Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 8
Текст из файла (страница 8)
 ñèëó ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ Ãàìèëüòîíà [1], îãðàíè÷åíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω íà âñå ÷åòûðåäîáàâëåííûå òðóáêè ðàâíî íóëþ. Ïîýòîìó â äåéñòâèòåëüíîñòè íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàë 2ôîðìû ω ïî ïîëó÷åííîìó 2öèêëó [C] ðàâåííóëþ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ çàìêíóòîñòüþ ôîðìû ω 2 è òåì,÷òî áëèçêèì ãàìèëüòîíèàíàì H̃ îòâå÷àþò ãîìîòîïíûå 2öèêëû [C] â M 2n .34Ñëåäîâàòåëüíî, äîêàçûâàåìîå ñâîéñòâî ãîìîëîãè÷íîñòè îòîáðàæåíèé Ïóàíêàðå äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ îäíîé è òîé æå ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû(âçÿâ H â êà÷åñòâå H̃ ). Íî ëþáîå îòîáðàæåíèå ãîìîëîãè÷íî ñàìîìó ñåáå.Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.Çàìå÷àíèå 7.Ïóñòü, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1, ðàññëîåíèå ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ íà çàìêíóòûå òðàåêòîðèè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû òðèâèàëüíî.
Ýòîýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ ãëîáàëüíîãî ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå σ ⊂ H −1 (h),òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùåãî êàæäóþ òðàåêòîðèþ íà Λ, ïðè÷¼ì ðîâíî âîäíîé òî÷êå. Òîãäà óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1 î ÷èñëå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèéâîçìóù¼ííîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñðàçó ñëåäóåò èç òåîðåìû 4, ñ ó÷¼òîìëåììû 3.Ñëåäñòâèå 7. Ïóñòü A : σ → σ , à : σ̃ → σ̃ îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå,îòâå÷àþùèå C r áëèçêèì ãàìèëüòîíèàíàì H è H̃ ñîîòâåòñòâåííî, r ≥ 1.Òîãäà ñèìïëåêòè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ A0 = A è A1 = ϕ−1 ◦ à ◦ ϕ ìîæíîñîåäèíèòü ïóò¼ì Au : σ → σ , 0 ≤ u ≤ 1, â ïðîñòðàíñòâå C r−1 áëèçêèõ èãîìîëîãè÷íûõ äðóã äðóãó ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóåò ãëàäêîå ñåìåéñòâî ôóíêöèé Fu íà σ , 0 ≤ u ≤ 1, òàêîå,÷òî îòîáðàæåíèå A1 ïîëó÷àåòñÿ èç îòîáðàæåíèÿ A0 = A â ðåçóëüòàòå äâèæåíèÿ çà âðåìÿ 1 â ñèëó íåàâòîíîìíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñãàìèëüòîíèàíîì Fu è âðåìåíåì u, 0 ≤ u ≤ 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îòîáðàæåíèÿ Au ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå, îòâå÷àþùåå ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ ãàìèëüòîíèàíîìHu = (1 − u)H + uH̃ , 0 ≤ u ≤ 1. Ýòî îòîáðàæåíèå äåéñòâóåò â ïîâåðõíîñòèσu = Σ ∩ Hu−1 (h). Îäíàêî ýòó ïîâåðõíîñòü ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïîâåðõíîñòüþ σ ïðè ïîìîùè åñòåñòâåííîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî äèôôåîìîðôèçìàϕu : σ → σu , àíàëîãè÷íîãî äèôôåîìîðôèçìó ϕ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìû ïîëó÷èì èñêîìîå îòîáðàæåíèå Au : σ → σ , 0 ≤ u ≤ 1.
Ñîãëàñíî ëåììå 3,îòîáðàæåíèÿ ïîëó÷åííîãî ñåìåéñòâà ãîìîëîãè÷íû. Ñ ó÷¼òîì çàìå÷àíèÿ 5,ýòî äîêàçûâàåò ñëåäñòâèå 7.Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ëþáîå ñåìåéñòâî ãîìîëîãè÷íûõ îòîáðàæåíèé Au ,0 ≤ u ≤ 1, îäíîçíà÷íî çàäà¼òñÿ îòîáðàæåíèåì A0 = A è ïðîèçâîäÿùåéôóíêöèåé Φ(m, u) ýòîãî ñåìåéñòâà (ñì. îïðåäåëåíèå 11), êîòîðàÿ â óêàçàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ áóäåò C r−1 ìàëà.1.4.3 Ëîêàëèçàöèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åêÑôîðìóëèðóåì ìåòîä, àíàëîãè÷íûé ìåòîäó óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè, ïîçâîëÿþùèé áîëåå òî÷íî íàõîäèòü ðàñïîëîæåíèå íåïîäâèæíûõ òî÷åê,ó÷èòûâàÿ âîçìóùåíèå.35Óòâåðæäåíèå 5. Ïóñòü ìíîæåñòâî Λ ⊂ M íåïîäâèæíûõ òî÷åê ñèì-ïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ A = A0 íåâûðîæäåíî, íî íå îáÿçàòåëüíîêîìïàêòíî.
Ïóñòü à = Aε , |ε| < ε∗ , ñåìåéñòâî ãîìîëîãè÷íûõ îòîáðàæåíèé, ãäå ε∗ > 0. Ïðè êàæäîì çíà÷åíèè ε îáîçíà÷èì ÷åðåç Fε ãëîáàëüíóþdôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà ïîëÿ ñêîðîñòåé dεAε (m). Ïóñòü m0 ìîðñîâñêàÿêðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèèS = −F0 |Λ .(11)Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε0 > 0 ñóùåñòâóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî òî÷åê mε , |ε| ≤ ε0 , ãäå êàæäàÿ òî÷êà mε ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîéòî÷êîé âîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ Aε .Ôóíêöèþ S ìû áóäåì íàçûâàòü âîçìóùåíèåì ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè.Ýòîò òåðìèí îáúÿñíÿåòñÿ îïðåäåëåíèåì 11 ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé îòäåëüíîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ Ã, ãîìîëîãè÷íîãî òîæäåñòâåííîìó è áëèçêîãî ê îòîáðàæåíèþ A.  ýòîì ñëó÷àå íåòèíâàðèàíòíîãî îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Ψ̃ ýòîãî îòîáðàæåíèÿ.Ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîæíî îïðåäåëèòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ áóäóò îïèñàíû íèæå â ï.
1.4.5. Îòìåòèì, ÷òî, äëÿ ëþáîãîñïîñîáà å¼ ïîñòðîåíèÿ, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Ψ îòîáðàæåíèÿ A áóäåò ïîñòîÿííà íà ñâÿçíîì ïîäìíîãîîáðàçèè Λ åãî íåïîäâèæíûõ òî÷åê è âñå òî÷êèýòîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ áóäóò êðèòè÷åñêèìè äëÿ ôóíêöèè Ψ.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå îáîáùàåò òåîðåìó 4 è óòâåðæäåíèå 5.Óòâåðæäåíèå 6. Ïóñòü ìíîæåñòâî Λ ⊂ M íåïîäâèæíûõ òî÷åê ñèì-ïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ A : U → M íåâûðîæäåíî, íî íå îáÿçàòåëüíîêîìïàêòíî.
Ïóñòü à : U → M ãîìîëîãè÷íîå îòîáðàæåíèå, C r áëèçêîåê îòîáðàæåíèþ A, ãäå r ≥ 1. Îáîçíà÷èì ε = kà − AkC r è ïóñòü Ψ̃ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ à (ñì. íèæå â ï.1.4.5). Òîãäà ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U 0 ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ â M 2n , çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò íåâîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ, òàêàÿ ÷òî ïðè ëþáîìäîñòàòî÷íî ìàëîì ε > 0 ñóùåñòâóåò âëîæåíèå i : Λ ,→ U ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ â U îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.1◦ Îáðàçû ïðè âëîæåíèè i âñåõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ôóíêöèè S = 1ε Ψ̃ ◦ iâ òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè âîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ à â U 0 .
 ÷àñòíîñòè, ïîäìíîãîîáðàçèå Λ̃ = i(Λ) ñîäåðæèò âñåíåïîäâèæíûå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ Ã.2◦ Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà m ôóíêöèè S ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîé â òîì èòîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà å¼ îáðàç i(m) ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ Ã. Áîëåå òîãî, îáðàç ïðè îòîáðàæåíèè36di(m) íóëåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ãåññèàíà ôóíêöèè S â òî÷êå m â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðà dÃ(i(m)) − I , ãäå I : Ti(m) M → Ti(m) M òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.3◦ Âëîæåíèå i áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó, à ôóíêöèÿ S áëèçêà ê ôóíêöèè 1ε Ψ̃◦ |Λ (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî), ãäå Ψ̃◦ ëþáàÿ äðóãàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ à (èëè îòîáðàæåíèÿ à ◦ A−1 , ÷òî íå ñóùåñòâåííî ïðè îãðàíè÷åíèè íà Λ).4◦ Åñëè âîçìóù¼ííîå îòîáðàæåíèå à ãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà: à = Aε , òî âëîæåíèå i : Λ ,→ M è ôóíêöèÿ S íà Λ òîæå ãëàäêîçàâèñÿò îò ýòîãî ïàðàìåòðà, ïðè÷¼ì ïðåäåë ôóíêöèè S = 1ε Ψε ◦ iε ïðèε → 0 ñîâïàäàåò (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî) ñ âîçìóùåíèåì (11) ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, ò.å.
ñ ôóíêöèåé S .Çäåñü ïîä áëèçîñòüþ äâóõ îòîáðàæåíèé èëè ôóíêöèé ïîíèìàåòñÿ èõεáëèçîñòü â C r ìåòðèêå.1.4.4 Óñòîé÷èâîñòü íåïîäâèæíûõ òî÷åêÎïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ ýòîãî ïóíêòà àíàëîãè÷íû îïðåäåëåíèÿì èóòâåðæäåíèÿì 1.3 îá óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì.Ìû ïðèâåä¼ì óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå óñòîé÷èâîñòü â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè íåêîòîðûõ èç âûæèâàþùèõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Íàïîìíèìñíà÷àëà îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.Äëÿ ëþáîé íåïîäâèæíîé òî÷êè m ∈ U ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿA : U → M ðàññìîòðèì îïåðàòîð dA(m) ëèíåéíóþ ÷àñòü îòîáðàæåíèÿ Aâ ýòîé òî÷êå.Îïðåäåëåíèå.
Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà m ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ Aíàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîé â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè (èëè óñòîé÷èâîé), åñëèëèíåéíûé îïåðàòîð dA(m) ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà m íàçûâàåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîé â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè (èëè ïðîñòîñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîé), åñëè ëþáîé ñèìïëåêòè÷åñêèé îïåðàòîð, äîñòàòî÷íî áëèçêèé ê dA(m), ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì.Èç óïîìÿíóòîãî ôàêòà èç òåîðèè ñèìïëåêòè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ (ñì.ïðåäëîæåíèå 1) ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ëþáàÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâàÿíåïîäâèæíàÿ òî÷êà íåâûðîæäåíà.
Ââåä¼ì ïîíÿòèå ñèëüíî óñòîé÷èâîãîïîäìíîãîîáðàçèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê äëÿ ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ.Îáîçíà÷èì ÷åðåç R1 (dA(m)) ⊂ Tm M êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðà dA(m), îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî37íóëåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q = ω 2 (A∗, ∗)|R1 (A) â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ñîáñòâåííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì E1 (dA(m)) îïåðàòîðà A,îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1.Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ 8.Îïðåäåëåíèå 13. Ïóñòü Λ ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå íåïîäâèæíûõ òî-÷åê ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ A.
Íàçîâ¼ì ýòî ïîäìíîãîîáðàçèå ñèëüíî óñòîé÷èâûì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè, åñëè â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λâûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà dA(m) â Tm M , îòëè÷íûå îò 1,ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè (ñì. îïðåäåëåíèå 6), â ÷àñòíîñòè, ëåæàò íàåäèíè÷íîé îêðóæíîñòè â Cl è îòëè÷íû îò ±1;2. êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q = ω 2 (dA(m)∗, ∗) çíàêîîïðåäåëåíà íà íåêîòîðîé òðàíñâåðñàëè ê êàñàòåëüíîìó ïðîñòðàíñòâó Tm Λ â êîðíåâîì ïîäïðîñòðàíñòâå R1 (dA(m)) îïåðàòîðà dA(m), îòâå÷àþùåì ñîáñòâåííîìóçíà÷åíèþ 1.Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Q ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îïðåäåëåíà íà óêàçàííîé òðàíñâåðñàëè.
Åñëèýòà òðàíñâåðñàëü íóëüìåðíà (ò.å. ïîäïðîñòðàíñòâî R1 (dA(m)) ñîâïàäàåò ñêàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì Tm Λ), òî ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Q áóäåìñ÷èòàòü îäíîâðåìåííî è ïîëîæèòåëüíî, è îòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííîé íàýòîé òðàíñâåðñàëè.Çàìå÷àíèå. Èç îïðåäåëåíèÿ ñèëüíî óñòîé÷èâîãî â ëèíåéíîì ïðèáëèæå-íèè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ ñëåäóåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ÿäðî êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q = ω 2 (dA(m)∗, ∗) â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíûìïðîñòðàíñòâîì Tm Λ ê Λ. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî èíäåêñ ôîðìû Q íå çàâèñèò îò òî÷êè m ∈ Λ, åñëè Λ ñâÿçíî.
Êðîìå òîãî, ëþáîå ñèëüíî óñòîé÷èâîå âëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ïîäìíîãîîáðàçèå Λ íåâûðîæäåíî, è â ëþáîé òî÷êåm ∈ Λ ñïåêòð îïåðàòîðà dA(m) íå ñîäåðæèò −1. Èç òåîðèè ñèìïëåêòè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ ñëåäóåò, ÷òî ñïåêòð îïåðàòîðà dA(m) ëåæèò íà åäèíè÷íîéîêðóæíîñòè â Cl.Ëåììà 4. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ óòâåðæäåíèÿ 6, â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λñïåêòð îïåðàòîðà dA(m) íå ñîäåðæèò -1. Òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Qîïåðàòîðà dA(m) íåâûðîæäåíà íà òðàíñâåðñàëè ê Λ. Êðîìå òîãî, âëîæåíèå i : Λ ,→ U è ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ S : Λ → IR èç óòâåðæäåíèÿ 6 îáëàäàþòñëåäóþùèì äîïîëíèòåëüíûì ñâîéñòâîì:5◦ Ïóñòü m ⊂ Λ ëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè S , m̃ = i(m) ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ Ã. Ðàññìîòðèì38ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Q è Q̃ îïåðàòîðîâ dA(m) è dÃ(m̃) ñîîòâåòñòâåííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
