Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Ïóñòü γ = γ(ω) ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è, îòâå÷àþùåå êðóãîâîìó îòíîñèòåëüíîïåðèîäè÷åñêîìó äâèæåíèþ çàäà÷è Êåïëåðà ñ ïàðàìåòðàìè τ̃ = τ̃ (ω̃), α̃ =ω̃τ̃ (ω̃). Íàëîæèì íà ýòó ñèñòåìó (íå îáÿçàòåëüíî ãàìèëüòîíîâî) âîçìóùåíèå ïîðÿäêà (ω̃ − ω)2 , ÿâëÿþùååñÿ τ̃ ïåðèîäè÷åñêèì ïî âðåìåíè. Òîãäà:1. Ïðè ëþáîì ω̃ , äîñòàòî÷íî áëèçêîì ê ω , ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîåîòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå γ̃ = γ̃(ω̃) âîçìóù¼ííîé çàäà÷è,ïåðåñåêàþùåå ñå÷åíèå σ â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè è èìåþùåå òåæå ïàðàìåòðû τ̃ , α̃.2. Ðåøåíèå γ̃ íåâûðîæäåíî ïî îòíîøåíèþ ê ïåðèîäó τ̃ è îòëè÷àåòñÿ îòðåøåíèÿ γ íå áîëåå, ÷åì íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà (ω̃ − ω)2 âîçìóùåíèÿçàäà÷è.13.
Äëÿ ëþáîãî öåëîãî n, ïîðÿäîê êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäèò |ω̃−ω|è äëÿêîòîðîãî nα̃ mod 2π îòäåëåíî îò íóëÿ áîëåå ÷åì íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà|ω̃ − ω|, ðåøåíèå γ̃ íåâûðîæäåíî ïî îòíîøåíèþ ê ïåðèîäó nτ̃ .Çàìå÷àíèå 25. Èç ñëåäñòâèé 17 è 18 ïîëó÷àåì, ÷òî âñåâîçìîæíûå ïåðè-îäè÷åñêèå ðåøåíèÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû îáðàçóþò îêðóæíîñòü. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñå÷åíèå Ïóàíêàðå σ ìîæíî âûáðàòü ãëàäêî çàâèñÿùèì îòòî÷êè íà òðàåêòîðèè γ . Îäíàêî ÷àñòî, íàïðèìåð, ïðè íàëè÷èè ó ñèñòåìûïîäõîäÿùèõ ñèììåòðèé, ýòè ðåøåíèÿ ôàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò. Áîëåå òî÷íî, àâòîíîìíîñòü ñèñòåìû èëè ñóùåñòâîâàíèå öèêëè÷åñêîé ïåðåìåííîé Mãàðàíòèðóþò ñîîòâåòñòâåííî, ÷òî âñå ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ191äðóã èç äðóãà ñäâèãîì íà÷àëà îòñ÷¼òà âðåìåíè èëè ïîâîðîòîì íà íåêîòîðûéóãîë.Çàìå÷àíèå 26.Èç ñëåäñòâèÿ 18 ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî åñëè âîçìóù¼ííàÿñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé, òî ðåøåíèå γ̃ íå òîëüêî íåâûðîæäåíî, íîè èçîýíåðãåòè÷åñêè íåâûðîæäåíî ïî îòíîøåíèþ ê ïåðèîäó τ̃ .Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèé 17, 18.
Ñëåäñòâèå 17 âûòåêàåò èç íåâûðîæ-äåííîñòè (è èçîýíåðãåòè÷åñêîé íåâûðîæäåííîñòè) ðåøåíèÿ γ ïðè α 6= 2πk ,k ∈ ZZ.Äîêàæåì, ÷òî èç âòîðîé ÷àñòè ïóíêòà 2 ñëåäñòâèÿ 18 ñëåäóåò åãî ïåðâàÿ÷àñòü è ïóíêò 3. Áîëåå òîãî, ìû äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî n, ïîðÿäîê1êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäèò |ω̃−ω|, è äëÿ êîòîðîãî âåëè÷èíà mink∈ZZ |nα̃ − 2πk|îòäåëåíà îò íóëÿ âåëè÷èíîé áîëüøåé, ÷åì ïîðÿäêà |ω̃−ω|, ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå γ̃ ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì ïî îòíîøåíèþ ê ïåðèîäó nτ̃ , è èçîýíåðãåòè÷åñêè íåâûðîæäåííûì, åñëè âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé.  ñàìîì äåëå, òàê êàê âîçìóùåíèå èìååò ïîðÿäîê (ω̃−ω)2 è, ñîãëàñíîïóíêòó 2, ðåøåíèå γ̃ îòëè÷àåòñÿ îò γ íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà (ω̃ − ω)2 , òî îïåðàòîð ìîíîäðîìèè Ã, îòâå÷àþùèé ðåøåíèþ γ̃ , îòëè÷àåòñÿ îò îïåðàòîðà A,îòâå÷àþùåãî êðóãîâîìó äâèæåíèþ çàäà÷è Êåïëåðà, íà âåëè÷èíó òîãî æåïîðÿäêà (ω̃ − ω)2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð Ãn îòëè÷àåòñÿ îò An íàñêîëü óãîäíî ìàëóþ âåëè÷èíó (â äåéñòâèòåëüíîñòè íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà|ω̃ − ω|).
Äàëåå, èç ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà A ëåãêî íàéòè åãî ñòåïåíü An . Àèìåííî, ýòî áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ñîñòîÿùàÿ èç æîðäàíîâîé êëåòêè è ìàòðèöû ïîâîðîòà íà óãîë nα̃. Âû÷èòàÿ èç ýòîé ìàòðèöû åäèíè÷íóþìàòðèöó, ïîëó÷àåì, ÷òî ÿäðî ïîëó÷åííîãî è ëþáîãî |ω̃ −ω|áëèçêîãî ê íåìóîïåðàòîðà îäíîìåðíî.  ÷àñòíîñòè, ÿäðî îïåðàòîðà Ãn − I îäíîìåðíî, ÷òîäîêàçûâàåò íåâûðîæäåííîñòü ðåøåíèÿ γ̃ ïî îòíîøåíèþ ê ïåðèîäó nτ̃ .Äîêàæåì ïóíêòû 1, 2 ñëåäñòâèÿ 18. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì óñðåäíåíèÿ.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ïðè ω̃ = ω , ò.å.
çàäà÷ó Êåïëåðà. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òîçàäà÷à Êåïëåðà ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìîé â îáëàñòè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé èíòåãðàëà ýíåðãèè, ò.å. âñå å¼ ðåøåíèÿ â óêàçàííîé îáëàñòèÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ñ ïåðèîäîì τ , ÿâëÿþùèìñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé âôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî êàæäàÿ èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü P = Phçàäà÷è Êåïëåðà ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì ìíîæåñòâîì, çàïîëíåííûì τ ïåðèîäè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè, ñì.
îïðåäåëåíèå èç 2.1 (èçîýíåðãåòè÷åñêàÿíåâûðîæäåííîñòü ýòîé ïîâåðõíîñòè âûïîëíåíà â ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ñèñòåìû).  ñàìîì äåëå, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 11 (ñì. òàêæå [25] èëè [22]),èç ïåðèîäè÷íîñòè ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî ïåðèîä τ ðåøåíèé ïîñòîÿíåí íàêàæäîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Ph è ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò çíà÷åíèÿ ýíåðãèè h. Áîëåå òîãî, ôóíêöèÿ ïåðèîäà èìååò âèä τ (h) = I 0 (h), ãäå192I = I(h) ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿ äàííîé ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìû.
Ïîñêîëüêó â îáëàñòè êðóãîâûõ äâèæåíèé ïåðåìåííàÿ I ñîâïàäàåò ñ èíòåãðàëîì êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M , òî èç ÿâíîãî âèäà ãàìèëüòîíèàíà â ýòîé îáëàñòè(ñì. ëåììó 20 (â)) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ I(h) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé, è ïîýòîìóôóíêöèÿ τ (h) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé, è å¼ ïðîèçâîäíàÿ íèãäå íå îáðàùàåòñÿâ íîëü. Îòñþäà ëåãêî ñëåäóåò íåâûðîæäåííîñòü èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Ph (ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè ìèíèìàëüíîãî ïåðèîäà τ ).Ðàññìîòðèì òåïåðü îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî âîçìóù¼ííûõ ñèñòåì, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà ω̃ . Ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíû ïîðÿäêà (ω̃ −ω)2 , âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñ ãàìèëüòîíèàíîì H −ω̃M . Íàéä¼ì óñðåäí¼ííîå âîçìóùåíèå ïîñëåäíåé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû èïîêàæåì, ÷òî òðàåêòîðèÿ γ ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì ìíîæåñòâîì åãî íóëåé.
Âîçìóùåíèå M ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìûè ïîýòîìó ïîñòîÿííî íà êàæäîé å¼ òðàåêòîðèè. Çíà÷èò, óñðåäíåíèå âîçìóùåíèÿ íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Ph ðàâíî ñàìîìó M . Äàëåå,ñîãëàñíî ëåììå 20 (á), òðàåêòîðèÿ γ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì îãðàíè÷åíèÿ ôóíêöèè M íà Ph . Çíà÷èò, ñîãëàñíî ìåòîäó óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè (òî÷íåå, àíàëîãó òåîðåìû 6 äëÿ íåàâòîíîìíûõτ ïåðèîäè÷åñêèõ ñèñòåì), âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííóþ τ̃ ïåðèîäè÷åñêóþ òðàåêòîðèþ γ̃ , áëèçêóþ ê γ è ïåðåñåêàþùóþ ñå÷åíèå σ âíóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðè ýòîì ãëàâíàÿ (ãàìèëüòîíîâà) ÷àñòü âîçìóùåíèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ýòó òðàåêòîðèþ, ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíûïîðÿäêà (ω̃ − ω)2 .
Ïóíêò 1 ñëåäñòâèÿ 18 äîêàçàí. Êðîìå òîãî, äîêàçàíà âòîðàÿ ÷àñòü ïóíêòà 2.Ñëåäñòâèå 18 ïîëíîñòüþ äîêàçàíî.Èç ñëåäñòâèÿ 18 ïðè k = 1 ïîëó÷àåì ëåììó 17 î ïðåäåëüíîé çàäà÷åÕèëëà.Çàìå÷àíèå 27.Îòìåòèì, ÷òî ïðèâåä¼ííîå äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ Õèëëà γ̃ ìîæíî âèäîèçìåíèòü, òàê ÷òîáûîíî îïèðàëîñü íà ìåòîä óñðåäíåíèÿ äëÿ àâòîíîìíûõ ñèñòåì.  ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì âñþ ïðåäåëüíóþ çàäà÷ó Õèëëà (96), à íå òîëüêî å¼ âòîðóþ÷àñòü, îòíîñÿùóþñÿ ê ñïóòíèêó. Òîãäà ïðè íóëåâîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðàâîçìóùåíèÿ ïåðâàÿ ïîëîâèíà óðàâíåíèé ñèñòåìû èìååò â ïðàâûõ ÷àñòÿõîäíè íóëè, à âòîðàÿ å¼ ÷àñòü ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé Êåïëåðà äëÿ ñïóòíèêàñ ãàìèëüòîíèàíîì Hy .
Èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ãëàâíàÿ ÷àñòü âîçìóùåíèÿ èìååò ïîðÿäîê ω (ó ïåðâîé ïîëîâèíû óðàâíåíèé), è ñ òî÷íîñòüþ äîâåëè÷èíû ïîðÿäêà ω 2 âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ïî îòíîøåíèþ ê ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðå dξξ ∧ dx + dηη ∧ dy, ñ ãàìèëüòîíèàíîìHy + ωHx − ωM . Çäåñü Hx ãàìèëüòîíèàí çàäà÷è Êåïëåðà äëÿ ïëàíåòû,M = Mx + My ïîëíûé èíòåãðàë êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà. ßñíî, ÷òî ãëàâ193íàÿ ÷àñòü Hx − Mx − My âîçìóùåíèÿ ñèñòåìû ïîñòîÿííà íà òðàåêòîðèÿõíåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, è ïîýòîìó å¼ óñðåäíåíèå ïî ïåðèîäè÷åñêèì ðåøåíèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà ïîâåðõíîñòè P = Hy−1 (h) â òî÷íîñòè ðàâíîå¼ îãðàíè÷åíèþ íà ïîâåðõíîñòü P .
Ñîãëàñíî ïóíêòàì à), á) ëåììû 20, êðèòè÷åñêèå òî÷êè ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ îáðàçóþò áîòòîâñêèé äâóìåðíûé òîð γ0 ,îòâå÷àþùèé êðóãîâîìó äâèæåíèþ ñïóòíèêà ñ äàííûì çíà÷åíèåì ýíåðãèèh è êðóãîâîìó äâèæåíèþ ïëàíåòû ñ åäèíè÷íîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ. Çíà÷èò,ïî ìåòîäó óñðåäíåíèÿ, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèåγω ïðåäåëüíîé çàäà÷è Õèëëà, ãëàäêî çàâèñÿùåå îò ω è ñîâïàäàþùåå ñ γ0ïðè ω = 0.Îòìåòèì, ÷òî ìåòîä óñðåäíåíèÿ îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àè, àíàëîãè÷íûå âîçíèêàþùåìó ïðè èçó÷åíèè ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû: êîãäà íåâîçìóù¼ííàÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà âûðîæäåíà.
Îäíàêî èç êîíêðåòíîãî âèäà âîçìóùåíèÿ â ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìå ñëåäóåò, ÷òî óñðåäí¼ííîåâîçìóùåíèå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé íà ðàññìàòðèâàåìîì N ìåðíîì òîðå, èòåì ñàìûì íå èìååò áîòòîâñêèõ êðèòè÷åñêèõ ïîäìíîæåñòâ. Ïîýòîìó òåîðåìû, àíàëîãè÷íûå òåîðåìå 7, íå ìîãóò ãàðàíòèðîâàòü ñòðóêòóðíóþ óñòîé÷èâîñòü ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû.
Ìîæíîëèøü óòâåðæäàòü ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû 11 (Â).3.5 Îáîáùåíèÿ. Äâîéíûå ïëàíåòûÏîêàæåì, ÷òî ñïðàâåäëèâû îáîáùåíèÿ ëåììû 15 è òåîðåìû 11, óæå óïîìÿíóòûå âûøå â çàìå÷àíèÿõ 15 è 17.3.5.1 Ñëó÷àé èíäèâèäóàëüíûõ ìàëûõ ïàðàìåòðîâÊàæäîé ïëàíåòå ñîïîñòàâèì ìàëûé ïàðàìåòð µi ñóììàðíóþ ìàññó ýòîéïëàíåòû è âñåõ å¼ ñïóòíèêîâ, à êàæäîìó ñïóòíèêó ñîïîñòàâèì ìàëûé ïàðàìåòð νij îòíîøåíèå ìàññû ýòîãî ñïóòíèêà ê ñîîòâåòñòâóþùåé ñóììàðíîéìàññå µi , 1 ≤ j ≤ ni , 1 ≤ i ≤ n.Òåîðåìà 13. Óòâåðæäåíèÿ òåîðåì 11 è 12 îñòàíóòñÿ âåðíûìè, åñëèâìåñòî ìàëîãî ïàðàìåòðà ν ââåñòè íàáîð N − n èíäèâèäóàëüíûõ ìàëûõïàðàìåòðîâ νij , îòâå÷àþùèõ âñåì ñïóòíèêàì, 1 ≤ j ≤ ni , 1 ≤ i ≤ n.Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ïåðåõîä îò ïàðàìåòðà ν ê èíäèâèäóàëümíûì ìàëûì ïàðàìåòðàì νij ýêâèâàëåíòåí òîìó, ÷òî âåëè÷èíû miji ïåðåñòàþò áûòü ôèêñèðîâàííûìè, îñòàâàÿñü ëèøü îãðàíè÷åííûìè.
 ÷àñòíîñòè,íåêîòîðûå èç íèõ ìîãóò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. Ïîýòîìó òåîðåìà 13 â äåéñòâèòåëüíîñòè óòâåðæäàåò, ÷òî â òàêîé áîëåå îáùåé ïîñòàíîâêå çàäà÷è òåîðåìû11, 12 îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâû.194Èòàê, ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà âñå âåëè÷èíû mi ôèêñèðîâàíû, à âåëèm÷èíû miji îãðàíè÷åíû.Èç óðàâíåíèé (98) âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû âèäíî, ÷òî îñíîâíàÿ òðóäíîñòümâîçíèêàåò, êîãäà êàêîå-íèáóäü miji ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ïðèìåíèì ñëåäóþùóþðåãóëÿðèçàöèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (98): ñäåëàåì èíäèâèäóàëüíóþ çàìåíóηèìïóëüñîâ, ïåðåéäÿ ê íîâûì ôàçîâûì èìïóëüñàì ñïóòíèêîâ m̃ijij .Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìè ôàêòàìè:1.
Ôóíêöèè F̃i è F̃ii0 ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè (è äàæå àíàëèòè÷åñêèìè) ïîmâñåì ñâîèì ïåðåìåííûì è ïàðàìåòðàì mi , miji .2. Ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé F̃i è F̃ii0 ïî ïåðåìåííûì yij èìåþò ïîðÿäîêmijm(ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè îáðàùåíèè â íîëü ïàðàìåòðà mijimiôóíêöèè F̃i è F̃ii0 íå çàâèñÿò îò ïåðåìåííîé yij ).Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè óêàçàííîé çàìåíå ïåðåìåííûõ âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìàóðàâíåíèé (98) ïåðåéä¼ò â ñèñòåìó òàêîãî æå âèäà, à çíà÷èò, îñíîâíàÿ ëåììà 15 î íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìå îñòàíåòñÿ âåðíà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
