Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Îñòàëîñü äîêàçàòü ïóíêò (â2).Ðàññìîòðèì îïåðàòîð A = dA(m)|R1 (dA(m)) . Èçâåñòíî, ÷òî êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî L = R1 (dA(m)) ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì, ïîýòîìó A 29ñèìïëåêòè÷åñêèé îïåðàòîð, ñïåêòð êîòîðîãî ñîñòîèò èç îäíîé 1. Õîðîøîèçâåñòíî, ÷òî ëþáîé ëèíåéíûé îïåðàòîð, ñïåêòð êîòîðîãî âåùåñòâåí, ðàñêëàäûâàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó (âåùåñòâåííûõ) æîðäàíîâûõ êëåòîê (ò.å.íåïðèâîäèìûõ îïåðàòîðîâ, ìàòðèöû êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ îò ñêàëÿðíûõìàòðèö òåì, ÷òî íà ñîñåäíåé ñ ãëàâíîé äèàãîíàëüþ ñòîÿò 1 âìåñòî íóëåé).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäíà èç æîðäàíîâûõ êëåòîê îïåðàòîðà A èìååò ïîðÿäîêáîëüøå äâóõ.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóþò òðè âåêòîðà e1 , e2 , e3 ∈ L, äëÿ êîòîðûõ Ae1 = e1 , Ae2 = e1 + e2 , Ae3 = e2 + e3 . Òàê êàê e2 ∈ R1 (dA(m)) \E1 (dA(m)), òî ïî óñëîâèþ Q(e2 ) = ω 2 (e1 , e2 ) 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèåQ(λe1 + e3 ) = ω 2 (e2 , λe1 + e3 ) îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå÷èñëà λ. Íî âåêòîð âèäà λe1 + e3 ïðèíàäëåæèò R1 (dA(m)) \ E1 (dA(m)), èïîýòîìó çíà÷åíèå Q(λe1 + e3 ) äîëæíî áûòü îòëè÷íûì îò íóëÿ.
Ýòî ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå æîðäàíîâû êëåòêè, îòâå÷àþùèåñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, èìåþò ïîðÿäîê 1 èëè 2.Ïðåäëîæåíèå 2 ïîëíîñòüþ äîêàçàíî.Çàìå÷àíèå. Íåîáõîäèìîñòü â èññëåäîâàíèè êîèçîòðîïíûõ è, â ÷àñòíî-ñòè, ëàãðàíæåâûõ ïîäìíîãîîáðàçèé Λ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé ïîÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ÷àñòî, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé. ßñíî, ÷òî â òèïè÷íîìñëó÷àå òàêîå ëàãðàíæåâî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ áóäåò íåâûðîæäåííûì, íî ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ îíî íå ìîæåò áûòü ñòðîãî íåâûðîæäåííûì. Òàêèìîáðàçîì, â ýòîì âàæíîì äëÿ ïðèëîæåíèé ÷àñòíîì ñëó÷àå Λ áóäåò èìåííîíåâûðîæäåííûì, à íå ñòðîãî íåâûðîæäåííûì.1.4.2 Îáîáùåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðåìû Ïóàíêàðå.
Ãîìîëîãè÷íûå ñèìïëåêòè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿÐàññìîòðèì ñèìïëåêòè÷åñêèé äèôôåîìîðôèçì A : U → M è (âîçìóù¼ííûé) ñèìïëåêòè÷åñêèé äèôôåîìîðôèçì Ã, C 1 áëèçêèé ê äèôôåîìîðôèçìó A.Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî äàíî îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé à = Aε : U → M , |ε| < ε∗ , ãëàäêî çàâèñÿùåå îòìàëîãî ïàðàìåòðà ε è ñîâïàäàþùåå ñ A ïðè ε = 0.Ãîâîðÿò, ÷òî ñèìïëåêòè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ Au : U → M ãëàäêîãî ñåìåéñòâà Au , |u| < u∗ , ãîìîëîãè÷íû äðóã äðóãó [1], åñëè ïðè êàæäîì u âåêòîðíîådïîëå ñêîðîñòåé duAu èìååò ãëîáàëüíóþ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà Fu â îáëàñòèAu (U ) (u∗ > 0). Äðóãèìè ñëîâàìè, ñåìåéñòâî Au , |u| < u∗ , ÿâëÿåòñÿ ôàçîâûì ïîòîêîì íåêîòîðîé íåàâòîíîìíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ âðåìåíåìu.30Îïðåäåëåíèå 11. Ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ãëàäêîãî ñåìåéñòâà ãîìîëîãè÷íûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé Au íàçîâ¼ì ãëàäêóþ ôóíêöèþΦ(m, u), m ∈ M , |u| < u∗ , óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ∂Φ(m, u) + Fu (Au (m)) = 0,∂u(8)ãäå Φ(m, 0) ≡ 0, Fu ãëîáàëüíàÿ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ïîëÿ ñêîðîñòåédA .du ußñíî, ÷òî îòîáðàæåíèå A0 è ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Φ(m, u) îäíîçíà÷íîçàäàþò ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé Au .Çàìå÷àíèå 4.×àñòî ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèéíàçûâàþò òàêæå ôóíêöèþ S(m, u), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè∂S(m, u) + Fu (m) = 0.(9)∂uÎòìåòèì, ÷òî îáå ôóíêöèè Φ(m, u) è S(m, u) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿîòîáðàæåíèåì A0 è ñåìåéñòâîì ãàìèëüòîíèàíîâ Fu .
Âåðíî è îáðàòíîå: ëþáàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé îäíîçíà÷íî çàäà¼ò ñåìåéñòâî ãàìèëüòîíèàíîâ Fu (ñòî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, çàâèñÿùåé îò u), à çíà÷èò, è ñåìåéñòâî ãîìîëîãè÷íûõ îòîáðàæåíèé Au (åñëè çàäàíî îòîáðàæåíèå A0 ). Ïîÿñíèì ýòîò ôàêò,óêàçàâ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé Φ(m, u) è S(m, u) ñòî÷êè çðåíèÿ ãðóïïû Ëè, äåéñòâóþùåé (ñëåâà) íà ìíîãîîáðàçèè M ñèìïëåêòè÷åñêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè. Ñîîòâåòñòâóþùóþ àëãåáðó Ëè C ∞ (M )îáðàçóþò ãëàäêèå ôóíêöèè (ãàìèëüòîíèàíû F ) íà M ñî ñêîáêîé Ïóàññîíà {F, G}, îòâå÷àþùåé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðå íà M .
Ýòà àëãåáðà Ëèîòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì â åäèíèöå ãðóïïû. (Íå ñòîèò äóìàòü, ÷òî ýòà ãðóïïà âêëàäûâàåòñÿ â âèäå ïîäãðóïïû â ãðóïïó âñåõïðåîáðàçîâàíèé ìíîãîîáðàçèÿ M : îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà, îòâå÷àþùàÿ ãàìèëüòîíèàíàì F = const, äåéñòâóåò íà M òîæäåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì; êðîìå òîãî, åñëè ñâÿçíîå ìíîãîîáðàçèå M íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì, òî èìååò ñìûñë ãîâîðèòü ëèøü î ëîêàëüíûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõïðåîáðàçîâàíèÿõ, ïðè÷¼ì îòâå÷àþùèõ òîëüêî ýëåìåíòàì ãðóïïû, áëèçêèìê åäèíè÷íîìó ýëåìåíòó.) Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Φ(m, u) (S(m, u))ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïóò¼ì â àëãåáðå Ëè C ∞ (M ), èìåþùèì â êàæäûé ìîìåíòâðåìåíè u òàêîé æå âåêòîð ñêîðîñòè, êàê ó ïóòè Au â ãðóïïå Ëè. Çäåñüêàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî â ëþáîé òî÷êå ãðóïïû Ëè îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñàëãåáðîé Ëè ïðè ïîìîùè ëåâîãî (ïðàâîãî) ñäâèãà â ãðóïïå.Ìû äàäèì áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå ãîìîëîãè÷íûõ îòîáðàæåíèé.
Ïóñòüäèôôåîìîðôèçì à C 0 áëèçîê ê äèôôåîìîðôèçìó A.31Îïðåäåëåíèå 12. Äâà (îòäåëüíûõ) ñèìïëåêòè÷åñêèõ äèôôåîìîðôèçìàA0 è A1 íàçîâ¼ì ãîìîëîãè÷íûìè, åñëè èõ ìîæíî ñîåäèíèòü êóñî÷íî-ãëàäêèì(êëàññà C 1 ) ïóò¼ì Au , 0 ≤ u ≤ 1, â ïðîñòðàíñòâå C ∞ (U, M ) âñåõ ãëàäêèõîòîáðàæåíèé, îáëàäàþùèõ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîé çàìêíóòîéêðèâîé γ ⊂ U èíòåãðàë 2ôîðìû ω 2 ïî äâóìåðíîé òðóáêå C(A0 (γ), A1 (γ)) =∪0≤u≤1 Au (γ), ïîëó÷åííîé èç γ îòâå÷àþùåé ýòîìó ïóòè äåôîðìàöèåé, ðàâåííóëþ:Zω 2 = 0.(10)C(A0 (γ),A1 (γ))Çàìå÷àíèå 5. ßñíî, ÷òî îòîáðàæåíèÿ ñåìåéñòâà Au , ãäå êàæäîå âåêòîð-díîå ïîëå duAu (m) èìååò ãëîáàëüíóþ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà Fu , ãîìîëîãè÷íûîòîáðàæåíèþ A0 . Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ òðóáêè C(A0 (γ), Au (γ))èìååì:IId Z22 dω =ω ( Au , ∗) = −dFu = 0.du C(A0 (γ),Au (γ))duAu (γ)Au (γ)Ýòî äîêàçûâàåò ñîîòíîøåíèå (10). Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè âñå îòîáðàæåíèÿñåìåéñòâà Au ãîìîëîãè÷íû îòîáðàæåíèþ A0 , òî ïðè ëþáîì u ïîëå ñêîðîdñòåé duAu (m) èìååò ãëîáàëüíóþ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà Fu .
Ýòî ñëåäóåò èçïðèâåä¼ííîé öåïî÷êè ðàâåíñòâ, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèå (10) ýêdâèâàëåíòíî òî÷íîñòè 1ôîðìû ω 2 ( duAu , ∗), à çíà÷èò, è ñóùåñòâîâàíèþ ãëîdáàëüíîé ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà âåêòîðíîãî ïîëÿ duAu .Ñîãëàøåíèå. Äâà áëèçêèõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ äèôôåîìîðôèçìà A0 = A èA1 = à íàçîâ¼ì ãîìîëîãè÷íûìè, åñëè â îïðåäåëåíèè 12 â êà÷åñòâå ñîåäèíÿþùåãî ïóòè Au âçÿò êðàò÷àéøèé: äëÿ êàæäîé òî÷êè m ∈ U ïóòü Au (m),0 ≤ u ≤ 1, ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé ãåîäåçè÷åñêîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êó m ñ å¼îáðàçîì Au (m) (îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî ôèêñèðîâàííîé ðèìàíîâîé ìåòðèêè).
Òàêîé æå ïóòü Au áóäåì ðàññìàòðèâàòü è â áîëåå îáùåì ñëó÷àå êîãäà ñóùåñòâóåò ñâÿçíîå ïîäìíîæåñòâî Λ ⊂ U , ÿâëÿþùååñÿ äåôîðìàöèîííûì ðåòðàêòîì U è òàêîå, ÷òî îòîáðàæåíèÿ A0 |Λ è A1 |Λ áëèçêè.Çàìå÷àíèå.  îäíîñâÿçíîé îáëàñòè U ëþáûå äâà ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîá-ðàæåíèÿ ãîìîëîãè÷íû.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ñòÿãèâàåìîé êðèâîéâèäà γ = ∂D, ãäå D íåêîòîðîå êóñî÷íî-ãëàäêîå îòîáðàæåíèå äâóìåðíîãîêðóãà â U , òðóáêà C(A0 (γ), A1 (γ)) ãîìîëîãè÷íà ðàçíîñòè D \ A(D) äèñêà Dè åãî îáðàçà ïðè îòîáðàæåíèè A, à èíòåãðàëû ôîðìû ω 2 ïî ëþáîé ïîâåðõíîñòè D è å¼ îáðàçó A(D) ñîâïàäàþò â ñèëó ñèìïëåêòè÷íîñòè îòîáðàæåíèÿA.Çàìå÷àíèå 6. Óñëîâèå ãîìîëîãè÷íîñòè îòîáðàæåíèé íå çàâèñèò îò ïðåä-ñòàâèòåëÿ êëàññà ãîìîòîïíûõ ïóòåé Au , ñîåäèíÿþùèõ ýòè îòîáðàæåíèÿ.32Äåéñòâèòåëüíî, ãîìîòîïíûì ïóòÿì Au îòâå÷àþò ãîìîòîïíûå òðóáêè C(A0 (γ), A1 (γ))(äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé γ ⊂ U ), ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå èíòåãðàëà(10) ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ïî ýòèì òðóáêàì îäíî è òî æå.
Îòñþäà,â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ãîìîëîãè÷íîñòü îòîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè.Òåîðåìà 4. Ïóñòü ìíîæåñòâî Λ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ñèìïëåêòè÷åñêî-ãî îòîáðàæåíèÿ A ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì êîìïàêòíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì â M . Ïóñòü à ñèìïëåêòè÷åñêîå îòîáðàæåíèå, C 1 áëèçêîå ê Aè ãîìîëîãè÷íîå åìó. Òîãäà ÷èñëî ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëè÷íûõ íåïîäâèæíûõòî÷åê îòîáðàæåíèÿ à íå ìåíüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõòî÷åê ãëàäêîé ôóíêöèè íà ìíîãîîáðàçèè Λ. Êðîìå òîãî, ÷èñëî íåïîäâèæíûõ òî÷åê ýòîãî îòîáðàæåíèÿ ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé íå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ìîðñîâñêîé ôóíêöèè íà Λ. ÷àñòíîñòè, ÷èñëî ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëè÷íûõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê íåìåíüøå êàòåãîðèè Ëþñòåðíèêà-Øíèðåëüìàíà ìíîæåñòâà Λ, à èõ ÷èñëî,ñ÷èòàÿ ñ êðàòíîñòÿìè, íå ìåíüøå ñóììû ÷èñåë Áåòòè ìíîãîîáðàçèÿ Λ.Ïðèìåðû ãîìîëîãè÷íûõ îòîáðàæåíèé.ìà.1.
Âàæíûé ïðèìåð ãîìîëîãè÷íûõ îòîáðàæåíèé äà¼ò ñëåäóþùàÿ ëåì-Ëåììà 2. Ïóñòü A : U → M ñèìïëåêòè÷åñêèé äèôôåîìîðôèçì, Λ ⊂ U íåêîòîðîå êîìïàêòíîå ñâÿçíîå ïîäìíîãîîáðàçèå (âîçìîæíî, ñ êðàåì),âñå òî÷êè êîòîðîãî íåïîäâèæíû ïðè îòîáðàæåíèè A. Òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U 0 ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ â U îòîáðàæåíèå A ãîìîëîãè÷íîòîæäåñòâåííîìó.Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì â êà÷åñòâå U 0 òðóá÷àòóþ îêðåñòíîñòü ïîäìíî-ãîîáðàçèÿ Λ â U . Äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé γ ⊂ U 0 ðàññìîòðèì å¼ ïðîåêöèþ γ̄ ⊂ Λ íà Λ.
Ñîåäèíèì êðèâûå γ è γ̄ òðóáêîé C = C(γ, γ̄) ⊂ U 0 , ñîñòîÿùåé èç êðàò÷àéøèõ ãåîäåçè÷åñêèõ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè m ∈ γ ñ èõ ïðîåêöèÿìè m̄ ∈ γ̄ íà Λ. Òàê êàê êðèâàÿ γ̄ íåïîäâèæíà ïðè îòîáðàæåíèè A,òî öåïü C(γ, A(γ)) ãîìîëîãè÷íà ðàçíîñòè öåïè C è å¼ îáðàçà A(C) ïðè îòîáðàæåíèè A. Íî èíòåãðàëû ôîðìû ω ïî öåïÿì C è A(C) ñîâïàäàþò â ñèëóRRRñèìïëåêòè÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ A. Çíà÷èò, C(γ,A(γ)) ω 2 = ( C − A(C) )ω 2 = 0,ò.å. îòîáðàæåíèå A ãîìîëîãè÷íî òîæäåñòâåííîìó. Ëåììà 2 äîêàçàíà.332. Äðóãèì ïðèìåðîì ãîìîëîãè÷íûõ îòîáðàæåíèé ÿâëÿþòñÿ îòîáðàæå-íèÿ Ïóàíêàðå A : σ → σ è à : σ̃ → σ̃ , îòâå÷àþùèå äâóì áëèçêèì ãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì. Çäåñü σ = Σ ∩ H −1 (h) è σ̃ = Σ ∩ H̃ −1 (h) ñå÷åíèÿÏóàíêàðå íåâîçìóù¼ííîé è âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìûå ñ ïîìîùüþ ëþáîé ãèïåðïîâåðõíîñòè Σ â M , òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùåé òðàåêòîðèè ñèñòåì.
Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòè ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå íå îáÿçàíû ñîâïàäàòü,è ïîýòîìó äëÿ îòîáðàæåíèé Ïóàíêàðå A è à íà íèõ íå îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ãîìîëîãè÷íîñòè. Îäíàêî ìåæäó ýòèìè ñå÷åíèÿìè èìååòñÿ åñòåñòâåííûéñèìïëåêòè÷åñêèé äèôôåîìîðôèçì ϕ : σ → σ̃ . À èìåííî, íà ãèïåðïîâåðõíîñòè Σ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ω 2 âûðîæäåíà è â êàæäîé òî÷êå å¼ ÿäðîîäíîìåðíî. Ðàññìîòðèì íà Σ èíòåãðàëüíûå êðèâûå ýòîãî ïîëÿ ÿäåð. Òàêêàê ýòè êðèâûå òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþò óðîâåíü ýíåðãèè σ = Σ∩H −1 (h)(â ñèëó ñèìïëåêòè÷íîñòè σ ), òî äâèæåíèå âäîëü ýòèõ êðèâûõ çàäà¼ò íåêîòîðûé äèôôåîìîðôèçì ϕ : σ → σ̃ , êîòîðûé, î÷åâèäíî, ñîõðàíÿåò ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó.ßñíî, ÷òî C r áëèçêèì ôóíêöèÿì Ãàìèëüòîíà H è H̃ îòâå÷àþò C r−1 áëèçêèå äèôôåîìîðôèçìû A è P = ϕ−1 ◦ à ◦ ϕ.Ëåììà 3.
Ïóñòü A : σ → σ , à : σ̃ → σ̃ îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå,îòâå÷àþùèå C 2 áëèçêèì ãàìèëüòîíèàíàì H è H̃ ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäàñèìïëåêòè÷åñêèå äèôôåîìîðôèçìû A è P = ϕ−1 ◦ Ã◦ϕ ãîìîëîãè÷íû, ãäå ϕ :σ → σ̃ ïîñòðîåííûé âûøå ñèìïëåêòè÷åñêèé äèôôåîìîðôèçì îáëàñòåéîïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèé A è Ã.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé γ ⊂ U ðàññìîòðèì öåïüC = C(A(γ), Ã(γ)) èç îïðåäåëåíèÿ 12 è äîêàæåì ñîîòíîøåíèå (10), ò.å. ÷òîèíòåãðàë ôîðìû ω 2 ïî ýòîé öåïè ðàâåí íóëþ. Çàìêí¼ì öåïü C ïðè ïîìîùè÷åòûð¼õ òðóáîê â M 2n ñëåäóþùåãî âèäà:ïåðâàÿ òðóáêà ëåæèò â ïîâåðõíîñòè H −1 (h) è îáðàçîâàíà ôàçîâûìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, âûïóùåííûìè èç èñõîäíîé êðèâîé γ ;âòîðàÿ òðóáêà ëåæèò â ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h) è îáðàçîâàíà ôàçîâûìè òðàåêòîðèÿìè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, âûïóùåííûìè èç êðèâîé γ̃ = ϕ(γ);òðåòüÿ è ÷åòâ¼ðòàÿ òðóáêè ëåæàò â ñåêóùåé ïîâåðõíîñòè Σ è ñîñòàâëåíûèç òðàåêòîðèé ïîëÿ ÿäåð ôîðìû ω 2 |Σ (ñîåäèíÿþùèõ êðèâóþ γ ñ êðèâîé γ̃è êðèâóþ Ã(γ̃) ñ êðèâîé ϕ−1 (Ã(γ̃)) = ϕ−1 ◦ à ◦ ϕ(γ) = P (γ) ñîîòâåòñòâåííî).Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûé 2öèêë ÷åðåç [C] = [C(A(γ), Ã(γ))] (ýòîò öèêëÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì òîðîì).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
