсй сая обРаеиеи Л ' Лважды иовариа оечевие Х ~ С"~~) оо еваиевюии в ~ . Поточечвы 30 Я„, ~ ~. ) = ~т ~~ — е Й ~', М.) або 3 р Ю МЕ С ~%р~) р гдз Я - твнзор риманоиой нринезни многообразия с', а символ Ьз ~м — Г~~,~) 3 обозначает аоточвчннй след билинейной форме нз С~„м 'Г~ц Из снойстн твезора К~ слаКУВт» что снврзтор Йс симметричен.
Если ~ * ~О1,„, (тоидвстнвниое отсбрвевние М, 3, тО Йьс~ Двйстз~Гвт н еасатальном расслО6нии И. ОИЗПЯДЯ67 О ЕЛЯССИ%8СКЕМ О рнй мн Обозначим симнОлсм В~с' ~ ° стсбраивнив гладких римвновых многообразий, аречвм Р1 замзнутсв тогда нтсрая нариация функционала ДирихАВ Е э ннчислвнная э "точев" ~ , янлявтсЯ БВЩвствеееозначной симмвтречвоеой билинейной формой еа С ~ч~ ) х С ~'Гу ) и имеет след7ю5ий нид гдв ~ - Элемент Обьвма на Я,, Д~ и Кьс~ - Онзраторн Лволзс8 и Рйччи Я Рассл68нии $.~ еленке Х..
Линейный сильно Вский ди4ФВРп~- оператор второго поуцца 9 = -~ц-Вс~ в раселеееек с',, соответотеухщий гарыоивчеоиому отобуакеиив Х . ЕазеваВтся операто.ром Якоби отобракееия К ИЗ демми Х 3 з юицЩ$фткых тжф9м О ОмдьмО элжизимчФОззх ::1=1-"4 лиф$еренпшльннх ОЕЭраторех слещэт,, чтО в Олфчае замкнутого пространство С ~~~) разлагается в Мув сумку конечисмери МХ ЧИСЛО ОООТЗ97ЮРЩЯ7 О!~~бЩеИЮЛЪНБМ ООбСМВФЖБИ Тоидественисе отобрзиееие ц~~ч гледеОУО риыаесва меод Обре,эмЯ М РВЯЙОижчиО и ддж9 ВБОлБ8 3ГФОд93ичиО, т к 9 ДЩерею~кел ковариантеО постоянен. Оператор Якоби Отсбракения Й~ру обозначим через Оц е Из приведенных вюпе фсрйЯ~л ЕЩДНО~ что 3р~ = Л Йьй ° где Ь стаидартеий Оператор лаылйск на векторных полях, а К'с ~ — оператор кривизны Риччи многообразия Я . Последуииие результаты юотоящей ижвы во многом основаны на существовании связи 0ч о операторамк Якоби произвольных гармонических отображений ~:~ — ~1Г .ЯЗ~ЖКТЩ) 87ОЯ ОЗЯЭИ ЗЫЯСНЯ6Т ВЗЖИК ТВО Вма 1 1.е Пусть ~~/~ в" Я~ — произвольнОВ ГармОничэс кое Отсбрежение гладких римановых многообразий ю а 3~ е „~р~ операторы Якоби отображения ~ к тсидественеого отобракенкя нногообразия Я соответственно.
Тогда ":$ Рйссмотрим гйрмоничйское отобрнжйяие ~: Я вЂ” Ф конйчно" Обрйвие я зймкнуто ~компактно л б86 крдя). В ооотнйтотнии О лбимой 1.2 Отобрйжений ~ янляйтся экстрймйльи функционйлй Дирихлй Е т-В. НВрная вариация 8 Е ~Ф), соотийтотвуаВЯ отобрйивнию ~ являвтоя тождественно Нулавнм линййннм функционйлом нй .прострйнствв С ~'г~ ) звкторннх полей вдоль 1 Нйномним что Отобрйийний ~ нйинийВТОЯ УстОЙчкним (и Омислй функционйлй Дирихлй) ~ Воли ЕВотрицйтй~п~нй ннйдрйтичнйя формй второй вйРийции о" ГЯ), которая в соотиетствии с леммой 1.4 зм882 слбдуйщий зиД -,:.:$ ФВсь Х б С ~ ву ) ~ с~и — ВЛВМВнт Обьймй нй Я и ОЯВ~итОР Яиоби, БВВДВннцф 3 одределе~щц „~ 4 Рйссмотрим Однонйрймйтричйску18 группу ц~ диффйоморфи ф ф мон мкогообрййия М и ОНРВдйлим нйрийцш отобрйжйния ~ фор мулой ~~ = $~ ~~ соотнйтствувщйя инфинитйвимйдащя нйрийция НЗЗЫВ88ТОЯ Е408',МЛЬНЫМ ЗаатцрнцМ аолВМ ндОЛЬ т И НМВВМ нид аТ~м~, гдВ д-~3~~/~~ ":::::ф: 1=9 ~6кторноВ пол8 нй М ОНРВдйлн~юВ группу ди4фйоморфивмон у ТВОРВмВ 1е1 были еолучйнй формуле, внрйжщндя ~~ ~,~~,,) чнр66 -~е 1~) ° гд' -~м — ОНВРВТОР якОби соотвйтстнующий тоидйс~ ~~~Сну отобрйиннии многообрййик Л Послй аодстйнонки Вт Й фОРмужн в (1) получим: ~ФФВ~, 48 Ф5В~В ~ ~~'~ 1.
Р ) - козф$ицивнты оиаратора мй ПосиольиУ к сбратноиу экзмзиту нвлжатск щзоиатрнай грунны 6 в Если участь„что действие ('„в С (Р~ ) смысла ~ л -структуры ° то получим: Щ7ЩОНВЛЬЯО Б у Л~ (у) 3~М. ~я К С' ЛМ Сравнаниа раванств (17) и (18) ариводит к нуиной формула. Лаима 2 Е 4 ДОН ЯЭЯ Щ 6 Ламма 2 5. Пусть Л~ -опрадаляемый равенством (б) линайннй однородный ди44зранциальный Оператор, соотватствующий гармоннчзскому отображению ~: Р~ — ьЯ~ из наариводимого компактного риманова многообразия Р1 = ('„/Н в накотороа рим~ нсвс многООбразиа Я~ е '1огда Я~ — () р гДЗ ~3~ — усрЗД- нанна оаератора ,9~ в смысле (16) .
Локазательство. Обозначим чараз с~~, ( ~ 0,1, Х, 3 ) ксзф$идианты опаратора Л~. у Оеесанныа в ламма 2еЗе Мы Долины ДСКЗЗЗТЬ, ЧТО др = 0 ДЛЯ ВСЗХ Р = О) 1р 2, Ъ е РЗВЗНСТВО О1р = О слЗДуат из пункта (а) ламин 2аЗе При с~~т К Раванство 3~ = О сладузт из пункта (б) ламмы 2.3. Пусть А ~Д Означавт» что Оущ6стлу6Т так06 нвнул8306 эйжтОРНО8 ВОл8 уж С СГ„) 1 что 4~ (м) ~.м, Гда Х- сО~М с О, ф„, =-~ Всм ° ОНЗРатор Риччи В~с саалярвя (следстиив 2 1), а ~к Ж онвратор Лапласа Ь 8 иннариантвн:: С зтО слвдувт из Я- -жа Ж вариантности снязности Д и из формулщ ~ ст 9' ) ° Поэтому опвратОР „~щ пврвстанОВОЧЗН с двйстнивм Группы изомвтрий Д "',:-. В С (к„,) и 3 ~~ )=1ф для любого ~я С, .
Из лвммн а.2 (ЯВЯ'8!Р Р338БОт3О о' Е1И И С~~) = л ( ~ А~ ) ~м,~фЬ+ 2 (ф3 ф) 48, С19) Гдв у= м и использонан тот фант, что уда4(ф) = рм. Проинтвгрирувм обв части С19) по группе 5 , Используя ф РВЭУЛЬ'.Р87.Ы ЛОХМ 2,4 Й 265, .ПЩЦЧЯЕЯ: :--:"::::::-':;:!, Гдв Л~ — усрвднвнив пврзсй фундаментальной формн отображении ° Из лвммн 2 1 слвдувт, что симмвтричвская 6 -иняариаятная :::,—:,'.-:1 Форма А ~ с Точностью Дс постояннОГО множитвля сонпадавт со бИЙЯЩ)ЯБМ Щ)ОИ326ДВИ$8М~ 7 8 Д»(м,~) = се!~!1,с= иа~Ф.
С21) ,:::::,:'':-:::::,::.::::::;: . Дсквжвмр что с > с) е Двйстнитвльяо, поскольку Отображвнив нвпсстоянно, ~т. А~ > С) яа множвстнв положитвльной иври. КроМЭ ТОГО, ~~А~ ~ О ВсюДУ на ~'1 ° Поэтому ~л А~ ~ О ° 0пв...:,::.:="::'' Рация усреднения пврвстанонсчна со Взятием следа и силу с4) слв- ЙВЙЮЕВ Ф~ '''~',':"-'",!!!~!!!!" ' Донатвльно~ с'ФСьтЯ Ь А~ > О е Таким Образом~ из Отрицатвль :-':::::::::::-',:::,:::,:,-'-',::,, ности множителя А и раввнстн С20) и С21) слвдувт явранвястно Локазатвльстно. Вшолнение условий ~а) и ~б) Определения Х В лцбой РиьиноВОЙ метрике на К следует из лващ 4.5, что оказннает пврное утнерждение.
Дня дозазательстна дорого угвврж' внин Обозначим ч8рвз ~~ диффвотОпию многообразии Я, працуе относительно компактного подмножвстна К с Х . Фиксируем ОВу метрику на .Я и ВВЗДвм на Ф ТНЩ~ю ~йййнону метрииуу которОЙ диффеоморфнзм ~ янлиется изометривй 3 этОЙ метрике ди4феотопии $а у~ $ 1 и подмножвстВа Х~К) а,Д Выпол- ИИ ЗСЭ ТР6бО:МЯЛ ОПРВДВЛОЮ1Я 6е.Г, бей. ЯСМПОЗИЦНЯ О ИЗСМ6Ц)И- ', очвнндно, сохраняет . плотности и 1~К)» = 3 ~К~ ) '~ДОжи.'Ольвии, эти ЩзбсВйнея ВипОлиеии в лБ етрике на Я/ .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
