Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ïîäïðîñòðàíñòâî R1 (A) ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì Tm (Λ ∩ σm )), òî ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Q áóäåìñ÷èòàòü îäíîâðåìåííî è ïîëîæèòåëüíî, è îòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííîé íàýòîé òðàíñâåðñàëè.Çàìå÷àíèå. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ñèëüíî óñòîé÷èâîå â ëèíåéíîìïðèáëèæåíèè ïîäìíîãîîáðàçèå Λ íåâûðîæäåíî (â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1),è â êàæäîé åãî òî÷êå m ∈ Λ ñïåêòð îïåðàòîðà A ëåæèò íà åäèíè÷íîéîêðóæíîñòè â Cl è íå ñîäåðæèò −1.25Òåîðåìà 3.
Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ H −1 (h), çàïîëíåííîå çàìêíó-òûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , ñèëüíî óñòîé÷èâî âëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè. Ïóñòü ãàìèëüòîíèàí H̃ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìûãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà ε ≥ 0, ò.å. èìååò âèä (4). Ïóñòüòðàåêòîðèÿ γ0 ⊂ Λ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì ëîêàëüíîãîìàêñèìóìà (ëèáî ìèíèìóìà èëè ìèíèìàêñà, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèèâ îïðåäåëåíèè 8) ôóíêöèè H̄, ñì. (6). Òî åñòü, èìååò ìåñòî ñîãëàñîâàííàÿ çíàêîîïðåäåë¼ííîñòü. Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε0 > 0 âûæèâàþùàÿ ñîãëàñíî òåîðåìå 2 çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ γε ⊂ H̃ −1 (h), 0 < ε ≤ ε0 ,âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâà â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.Òðàåêòîðèþ γ0 èç òåîðåìû 3 íàçîâ¼ì ýêñòðåìàëüíîé îêðóæíîñòüþóñðåäí¼ííîãî âîçìóùåíèÿ H̄.Ñëåäñòâèå 5.
Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ H −1 (h), çàïîëíåííîå çàìêíó-òûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , ñèëüíî óñòîé÷èâî âëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè. Ïóñòü ãàìèëüòîíèàí H̃ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìûãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà ε ≥ 0, ò.å. èìååò âèä (4). Ïóñòüóñðåäí¼ííîå âîçìóùåíèå H̄ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ìîðñà íà ìíîãîîáðàçèè B .Òîãäà âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà èìååò ïî ìåíüøåé ìåðå îäíó çàìêíóòóþòðàåêòîðèþ γε ⊂ H̃ −1 (h), ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâóþ â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.
À èìåííî, ëþáàÿ ýêñòðåìàëüíàÿ îêðóæíîñòü γ0 ⊂ Λ ôóíêöèèH̄, ÿâëÿþùàÿñÿ å¼ ëîêàëüíûì ìàêñèìóìîì (ëèáî ìèíèìóìîì èëè ìèíèìàêñîì, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè â îïðåäåëåíèè 8), ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùåé äëÿ íåêîòîðîãî ñåìåéñòâà ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûõ çàìêíóòûõòðàåêòîðèé γε , 0 < ε ≤ ε0 . äåéñòâèòåëüíîñòè, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå îáîáùåíèå òåîðåìû 3, äîïîëíÿþùåå óòâåðæäåíèå 3 è âûòåêàþùåå èç íåãî, ëåììû 1 è ïðåäëîæåíèÿ1.Óòâåðæäåíèå 4. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1, ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂H −1 (h), çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , ñèëüíî óñòîé÷èâî â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.
Ïóñòü ãàìèëüòîíèàí H̃ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû áëèçîê ê H ïî íîðìå C r , ãäå r ≥ 2. Òîãäàâëîæåíèå i : Λ ,→ H̃ −1 (h) è ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ S : Λ → IR èç óòâåðæäåíèÿ3 îáëàäàþò ñëåäóþùèì äîïîëíèòåëüíûì ñâîéñòâîì:7◦ Ïóñòü îêðóæíîñòü γ ⊂ Λ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (ëèáî ìàêñèìóìà èëè ìèíèìàêñà, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè â îïðåäåëåíèè 8) ôóíêöèè S . Òîãäà îáðàç γ̃ = i(γ) ýòîéîêðóæíîñòè ïðè âëîæåíèè i ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîé â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè çàìêíóòîé òðàåêòîðèåé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.26Ïðèìåíåíèå òåðìèíà ñèëüíîé óñòîé÷èâîñòè ê ïîäìíîãîîáðàçèþ Λ, çàïîëíåííîìó çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè, îáúÿñíÿåòñÿ ñëåäóþùèì ñëåäñòâèåì èç óòâåðæäåíèÿ 4.Ñëåäñòâèå 6. Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ H −1 (h), çàïîëíåííîå çàìêíó-òûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , ñèëüíî óñòîé÷èâî âëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.
Ïóñòü H̃ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà M , C 2 áëèçêàÿê ôóíêöèè H . Ïóñòü ôóíêöèÿ S èç óòâåðæäåíèÿ 4 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåéÁîòòà, âñå êðèòè÷åñêèå ïîäìíîãîîáðàçèÿ êîòîðîé îêðóæíîñòè. Òîãäàñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ èìååò ïî ìåíüøåé ìåðå îäíó çàìêíóòóþòðàåêòîðèþ γ̃ ⊂ H̃ −1 (h), óñòîé÷èâóþ â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè. À èìåííî, äëÿ ëþáîé êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè γ ⊂ Λ ôóíêöèè S , ÿâëÿþùåéñÿå¼ áîòòîâñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà (ëèáî ìèíèìóìàèëè ìèíèìàêñà, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè â îïðåäåëåíèè 8), å¼ îáðàçγ̃ = i(γ) ïðè îòîáðàæåíèè i ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîé â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè çàìêíóòîé òðàåêòîðèåé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.1.4 Íåïîäâèæíûå òî÷êè ñèìïëåêòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèéÏóñòü, êàê è âûøå, M = M 2n ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå, ñíàáæåííîåñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ω 2 .
Ïóñòü A : U → M ñèìïëåêòè÷åñêèé (ò.å.ñîõðàíÿþùèé 2ôîðìó ω 2 ) äèôôåîìîðôèçì íåêîòîðîé îáëàñòè U ⊂ M âM . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Λ ⊂ U âñåõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿA.1.4.1 Óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè, ñòðîãîé íåâûðîæäåííîñòè èçíàêîîïðåäåë¼ííîñòèÎïðåäåëåíèå 9. Ìíîæåñòâî Λ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ñèìïëåêòè÷åñêîãîîòîáðàæåíèÿ A íàçîâ¼ì íåâûðîæäåííûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì â M , è â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ÿäðî îïåðàòîðà dA(m) − Iñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì Tm Λ ê ïîäìíîãîîáðàçèþ Λ:ker (dA(m) − I) = Tm Λ,ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå Tm M ê ìíîãîîáðàçèþ M . ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ m = (m1 , .
. . , mn ) ýòî óñëîâèå ïðèíèìàåò ñëå∂A(m) è åäèíè÷íîé ìàòðèöûäóþùèé âèä: ðàíã ðàçíîñòè ìàòðèöû ßêîáè ∂m27I â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λ ìàêñèìàëåí:rank (∂A(m) − I) = codim Λ.∂mÎïðåäåëåíèå 10. Ìíîæåñòâî Λ íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ A íàçîâ¼ì ñòðîãî íåâûðîæäåííûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåìâ M è â êàæäîé åãî òî÷êå m ∈ Λ êðàòíîñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ 1 (èëè,÷òî òî æå ñàìîå, ðàçìåðíîñòü îòâå÷àþùåãî 1 êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà)îïåðàòîðà dA(m) ðàâíà dim Λ.Òàêîå óñëîâèå íà ïîäìíîãîîáðàçèå Λ íàêëàäûâàëîñü â ðàáîòàõ Áîòòêîëà [14] è àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíÿëîñü â ðàáîòå Ìîçåðà [24]. Îòìåòèì, ÷òîîïðåäåëåíèÿ íåâûðîæäåííîñòè è ñòðîãîé íåâûðîæäåííîñòè íå ïðåäïîëàãàþò ãàìèëüòîíîâîñòü ñèñòåìû è, â ÷àñòíîñòè, íàëè÷èå ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû.
Îäíàêî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà íà Λ âëèÿåò íà âîçìîæíóþ ñòðóêòóðó æîðäàíîâîé ôîðìû îïåðàòîðîâ dA(m), m ∈ Λ. Ñëåäóþùååóòâåðæäåíèå, â ÷àñòíîñòè, ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèå ñòðîãîé íåâûðîæäåííîñòè Λ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî áîëåå ñèëüíûì, ÷åì óñëîâèå îáû÷íîé íåâûðîæäåííîñòè.Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü ìíîæåñòâî Λ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ A íåâûðîæäåíî. Òîãäà:(à)  êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ðàçìåðíîñòü êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâàR1 (dA(m)) îïåðàòîðà dA(m), îòâå÷àþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, íåìåíüøå, ÷åì dim Λ + dim ker (ω 2 |Tm Λ ). Ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1 îïåðàòîðàdA(m) ëèíåàðèçàöèè îòîáðàæåíèÿ A îòâå÷àåò ðîâíî dim Λ æîðäàíîâûõêëåòîê, ïðè÷¼ì ñðåäè íèõ ðîâíî rank (ω 2 |Tm Λ ) êëåòîê èìåþò ïîðÿäîê 1.(á) Ìíîæåñòâî Λ ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî íåâûðîæäåííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì â M .(â) Ïóñòü â òî÷êå m ∈ Λ âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1.
ëèáî ïîäïðîñòðàíñòâî Tm Λ êîèçîòðîïíî (íàïðèìåð, ëàãðàíæåâî èëèñîâïàäàåò ñî âñåì Tm M ),2. ëèáî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q = ω 2 (dA(m)∗, ∗) çíàêîîïðåäåëåíà íàòðàíñâåðñàëè â êîðíåâîì ïîäïðîñòðàíñòâå R1 (dA(m)) ê ñîáñòâåííîìó ïîäïðîñòðàíñòâó E1 (dA(m)) ⊂ R1 (dA(m)) îïåðàòîðà dA(m)(îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1).Òîãäà âñå æîðäàíîâû êëåòêè îïåðàòîðà dA(m), îòâå÷àþùèå ñîáñòâåííîìóçíà÷åíèþ 1, áóäóò ïîðÿäêà 1 èëè 2. Ñðåäè íèõ áóäåò ðîâíî rank (ω 2 |Tm Λ )êëåòîê ïîðÿäêà 1 è dim ker (ω 2 |Tm Λ ) êëåòîê ïîðÿäêà 2.28 äàëüíåéøåì ìû âîñïîëüçóåìñÿ ïóíêòàìè (á) è (â-2) ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ï. (à) âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìîáùèì ôàêòîì èç ëèíåéíîé àëãåáðû:Ðàçìåðíîñòü êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà R0 (A) îïåðàòîðà A, îòâå÷àþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 0, ðàâíà ñóììå ðàçìåðíîñòåé ñëåäóþùèõ ïîäïðîñòðàíñòâ: Lk = ker A ∩ Im(Ak ), k ≥ 0, k ∈ ZZ.
Ïðè ýòîì æîðäàíîâàôîðìà îïåðàòîðà A èìååò ðîâíî dim Lk−1 − dim Lk æîðäàíîâûõ êëåòîêïîðÿäêà k , îòâå÷àþùèõ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 0.Îòñþäà è èç íåâûðîæäåííîñòè Λ ñðàçó ïîëó÷àåì, ÷òî îïåðàòîð dA(m) èìååò ðîâíî dim Λ æîðäàíîâûõ êëåòîê, îòâå÷àþùèõ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ðîâíî dim ker (ω 2 |Tm Λ ) èç ýòèõ êëåòîê èìåþò ïîðÿäîêáîëüøå 1. Ñîãëàñíî îáùåìó ôàêòó (ñì. âûøå), ýòî ÷èñëî ðàâíî ðàçìåðíîñòèïîäïðîñòðàíñòâà L1 = ker (dA(m) − I) ∩ Im(dA(m) − I), ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.
Íî äëÿ ëþáîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî îïåðàòîðà A ÿäðî è îáðàçîïåðàòîðà A − I êîñîîðòîãîíàëüíû, òàê êàê äëÿ ëþáîãî η ∈ ker (A − I)èìååìω 2 (Aξ − ξ, η) = ω 2 (Aξ, η) − ω 2 (Aξ, Aη) = ω 2 (Aξ, η − Aη) = 0.(7)Áîëåå òîãî, èç íåâûðîæäåííîñòè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû è ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòåé ïîëó÷àåì, ÷òî ýòè ïîäïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ êîñîîðòî⊥ãîíàëüíûìè äîïîëíåíèÿìè äðóã äðóãà.
Ñëåäîâàòåëüíî, L1 = Tm Λ ∩ TmΛ=22ker (ω |Tm Λ ). Ïîýòîìó ðîâíî dim ker (ω |Tm Λ ) êëåòîê èìåþò ïîðÿäîê áîëüøå1, à çíà÷èò, ðîâíî dim Λ − dim ker (ω 2 |Tm Λ ) = rank (ω 2 |Tm Λ ) êëåòîê èìåþòïîðÿäîê 1.Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü îòâå÷àþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà dA(m), íå ìåíüøå ÷åì dim L0 +dim L1 = dim Λ + dim ker (ω 2 |Tm Λ ), ÷òî è äîêàçûâàåò ï. (à) ïðåäëîæåíèÿ2.Ïóíêò (á) î÷åâèäíî ñëåäóåò èç ï. (à), òàê êàê ñòðîãàÿ íåâûðîæäåííîñòüðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî âñå æîðäàíîâû êëåòêè îïåðàòîðà dA(m), îòâå÷àþùèå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, èìåþò ïîðÿäîê 1.Äîêàæåì ïóíêò (â).  ñëó÷àå êîèçîòðîïíîãî Λ ÷èñëî êëåòîê ïîðÿäêàáîëüøå 1 ðàâíîdim ker (ω 2 |Tm Λ ) = codim Λ,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ýòè êëåòêè èìåþò ïîðÿäîê 2. Ýòî äîêàçûâàåò ïóíêò(â1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
