Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ïóñòü m èçîëèðîâàííàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ãëàäêîéôóíêöèè F : IRk → IR, F (m) = 0. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M = {x ∈IRk | F (x) ≤ 0}. Îïðåäåëèì ÷èñëà Áåòòè βi (F, m) ôóíêöèè F â òî÷êå m,ïîëàãàÿ βi (F, m) = rank Hi (M, M \ {m}), 0 ≤ i ≤ k .Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2, γ ⊂ Λ (íå îáÿçàòåëü-íî áîòòîâñêàÿ) èçîëèðîâàííàÿ êðèòè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ ôóíêöèè H̄ íà Λ.Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå F = H̄|Λ̄ ýòîé ôóíêöèè íà íîðìàëüíóþ ê γ ïëîùàäêó Λ̄ â Λ, è ðàññìîòðèì ÷èñëà Áåòòè βi (F, m) ïîëó÷åííîé ôóíêöèèâ òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ m = γ ∩ Λ̄ òðàåêòîðèè γ ñ ýòîé ïëîùàäêîé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî õîòÿ áû îäíî èç ýòèõ ÷èñåë îòëè÷íî îò íóëÿ, à çíà÷èò,Pèõ ñóììà β =βi (F, m) ïîëîæèòåëüíà. Òîãäà äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòèΩ òðàåêòîðèè γ â M 2n ñóùåñòâóåò ε0 > 0, òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì ε,|ε| ≤ ε0 , íà ïîâåðõíîñòè Ω ∩ H̃ −1 (h) ñóùåñòâóåò ïî ìåíüøåé ìåðå îäíà çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ . Êðîìå òîãî,÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé íå ìåíüøå β .Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ óòâåðæäåíèÿ 2, èíäåêñ ind m (grad F )ãðàäèåíòà ôóíêöèè F = H̄|Λ̄ â òî÷êå m = γ∩Λ̄ îòëè÷åí îò íóëÿ. Òîãäà äëÿëþáîé îêðåñòíîñòè Ω òðàåêòîðèè γ â M 2n ñóùåñòâóåò ε0 > 0, òàêîå, ÷òîïðè ëþáîì ε, |ε| ≤ ε0 , íà ïîâåðõíîñòè Ω ∩ H̃ −1 (h) ñóùåñòâóåò ïî ìåíüøåéìåðå îäíà çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ .
Êðîìåòîãî, ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé â ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé íå ìåíüøå, ÷åìind m (grad F ). ñàìîì äåëå, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èíäåêñ ãðàäèåíòà ôóíêöèè F â òî÷Pêå m ðàâåí àëüòåðíèðîâàííîé ñóììå ind m (grad F ) = (−1)i βi (F, m) ÷èñåëÁåòòè. Ïîýòîìó ñëåäñòâèå 4 äåéñòâèòåëüíî ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ 2. äåéñòâèòåëüíîñòè, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, îáîáùàþùååòåîðåìû 1, 2 è óòâåðæäåíèÿ 1, 2.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãàìèëüòîíèàí H̃ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû áëèçîê ê Hïî íîðìå C r , ãäå r ≥ 2.
Îáîçíà÷èìε = kH̃ − HkC r ,H1 = (H̃ − H)/ε,è îáîçíà÷èì ÷åðåç H̄ óñðåäíåíèå (6) âîçìóùåíèÿ H1 |Λ ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λ.21Óòâåðæäåíèå 3.  óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U ïîä-ìíîãîîáðàçèÿ Λ â M è ε0 > 0, òàêèå, ÷òî ïðè ëþáîì ε, |ε| ≤ ε0 , ñóùåñòâóåò âëîæåíèå i : Λ ,→ U ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ â U è ãëàäêèå ôóíêöèè S è T̃íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ, ïîñòîÿííûå îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòèè îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1◦ Îáðàç Λ̃ = i(Λ) ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ ïðè âëîæåíèè i ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h).2◦ Îáðàçû ïðè âëîæåíèè i âñåõ êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé ôóíêöèèS â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà U ∩ H̃ −1 (h).  ÷àñòíîñòè, ïîäìíîãîîáðàçèå Λ̃ ñîäåðæèò âñåçàìêíóòûå òðàåêòîðèè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà U ∩ H̃ −1 (h).
Ïðè ýòîìäëÿ ëþáîé êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè γ ôóíêöèè S ÷èñëî T̃ (γ) ÿâëÿåòñÿïåðèîäîì òðàåêòîðèè i(γ).3◦ Îêðóæíîñòü γ ⊂ Λ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêîé êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòüþ ôóíêöèè S â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà å¼ îáðàç i(γ) ïðè âëîæåíèè i ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé (â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1) çàìêíóòîéòðàåêòîðèåé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ γè ñåêóùåé ãèïåðïîâåðõíîñòè Σ ⊂ U , òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùåé òðàåêòîðèþ γ â òî÷êå m, îáðàç ïðè êàñàòåëüíîì îòîáðàæåíèè di(m) íóëåâîãîïîäïðîñòðàíñòâà ãåññèàíà ôóíêöèè S|Σ∩Λ â òî÷êå m â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðà dÃ(i(m))−I , ãäå à : σ̃ → σ̃ îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, σ̃ = Σ ∩ H̃ −1 (h), I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.4◦ Âëîæåíèå i áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó, ôóíêöèÿ T̃ áëèçêà ê ôóíêöèè T , à ôóíêöèÿ −S áëèçêà (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî) êôóíêöèè H̄, ïîëó÷åííîé óñðåäíåíèåì (6) âîçìóùåíèÿ H1 = (H̃ − H)/ε ïîçàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λ.5◦ Åñëè âîçìóù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí H̃ ãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà, ò.å.
èìååò âèä (4), òî âëîæåíèå i : Λ ,→ M è ôóíêöèÿ S íà Λòîæå ãëàäêî çàâèñÿò îò ýòîãî ïàðàìåòðà. (Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî÷èñëî ε â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ýòî ìàëûé ïàðàìåòð, à íå kH̃ − HkC r .)Çäåñü ïîä áëèçîñòüþ äâóõ îòîáðàæåíèé èëè ôóíêöèé ïîíèìàåòñÿ èõεáëèçîñòü â C r−1 ìåòðèêå.1.3 Óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòûõ òðàåêòîðèéÏóñòü γ çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (íå ÿâëÿþùàÿñÿîñîáîé òî÷êîé). ×åðåç ëþáóþ òî÷êó m ∈ γ ïðîâåä¼ì ñå÷åíèå Ïóàíêàðå σm ⊂H −1 (h) ìàëåíüêóþ ïëîùàäêó â H −1 (h), òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùóþòðàåêòîðèþ γ .
Ïóñòü A : σm → σm îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå, îïðåäåëÿåìîåïîòîêîì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.22Ðàññìîòðèì îïåðàòîð ìîíîäðîìèèA = dA(m) : Tm σm → Tm σm ëèíåéíóþ ÷àñòü îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå â òî÷êå m ∈ Λ. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì ëèíåéíûì îïåðàòîðîì.Îïðåäåëåíèå 5. Ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó Q = ω 2 (A∗, ∗) â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ê òî÷êå m. Ýòà ôîðìà íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäÿùåéôóíêöèåé ñèìïëåêòè÷åñêîãî îïåðàòîðà A [1].ßñíî, ÷òî íóëåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî ýòîé ôîðìû ñîäåðæèò êàñàòåëüíîåïðîñòðàíñòâî Tm (Λ ∩ σm ) ê Λ ∩ σm .Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì îá óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà.Ëåììà 1.
Ïóñòü, â óñëîâèÿõ óòâåðæäåíèÿ 3, â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Q îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè íåâûðîæäåíà íà òðàíñâåðñàëè ê Λ ∩ σm â σm . Òîãäà âëîæåíèå i : Λ ,→ H̃ −1 (h) è ãëàäêàÿ ôóíêöèÿS : Λ → IR èç óòâåðæäåíèÿ 3 îáëàäàþò ñëåäóþùèì äîïîëíèòåëüíûìñâîéñòâîì:6◦ Ïóñòü γ ⊂ Λ ëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòü ôóíêöèè S , γ̃ = i(γ) ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè Q è Q̃ îïåðàòîðîâ ìîíîäðîìèè, îòâå÷àþùèõ çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì γ è γ̃ . Òîãäà èíäåêñ êâàäðàòè÷íîé ôîðìûQ̃ ðàâåí ñóììå èíäåêñà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q è èíäåêñà ãåññèàíà ôóíêöèèS â ëþáîé òî÷êå êðèâîé γ :ind Q̃ = ind Q + ind d2 S.Îïðåäåëåíèå 6. Ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ ∈ Cl ñèìïëåêòè÷åñêîãî îïåðàòîðà A íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì [2], åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èçñëåäóþùèõ ýêâèâàëåíòíûõ óñëîâèé:1.
êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q(ξ) = ω 2 (Aξ, ξ) çíàêîîïðåäåëåíà íà ìàêñèìàëüíîì èíâàðèàíòíîì ïîäïðîñòðàíñòâå, íà êîòîðîì îïåðàòîð A íåèìååò äðóãèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé êðîìå λ è λ̄;¯ çíàêîîïðåäåëåíà íà îòâå÷à2. ýðìèòîâà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà 2i1 ω 2 (ξ, ξ)þùåì λ ñîáñòâåííîì ïîäïðîñòðàíñòâå â êîìïëåêñèôèöèðîâàííîì êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå.23Íàïîìíèì, ÷òî ëèíåéíûé îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì (ïî Ëÿïóíîâó), åñëè íîðìà îïåðàòîðà An îãðàíè÷åíà ïðè n → ∞. Ñèìïëåêòè÷åñêèé îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûì, åñëè ëþáîéñèìïëåêòè÷åñêèé îïåðàòîð, äîñòàòî÷íî áëèçêèé ê îïåðàòîðó A, ÿâëÿåòñÿóñòîé÷èâûì.Îïðåäåëåíèå 7. Ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå γ äàííîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòå-ìû íàçîâ¼ì îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè (èëè ïðîñòî óñòîé÷èâûì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè), åñëè îïåðàòîð ìîíîäðîìèè Aÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì. Ðåøåíèå γ íàçîâ¼ì (îðáèòàëüíî) ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè, åñëè îïåðàòîð ìîíîäðîìèè A ÿâëÿåòñÿñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûì.Äàëåå ñëîâî îðáèòàëüíî ïî îòíîøåíèþ ê óñòîé÷èâîñòè è ñòðóêòóðíîé óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòîé òðàåêòîðèè â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè áóäåìîïóñêàòü.Íàïðèìåð, åñëè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A ëåæàò íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè â Cl è ðàçëè÷íû, òî ðåøåíèå γ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâî âëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ëþáîå ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîåïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå óñòîé÷èâî è íåâûðîæäåíî (â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ1).Çàìå÷àíèå 3. ñëó÷àå, êîãäà ñèñòåìà èìååò äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûéèíòåãðàë F , ñîõðàíÿþùèéñÿ ïðè äàííîì âîçìóùåíèè, âìåñòî çàìêíóòîéòðàåêòîðèè γ áóäåì ãîâîðèòü î ñîîòâåòñòâóþùåì èíâàðèàíòíîì äâóìåðíîì òîðå, â êà÷åñòâå ñå÷åíèÿ σ áóäåì ðàññìàòðèâàòü òðàíñâåðñàëü ê òîðóγ â ïîâåðõíîñòè H −1 (h) ∩ F −1 (f ), à â êà÷åñòâå îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå Aáóäåì áðàòü àíàëîãè÷íîå îòîáðàæåíèå íà òðàíñâåðñàëè σ . Îïåðàòîð ìîíîäðîìèè ïî-ïðåæíåìó îïðåäåëÿåòñÿ êàê ëèíåéíàÿ ÷àñòü A îòîáðàæåíèÿÏóàíêàðå. Äâóìåðíûé òîð γ íàçîâ¼ì îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûì â ëèíåéíîìïðèáëèæåíèè íà îáùåé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ èíòåãðàëà ýíåðãèè H è äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà F , åñëè îïåðàòîð ìîíîäðîìèè A ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûé òîð.Íàïîìíèì èçâåñòíûé ôàêò èç òåîðèè ñèìïëåêòè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ [2].Ïðåäëîæåíèå 1.À) Ñèìïëåêòè÷åñêèé îïåðàòîð óñòîé÷èâ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îí êîìïëåêñíî äèàãîíàëèçóåì, è âñå åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿëåæàò íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè â Cl.Á) Ñèìïëåêòè÷åñêèé îïåðàòîð ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâ â òîì è òîëüêîòîì ñëó÷àå, êîãäà ëþáîå êîìïëåêñíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ ýòîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì.24Çàìå÷àíèå. Ïóñòü ðåøåíèå γ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâî â ëèíåéíîì ïðèáëè-æåíèè.
Òîãäà âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè è, â ÷àñòíîñòè, ëåæàò íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè â Cl è îòëè÷íû îò±1. Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ïðè ìàëîé äåôîðìàöèè ñèìïëåêòè÷åñêîãîîòîáðàæåíèÿ ýòà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ñîõðàíèòñÿ, áûòü ìîæåò ñëåãêà èçìåíèâ ñâîå ïîëîæåíèå, ïðè÷¼ì îáÿçàòåëüíî îñòàíåòñÿ óñòîé÷èâîé â ëèíåéíîìïðèáëèæåíèè. Ýòî è îáúÿñíÿåò óïîòðåáëåíèå òåðìèíà ñòðóêòóðíîé óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.Ââåä¼ì ïîíÿòèå ñèëüíî óñòîé÷èâîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ, çàïîëíåííîãî çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè.Îáîçíà÷èì ÷åðåç R1 (A) ⊂ Tm σm êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðàA, îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî íóëåâîåïîäïðîñòðàíñòâî êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q = ω 2 (A∗, ∗)|R1 (A) â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ñîáñòâåííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì E1 (A) îïåðàòîðà A, îòâå÷àþùèìñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1.Îïðåäåëåíèå 8.
Ïóñòü Λ ⊂ H −1 (h) ïîäìíîãîîáðàçèå, ñïëîøü çàïîëíåí-íîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû. Áóäåì ãîâîðèòü,÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ñèëüíî óñòîé÷èâî â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè, åñëèâ êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A = dA(m) â Tm σm , îòëè÷íûå îò1, ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè (ñì. îïðåäåëåíèå 6), â ÷àñòíîñòè, ëåæàòíà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè â Cl è îòëè÷íû îò ±1;2. êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q = ω 2 (A∗, ∗) çíàêîîïðåäåëåíà íà íåêîòîðîéòðàíñâåðñàëè ê êàñàòåëüíîìó ïðîñòðàíñòâó Tm (Λ ∩ σm ) â êîðíåâîìïîäïðîñòðàíñòâå R1 (A) îïåðàòîðà A, îòâå÷àþùåì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1.Äàëåå äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Q ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îïðåäåëåíà íà óêàçàííîé òðàíñâåðñàëè. Åñëèýòà òðàíñâåðñàëü íóëüìåðíà (ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
