Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Òîãäà â ëþáîé òî÷êå ýòîé îêðóæíîñòè, îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò ϕ mod 2π ,I = M , q , p èç ëåììû 20, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ìàòðè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â ýòîé òî÷êå:1) Ëèíåàðèçàöèÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H − ωM çàäà¼òñÿ ìàòðèöåé âèäà−30 mr002 0000 B=. 000ω/I 0 0 −ωI 02) Ðàññìîòðèì ïîòîê ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H −ωM , ò.å.
çàäà÷èÊåïëåðà îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè, âðàùàþùåéñÿ âîêðóã öåíòðà ñ óãëîâîéñêîðîñòüþ ω . Ëèíåàðèçàöèÿ At = etB ýòîãî ïîòîêà çàäà¼òñÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ìàòðèöåé âèäàAt = etB = 1000−3tmr21000000cos(ωt)sin(ωt)/I−I sin(ωt) cos(ωt).3) Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîãî îïåðàòîðà A = At = etB ,ò.å. êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q(x) = ω 2 (Ax, x), çàäà¼òñÿ ìàòðèöåé âèäàQ=000003tmr2000000−I sin(ωt)00− sin(ωt)/I.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 20. Ïåðâàÿ ÷àñòü ïóíêòà à) ýòîé ëåììû î÷åâèä-íà. Òàê êàê ýíåðãèÿ h ìîíîòîííî çàâèñèò îò óãëîâîé ñêîðîñòè ω (ñì.
âûøå),òî èç ïåðâîé ÷àñòè ïóíêòà à) ñðàçó ïîëó÷àåì ïåðâóþ ÷àñòü ïóíêòà á).Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü ïóíêòà á). Ïðè ïåðåõîäå ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì ψ mod 2π , r > 0 è ñîîòâåòñòâóþùèì ïîëÿðíûì èìïóëüñàì pψ = M , prãàìèëüòîíèàí (131) çàäà÷è Êåïëåðà ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:p2r + p2ψ /r2 kmH=−.2mr187Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî γ = γω êðèòè÷åñêèõ òî÷åêôóíêöèè H − ωM çàäà¼òñÿ óñëîâèÿìèpψpr = 0, ω =, p2ψ = km2 r.(134)2mrÇàôèêñèðóåì çíà÷åíèå M , è ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå ãàìèëüòîíèàíà H íàïîëó÷åííóþ ãèïåðïîâåðõíîñòü. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî γ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèììíîæåñòâîì ìèíèìóìîâ ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, íåïîñðåäñòâåííûé ïîäñ÷¼ò ïîêàçûâàåò, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ôóíêöèè H −ωM â ëþáîéòî÷êå îêðóæíîñòè γ èìååò âèäδp2ψ4ω12δ (H − ωM )|γ =−δpψ δr + δp2r + mω 2 δr2 .2mrrmÏîëàãàÿ pψ = M = const, ψ = const, ïîëó÷àåì ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Òåïåðü ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì îáùèì ôàêòîì, à èìåííî, ÷òî áîòòîâñêîå êðèòè÷åñêîåïîäìíîãîîáðàçèå îãðàíè÷åíèÿ îäíîé ôóíêöèè F íà ðåãóëÿðíîå ìíîæåñòâîóðîâíÿ äðóãîé ôóíêöèè G ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì êðèòè÷åñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì îãðàíè÷åíèÿ âòîðîé ôóíêöèè G íà ðåãóëÿðíîå ìíîæåñòâî óðîâíÿïåðâîé ôóíêöèè F , ïðè÷¼ì èíäåêñû ýòîãî áîòòîâñêîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ âýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ äàþò â ñóììå ïîëíóþ ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ.
Îòñþäà ïîëó÷àåì âòîðóþ ÷àñòü ïóíêòà á).Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü ïóíêòà à), ò.å. áîòòîâîñòü îêðóæíîñòè γ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè H − ωM . Íåòðóäíî ïîñòðîèòü â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâåëþáîé òî÷êè îêðóæíîñòè γ íîâûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû δϕ, δI , δq , δp,îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ãàìèëüòîíèàíà H − ωM ïðèìåò äèàãîíàëüíûé âèä. À èìåííî, ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèåêîîðäèíàò â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå:2rδr 2δI = δpψ , δp = rδpr , δϕ = δψ − δpr , δq =− δpψ .IrIÒî åñòü, êîîðäèíàòû I , p ýòî ÷èñòûå èìïóëüñû: I ýòî óãëîâîé èìïóëüñ(êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò) ïëàíåòû, p ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ðàäèàëüíûé èìïóëüñ, à êîíôèãóðàöèîííûå ïåðåìåííûå δϕ mod 2π , δq ïîëó÷àþòñÿèç êîíôèãóðàöèîííûõ êîîðäèíàò δψ mod 2π, δr ïðèáàâëåíèåì èìïóëüñîâ.Ïðè óêàçàííîé çàìåíå êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ôóíêöèè H − ωM â ëþáîé òî÷êå èç (134) ïðèíèìàåò äèàãîíàëüíûé âèä (133).
Îòñþäà ìû çàêëþ÷àåì, ÷òîîêðóæíîñòü γ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì èíäåêñà 1 äëÿ ôóíêöèè H − ωM , ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ïóíêòà à).Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîñòðîåííîå íàìè êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæíî ïðîäîëæèòü äî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (132) ñàìîãî ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà (èç êîòîðîãî âûêèíóòà ãèïåðïîâåðõíîñòü pψ = M = 0 è ïëîñêîñòü ñòîëêíîâåíèÿ r = 0). Íåïîñðåäñòâåííî2188ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò (132) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿêàíîíè÷åñêèì, îòîáðàæàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íî îáëàñòü r > 0, pψ = M 6= 0íà îáëàñòü I = M 6= 0, è ÷òî ãàìèëüòîíèàí H ïðè ýòîì ïðåîáðàçîâàíèèïðèíèìàåò âèä, óêàçàííûé â ëåììå 20.Äàëåå, çàìåòèì, ÷òî îêðóæíîñòè (134) ïðè âñåâîçìîæíûõ ω 6= 0 çàìåòàþò ïîâåðõíîñòü {q = p = 0, I 6= 0}.
Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî â ëþáîé òî÷êå ýòîé ïîâåðõíîñòè çàìåíà êîîðäèíàò â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâåñîâïàäàåò ñ ïîñòðîåííûì âûøå ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Ýòî çàâåðøàåòäîêàçàòåëüñòâî ïóíêòà â) ëåììû 20.Íàêîíåö, îáîçíà÷èì ÷åðåç h îãðàíè÷åíèå ôóíêöèè H íà ðàññìàòðèâàåìóþ èíâàðèàíòíóþ ñèìïëåêòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü q = p = 0, ÿâëÿþùóþñÿíåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì äâóõ ïëîñêèõ êîëåö.
ßñíî, ÷òî h = h(I). Ïðÿìàÿïîäñòàíîâêà çíà÷åíèé q = p = 0 â ãàìèëüòîíèàí H äà¼ò íóæíûé âèä ãà2 3ìèëüòîíèàíà: h = − k2Im2 . Ðàâåíñòâî dh = ωdI î÷åâèäíî, òàê êàê ìíîæåñòâîq = p = 0 îáðàçîâàíî îêðóæíîñòÿìè (134) ïðè âñåâîçìîæíûõ ω 6= 0, àêàæäàÿ èç ýòèõ îêðóæíîñòåé, ïî äîêàçàííîìó, ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ôóíêöèè H − ωI .Ëåììà 20, à çíà÷èò, è ëåììà 16, ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.3.4.3 Ñóùåñòâîâàíèå ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé çàäà÷è ÕèëëàÇäåñü ìû äîêàæåì ëåììó 17 î ïðåäåëüíîé çàäà÷å Õèëëà.Èç ñëåäñòâèÿ 16 ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð ìîíîäðîìèè çàäà÷è Êåïëåðà, ò.å.tëèíåéíàÿ ÷àñòü ôàçîâîãî ïîòîêà gH−ωMñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H −ωMçà âðåìÿ t = τ â ðàâíîâåñíîì ðåøåíèè γω çàäà¼òñÿ ìàòðèöåé âèäàA = eτ B = 1000−3τmr21000000cos |α| sin |α|− sin |α| cos |α|îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò δϕ, δI, δ q̃, δ p̃ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå, qãäå α = ωτ .
Çäåñü ϕ mod 2π, I, q, p êîîðäèíàòû (132)èç ëåììû 16, δ q̃ = |I|δq , δ p̃ = √1 δp êàíîíè÷åñêàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ.|I|Ïîÿñíèì çäåñü, ïî÷åìó ïðè óãëå α â ôîðìóëå äëÿ ìàòðèöû A âîçíèêçíàê ìîäóëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω è èíòåãðàë ïëîùàäåé I = [q, p] èìåþò îäèí çíàê, òî ωI = |ωI| > 0. Çíà÷èò, â ïðàâîì íèæíåì áëîêå ìàòðèöû B èç ñëåäñòâèÿ 16 îáà íåíóëåâûõ ñîìíîæèòåëÿ èìåþòôèêñèðîâàííûå çíàêè, íå çàâèñÿùèå îò çíàêà ω . Òàêèì îáðàçîì, ïðè ω > 0ïðàâûé íèæíèé áëîê ìàòðèöû A îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà óãîë −α, à ïðè ω < 0 ïîâîðîòîì íà óãîë α. Çíàêè îñòàëüíûõíåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ ìàòðèöû A íå çàâèñÿò îò çíàêà ω .189Èòàê, îïåðàòîð ìîíîäðîìèè äëÿ ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ γ çàäà÷èÊåïëåðà âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò çàäà¼òñÿ ìàòðèöåé A.
Ðàññìîòðèì äâå ìàòðèöû, ïîëó÷åííûå èç A ñëåäóþùèì îáðàçîì.1) Ðàññìîòðèì îïåðàòîð A − I , ÿâëÿþùèéñÿ ðàçíîñòüþ îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè A è òîæäåñòâåííîãî îïåðàòîðà I . ßñíî, ÷òî êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèè γ ëåæèò â ÿäðå ýòîãî îïåðàòîðà:Tm γ ⊂ ker (A − I).
Íàïîìíèì, ÷òî â òåðìèíîëîãèè òåîðåìû 5 ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå γ íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííûì (ïî îòíîøåíèþ ê ïåðèîäó τ ),åñëè ýòî âêëþ÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì.2) Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìàòðèöó, ïîëó÷åííóþ îêàéìëåíèåì ìàòðèöûîïåðàòîðà A − I :A−I0 ω 0 0ω0000=00000−3τmr2000ω0000cos |α| − 1sin |α|− sin |α| cos |α| − 100ω0000.Åñëè ÿäðî ýòîé ìàòðèöû îäíîìåðíî, èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, ωτ 6= 0 è íåâûðîæäåí å¼ áëîêÃcos |α| − 1sin |α|− sin |α| cos |α| − 1!α= 2 tg | |2Ã− sin | α2 | cos | α2 |− cos | α2 | − sin | α2 |!,òî â òåðìèíîëîãèè òåîðåìû 1 ðåøåíèå γ íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííûì (ïîîòíîøåíèþ ê ïåðèîäó τ ).×òîáû íå ïóòàòü ýòè äâå íåâûðîæäåííîñòè, ìû áóäåì âî âòîðîì ñëó÷àå ãîâîðèòü, ÷òî ðåøåíèå γ èçîýíåðãåòè÷åñêè íåâûðîæäåíî.
Àíàëîãè÷íîîïðåäåëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûå è èçîýíåðãåòè÷åñêè íåâûðîæäåííûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè, çàïîëíåííûå òðàåêòîðèÿìè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé ïðîèçâîëüíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.Èç ÿâíîãî âèäà ìàòðèöû A ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷åóñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè è èçîýíåðãåòè÷åñêîé íåâûðîæäåííîñòè ýêâèâàëåíòíû è èìåþò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà τ 6= 0, α 6= 2πk , k ∈ ZZ.Òàêèì îáðàçîì, èç ñëåäñòâèÿ 16, ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ,ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñëåäñòâèÿ.Ñëåäñòâèå 17.
Ïóñòü H ãàìèëüòîíèàí (131) ïëîñêîé çàäà÷è Êåïëå-ðà, M èíòåãðàë êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ýòîé çàäà÷è. Ïóñòü γ ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ êðóãîâîãî äâèæåíèÿ çàäà÷è Êåïëåðà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Ïóñòü σ ñå÷åíèå Ïóàíêàðå â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå çàäà÷è,òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùåå òðàåêòîðèþ γ â ïðîèçâîëüíî çàäàííîé åãî190òî÷êå.
Ïóñòü τ > 0, α = ωτ 6= 2πk , k ∈ ZZ. Ðàññìîòðèì (íå îáÿçàòåëüíî ãàìèëüòîíîâó) çàäà÷ó, τ ïåðèîäè÷åñêè çàâèñÿùóþ îò âðåìåíè èïîëó÷åííóþ ìàëûì âîçìóùåíèåì ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H − ωM .Òîãäà ïðè ëþáîì äîñòàòî÷íî ìàëîì âîçìóùåíèè ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå τ ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå γ̃ âîçìóù¼ííîé çàäà÷è, áëèçêîå ê ðåøåíèþ γ ,ïåðåñåêàþùåå ñå÷åíèå σ â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè.Ýòî óòâåðæäåíèå ëåãêî ñëåäóåò èç íåâûðîæäåííîñòè ðåøåíèÿ γ ïðèα 6= 2πk , k ∈ ZZ (ñì. âûøå), è äîêàçûâàåòñÿ ïðè ïîìîùè òåîðåìû î íåÿâíûõôóíêöèÿõ.
Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âîçìóùåíèå ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì, ðåøåíèå γ̃ áóäåò òàêæå èçîýíåðãåòè÷åñêè íåâûðîæäåííûì.Èìååòñÿ ñëåäóþùèé àíàëîã ñëåäñòâèÿ 17 â âûðîæäåííîì ñëó÷àå, ò.å.ïðè α = 2πk , k ∈ ZZ (íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ñëó÷àé k = 1).Ñëåäñòâèå 18. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ ñëåäñòâèÿ 17, α = 2πk , k ∈ ZZ. Ðàñ-ñìîòðèì îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî íåâîçìóù¼ííûõ çàäà÷ ñ ãàìèëüòîíèàíîì H − ω̃M , çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà ω̃ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
