Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ýòî äîêàçûâàåò òåîðåìó13.3.5.2 Äâîéíûå ïëàíåòû. Îáîáù¼ííàÿ çàäà÷à Õèëëà çàêëþ÷åíèå ñôîðìóëèðóåì âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåì 11, 12 èç 3.1.Ïóñòü iòàÿ ïëàíåòà èìååò ðîâíî îäèí ñïóòíèê: ni = 1. Ñîîòâåòñòâóþùóþ ñïóòíèêîâóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç iòîé ïëàíåòû è å¼ ñïóòíèêà,íàçîâ¼ì äâîéíîé ïëàíåòîé. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèé èíäèâèäóàëüíûéïàðàìåòð θi = νi1 ∈ (0, 1) (ñì. âûøå). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñóììàðíàÿ ìàññà äâîéíîé ïëàíåòû èìååò âèä µi = µmi . Òîãäà ìàññû iòîé ïëàíåòû è å¼ñïóòíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî µ(1 − θi )mi è µθi mi (µ ¿ 1).Äëÿ îñòàëüíûõ ïëàíåò (èìåþùèõ áîëåå îäíîãî ñïóòíèêà) áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî ìàññû èõ ñïóòíèêîâ èìåþò âèä µνmij , ãäå ν ¿ 1.Ñîãëàñíî òåîðåìå 13, óòâåðæäåíèÿ òåîðåì 11 è 12 îñòàíóòñÿ ñïðàâåäëèâûìè, åñëè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ µ, ν , à òàêæå ïàðàìåòðîâ θi , îòâå÷àþùèõäâîéíûì ïëàíåòàì, äîñòàòî÷íî ìàëû.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîñëåäíåå îãðàíè÷åíèå íå ñóùåñòâåííî, ò.å. âåðíàÒåîðåìà 14. Äëÿ ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû, â êîòîðîé èìåþòñÿäâîéíûå ïëàíåòû, òåîðåìû 11, 12 âåðíû áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î ìàëîñòèñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ θi , îòâå÷àþùèõ äâîéíûì ïëàíåòàì.
Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè â äàííîé ñèñòåìå èìåþòñÿ äâîéíûå ïëàíåòû, òî äëÿ195ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 11 äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé 1, 2 çàìå÷àíèÿ 15, ò.å. ÷òîáû µ, ν → 0, à äëÿ êàæäîé äâîéíîé ïëàíåòûïàðàìåòð θi ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè ïîëó÷åíèè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû èç ñèñòåìû(98) ìàëîñòü ïàðàìåòðà ν èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî êàê êîýôôèöèåíò ïðè ñóìPdyìàõ âèäà j 0 6=j ηij 0 â óðàâíåíèÿõ íà dtij . Îäíàêî ýòè ñóììû îòñóòñòâóþò,åñëè ïëàíåòà èìååò íå áîëåå îäíîãî ñïóòíèêà, ò.å. êîãäà ni ≤ 1. Ïîýòîìóìàëîñòü ïàðàìåòðîâ θi , îòâå÷àþùèõ äâîéíûì ïëàíåòàì, íå ñóùåñòâåííà.Çàìå÷àíèå 28. Àíàëîãè÷íîå äîêàçàòåëüñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå ñè-ñòåìû ÑîëíöåÇåìëÿËóíà (N = 2, n = 1) òåîðåìà 14 îñòàíåòñÿ âåðíîé áåçïðåäïîëîæåíèÿ î ìàëîñòè ïàðàìåòðà µ. Òàêèå ðåøåíèÿ õîðîøî èçâåñòíû[26, 6], è èõ íàçûâàþò îáîáù¼ííûìè ðåøåíèÿìè Õèëëà èëè ïðîñòî ðåøåíèÿìè Õèëëà.
 ñëó÷àå ïëàíåòíîé ñèñòåìû áåç ñïóòíèêîâ (ni = 0), óòâåðæäåíèÿ òåîðåì 11, 12 òàêæå èçâåñòíû è áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòå Êðàñèíñêîãî[8].  ñëó÷àå Ñîëíöå-ïëàíåòà-ñïóòíèêè òåîðåìà 12 áûëà ïîëó÷åíà â ðàáîòå[12] Òõàÿ.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] Â. È. Àðíîëüä. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ì.:Íàóêà, 1974.[2] À. Â. Âàëèíüî. Êîìïëåêñíûé ðîñòîê íà íåïîëíîìåðíûõ ëàãðàíæåâûõòîðàõ. Äèññ. íà ñîèñê. ó÷. ñòåï. êàíä.
ôèç.-ìàò. íàóê. Ìîñêâà, 1983, ðóêîïèñü.[3] À. Ãèâåíòàëü. Ïåðèîäè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ â ñèìïëåêòè÷åñêîé òîïîëîãèè // Ôóíêö. Àí. è ïðèëîæåíèÿ, 1987, ò. 23.[4] Ï. Ë. Ãèíçáóðã. Íîâûå îáîáùåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðåìû Ïóàíêàðå// Ôóíêö. Àí. è ïðèëîæåíèÿ, 1987, ò. 21, No. 2, ñ. 16-22.[5] Á.
À. Äóáðîâèí, Ñ. Ï. Íîâèêîâ, À. Ò. Ôîìåíêî. Ñîâðåìåííàÿ ãåîìåòðèÿ.Ìåòîäû ãîìîëîãèé // Ì.: Íàóêà, 1984.[6] Ê. Ë. Çèãåëü. Ëåêöèè ïî íåáåñíîé ìåõàíèêå: Ïåð. ñ íåì. // Ì.: Èçä-âîèíîñòð. ëèò., 1959.[7] Â. Â. Êîçëîâ. Ñèììåòðèè, òîïîëîãèÿ è ðåçîíàíñû â ãàìèëüòîíîâîé ìåõàíèêå. Èæåâñê: Èçä-âî Óäìóðäñêîãî ãîñ. óí-òà, 1995. 432 ñ.196[8] Ã. À. Êðàñèíñêèé.
Êâàçèïåðèîäè÷åñêèå è ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ // Âñá.: Ìàëûå ïëàíåòû. Ïîä ðåä. Í. Ñ. Ñàìîéëîâîé-ßõîíòîâîé. Ì.: Íàóêà,1973, ãë. VII.[9] Å. À. Êóäðÿâöåâà, Í. Í. Íåõîðîøåâ. Îöåíêà ÷èñëà âûæèâàþùèõ ïðèâîçìóùåíèè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì // Ñîâìåñòíûå çàñåäàíèÿ ñåìèíàðà èì. È.
Ã. Ïåòðîâñêîãî è Ìîñê. ìàòåì. îáùåñòâà(äåâÿòíàäöàòàÿ ñåññèÿ, 20-24 ÿíâàðÿ 1998 ã.) ÓÌÍ, 1998. Ò. 53, âûï. 4,ñ. 206-207.[10] Å. À. Êóäðÿâöåâà. Ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ïëàíåòíîé ñèñòåìû ñ äâîéíûìè ïëàíåòàìè. Îáîáù¼ííàÿ çàäà÷à Õèëëà // Ðóêîïèñü äåïîíèðîâàíàâ ÂÈÍÈÒÈ, â äåêàáðå 1998 ã., N 3727-Â98.[11] Äæ. Ìèëíîð. Òåîðèÿ Ìîðñà // Ì.: Íàóêà, 1961.[12] Â. Í. Òõàé.
Ñèììåòðè÷íûå ïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû çàäà÷è ìíîãèõ òåë.Ðåçîíàíñíîñòü è ïàðàä ïëàíåò // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà,1995, ò. 59, âûï. 3, ñ. 355-365.[13] À. Ò. Ôîìåíêî, Ä. Á. Ôóêñ. Êóðñ ãîìîòîïè÷åñêîé òîïîëîãèè / Ì.: Íàóêà, 1989.[14] M. Bottkol. Bifurcation of periodic orbits on manifolds, and hamiltoniansystems // Bull. Amer. Math. Soc., 1977, v. 83, p. 1060-1062.[15] M.
Chaperon. Une idee du type geodesique brisee pour les systemHamiltoniens // C. R. Ac. Sci. Paris, Ser. 1, Math., 1984, v. 298, p. 293-296.[16] C. C. Conley, E. Zehnder. The Birkho-Lewis xed point theorem and aconjecture of V. I. Arnold // Invent. Math., 1983, v. 73, p. 33-49.[17] A.
Floer. Proof of the Arnold conjecture for surfaces and generalizationsfor certain Kahler manifolds // Duke Math. J., 1986, v. 53, p. 1-32.[18] F. B. Fuller. An index of xed point type for periodic orbits // Amer. J.Math., 1967, v. 89, p. 133-148.[19] W. B. Gordon. On the relation between period and energy in periodicdynamical systems // J.
Math. Mach., 1969, v. 19, p. 111-114.[20] G. W. Hill. Researches in the lunar theory // Amer. J. Math., 1878. V. 1.P. 5-26; 129-147; 245-260.197[21] M. A. Krasnosel'skii. On special coverings of a nite dimentional sphere //Dokl. Akad. Nauk. S. S. S. R., 1955, v. 103, p. 961-964.[22] E. A. Kudryavtseva. Generalized geometric Poincare theorem for smallperturbations // Regular & Chaotic Dynamics, 1998, vol. 3, No. 2, p.
45-65.[23] G. Liu, G. Tian. Floer homology and Arnold conjecture // 1996, to appear.[24] J. Moser. Regularization of Kepler's problem and the averaging method ona manifold // Comm. on pure and appl. math., 1970, v. 23, p. 609-636.[25] J. Moser. Periodic orbits near an equilibrium and a theorem by AlanWeinstein // Comm. on pure and appl. math., 1976, v. 29, p. 727-747.[26] F. R. Moulton.
A class of periodic solutions of the problem of three bodieswith application to the lunar theory // Trans. Amer. Soc., 7, 537-577(1906).[27] K. Ono. On the Arnold conjecture for weakly monotone symplecticmanifolds // Invent. Math. 119 (1995).[28] H. Poincare. Methodes nouvelles de la mechanique celeste. V. 3, chap. 28.Paris: Gauthier Villars, 1899. Ðóññêèé ïåðåâîä: À. Ïóàíêàðå.
Íîâûå ìåòîäû íåáåñíîé ìåõàíèêè // Â êí. Èçáð. òðóäû. Ò. I-II. Ì.: Íàóêà,1971, 771 ñ. 1972, c. 9-356.[29] G. Reeb. Sur certaines proprietes topologiques des trajectoires des systemesdynamiques // Acad. Roy. Sci. Lett. et Beaux-Arts de Belgique. Cl. desSci. Memoires in 8◦ , Ser. 2, 1952, v. 27, No. 29.[30] I. Satake. On a generalization of the notion of manifold // Proc. Nat.
Acad.Sci. U.S.A., 1956, v. 42, p. 359-363.[31] J. C. Sikorav. Points xes d'un symplectomorphisme homologue a l'identite// J. Di. Geom., 1982, v. 22, p. 49-79.[32] J. C. Sikorav. Problemes d'intersection et de points xes en geometrie hamiltonienne // Comm. Math. Helvet., 1987, v. 62, p. 62-73.[33] C. Viterbo. Symplectic topology as the geometry of generating functions //Math. Annalen, 1992, v. 292, p. 685-710.[34] A. Weinstein.
Lagrangian submanifolds and hamiltonian systems // Annalsof Math., 1973, v. 98, p. 377-410.198[35] A. Weinstein. Normal modes for nonlinear hamiltonian systems //Inventiones math., 1973, v. 20, p. 47-57.[36] A. Weinstein. Symplectic V-manifolds, periodic orbits of Hamiltoniansystems, and the volume of certain riemannian manifolds // Comm. onpure and appl. math., 1977, v. 30, p. 265-271.[37] A. Weinstein.
Bifurcations and Hamilton's principle // Math. Zeitschr.,1978, v. 159, p. 235-248.[38] A. Weinstein. On extending the Conley Zehnder xed point theorem toother manifolds // Proc. Symp. Pure Math., 1986, v. 45. / Providence, R.J.: AMS 1986.199.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
