Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé ïëàíåò-íîé ñèñòåìû áåç ñïóòíèêîâ. Çàìåòèì, ÷òî ïåðåõîä îò êîîðäèíàò M ê êîîðäèíàòàì x ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ïóàíêàðå L è ãîìîòåòèè182√M̃i = Rxi , 1 ≤ i ≤ N . Ïîëàãàÿ p̃i = µξξi / R, 1 ≤ i ≤ N , p̃0 = 0, ïîëó÷àåì èçôîðìóëû (128) òðåáóåìîå âûðàæåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè T ñ òî÷íîñòüþPPξi2äî íóæíîãî ìíîæèòåëÿ. À èìåííî, T R/µ ðàâíî Nξi , ξj i.1≤i<j≤N hξi=1 2m̃i +µÏîýòîìó, â ÷àñòíîì ñëó÷àå ïëàíåòíîé ñèñòåìû áåç ñïóòíèêîâ, ãàìèëüòîíèàí H äåéñòâèòåëüíî ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ Rµ (T + U ) ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû íà êîýôôèöèåíò Rµ .
Îòìåòèì, ÷òî õîòÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà√dp̃ ∧ dM̃ = µ Rdξξ ∧ dx îòëè÷àåòñÿ îò ñòàíäàðòíîé dξξ ∧ dx, íî ëèøü ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì, ÷òî ìîæíî êîìïåíñèðîâàòü èçìåíåíèåì ìàñøòàáàâðåìåíè. îáùåì ñëó÷àå ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïåðåõîäà îò ðàäèóñ-âåêòîðîâ (M0 , M1 , . . .
, MN ) ê êîîðäèíàòàì xi , yij íóæíîïðèìåíèòü ñëåäóþùèå òðè ïðåîáðàçîâàíèÿ. À èìåííî, ñíà÷àëà íóæíî ïðèìåíèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ïóàíêàðå L êî âñåé ñèñòåìå (ñì. âûøå), çàòåì íóæíî ïðèìåíèòü ïðåîáðàçîâàíèå L ê êàæäîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìå M̃ij , 0 ≤j ≤ ni , à ïîòîì íóæíî ñäåëàòü íîðìèðóþùóþ ãîìîòåòèþ M̃˜i0 = C̃i = Rxi ,1 ≤ i ≤ n, M̃˜ = y , 0 ≤ j ≤ n . Äëÿ ïðîñòîòû ôîðìóë ìû äàëåå áóäåìijijiñ÷èòàòü, ÷òî ó âñåõ ïëàíåò åñòü ñïóòíèêè, ò.å.
âñå ni ïîëîæèòåëüíû.Øàã 1. Ïåðâîå ïðèìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ L ê èñõîäíûì êîíôèãóðàöèîííûì ïåðåìåííûì äà¼ò, ñîãëàñíî (127),T =Nnp̃20 Xp̃2i1p̃2 X1++ (p̃1 + . . . + p̃N )2 = 0 +T̃i + (P̃1 + . . . + P̃n )2 ,2c̄0 i=1 2ci 22c̄0 i=12ãäå T̃i =p̃2i2ci+Pnip̃2ijj=1 2cij=p̃2i2µmi+Pnip̃2ijj=1 2µνmij êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ iPnij=1 p̃ij èìïóëüñ iòîé ñïóòíèêîâîéòîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû, P̃i = p̃i +ñèñòåìû.Øàã 2.
Ïîëîæèì p̃0 = 0 è ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå L ïî îòäåëüíîñòèê êàæäîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìå.  ðåçóëüòàòå ïî ôîðìóëå (128) èìååì T̃i =˜2P iPPni˜2p̃p̃iji˜ ˜+ nj=1+ 11≤j<j 0 ≤n hp̃ij , p̃ij 0 i, ãäå m̄i = mi + νj=1 mij , m̃ij =2µm̄imij mi.mi +νmij2µν m̃ijµmii˜ i.Ïî ôîðìóëå (129) èìååì P̃i = p̃Îòñþäà, ñ ó÷¼òîì ïðåäûäóùåãî øàãà, ïîëó÷àåìnin˜ 2ij˜ ij , p̃˜ ij 0 i˜ 2iXXp̃hp̃p̃1 X˜ i )2 =+ (T =++p̃2µm̄2µνm̃µm20iijii=1j=1i=11≤j<j ≤ninXni˜ 2ij˜ ij 0 i˜ ij , p̃˜ 2iXXXp̃hp̃p̃˜ i0 i,˜ i , p̃+++hp̃2µm̃2µνm̃µm00iijii=1j=11≤j<j ≤ni1≤i<i ≤nnXãäå m̃i =m̄i,1+µm̄i1 ≤ i ≤ n.183Øàã 3.
Ñäåëàåì òåïåðü íîðìèðîâêó: ïîëîæèì ïðè 1 ≤ i ≤ n˜ = Rx ,M̃ii˜ =y ,M̃ijij˜ i = √µ ξi , p̃˜ ij = µ3/2 νηηij .p̃RÒîãäà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì: T =µnXi=1ξi2niXηij22µν+ µν+2m̃i Rmij=1 2m̃ij(130)Xhηηij , η i +ij 01≤j<j 0 ≤niµ2RXhξξi , ξi0 i.1≤i<i0 ≤nÑ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî µνωR = ε, ïðîèçâåäåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè T íàωR/µ ðàâíîniXηij2ενξ2ω i + ε+2m̃imii=1j=1 2m̃ijnXXhηηij , ηij 0 i + ωµ1≤j<j 0 ≤niXhξξi , ξi0 i,1≤i<i0 ≤n÷òî è òðåáîâàëîñü (ñì. (126), (99)).Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà, ñîãëàñíî (130),èìååò âèä˜ = µ√R X(dξξ ∧ dx + ε X dηη ∧ dy ),˜ ∧ dM̃dp ∧ dM = dp̃iiijijòàê êàê, íàïîìíèì, ε = νqnnii=1j=1µ.RÝòà ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà îòëè÷àåòñÿ√îò óêàçàííîé â ôîðìóëå (125) ëèøü ìíîæèòåëåì µ R.
Êàê íåîäíîêðàòíîîòìå÷àëîñü âûøå, íàëè÷èå ýòîãî ìíîæèòåëÿ ìîæíî êîìïåíñèðîâàòü èçìåíåíèåì ìàñøòàáà âðåìåíè. Óòâåðæäåíèå 14 äîêàçàíî.Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé ëåììû 15 î íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìå.3.4.2 Êðóãîâûå äâèæåíèÿ çàäà÷è Êåïëåðà (íåâûðîæäåííîñòü)Çäåñü áóäåò äîêàçàíà ëåììà 16 î çàäà÷å Êåïëåðà.Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ïëîñêóþ çàäà÷ó Êåïëåðà, çàäàâàåìóþ ñèñòåìîé óðàâíåíèéd2 qkq=−,dt2|q|3ãäå q ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè â ïëîñêîñòè.
 ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìàÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñ ãàìèëüòîíèàíîìkmp2−= T + U,H=2m|q|184(131)2pãäå T = 2m, U = − km êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû, p|q| ôàçîâûé èìïóëüñ òî÷êè. Äâèæåíèÿ çàäà÷è â îáëàñòè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè H ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè. Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî çàêîíàìÊåïëåðà, îðáèòà äâèæåíèÿ òî÷êè ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì, ó êîòîðîãî îäèí èçôîêóñîâ ïîìåù¼í â íà÷àëî êîîðäèíàò, ïðè÷¼ì äâèæåíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîåé îðáèòîé è íà÷àëüíûì ïîëîæåíèåì òî÷êè íà îðáèòå.Ïîâåðõíîñòü êðóãîâûõ äâèæåíèé â ïëîñêîé çàäà÷å Êåïëåðà. Ëèíåéíàÿ ÷àñòü îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïëîñêàÿçàäà÷à Êåïëåðà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî âñåõ ïîâîðîòîâ ïëîñêîñòè, òàê÷òî îíà èìååò ïåðâûé èíòåãðàë êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M = [q, p].
Îòìåòèì äâà ïðîñòûõ ñâîéñòâà êðóãîâûõ äâèæåíèé â çàäà÷å Êåïëåðà:Âî-ïåðâûõ, èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî r > 0 îäíîçíà÷íî (ñ òî÷íîñòüþ äî èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ) îïðåäåëåíî óäîâëåòâîðÿþùåå ñèñòåìå óðàâíåíèé êðóãîâîå äâèæåíèå òî÷êè ïî îêðóæíîñòèqðàäèóñà r.
Ïðè ýòîì óãëîâàÿ ñêîðîñòü ýòîãî äâèæåíèÿ ðàâíà ω = ± rk3 , àèýíåðãèÿ H è êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò M ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî h = − km2r√2M = mωr = ±m kr.  ÷àñòíîñòè, çíà÷åíèÿ h è M ìîíîòîííî (ïðè ω > 0èëè ω < 0) çàâèñÿò îò çíà÷åíèÿ ω è ïðèíèìàþò ëþáûå çíà÷åíèÿ â îáëàñòÿõh < 0 è M 6= 0 ñîîòâåòñòâåííî. Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ r, ω, h, M êðóãîâîãî äâèæåíèÿ ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé óêàçàííûìîáðàçîì.Âî-âòîðûõ, êðóãîâûì äâèæåíèÿì â òî÷íîñòè îòâå÷àþò ðàâíîâåñíûå, ò.å.ñòàöèîíàðíûå, ïîëîæåíèÿ òî÷êè ïî îòíîøåíèþ ê âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω .
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî α 6= 0 êðóãîâîåäâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèì ñ ïàðàìåòðàìè τ = ωα , α.Äðóãèìè ñëîâàìè, òàêîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ωα ïåðèîäè÷åñêèì îòíîñèòåëüíî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω (à òàêæå ñ)ω , ãäå k öåëîå ÷èñëî).ëþáîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ âèäà (1 + 2πkαÄëÿ ëþáîãî ω 6= 0 îáîçíà÷èì ÷åðåç γω ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ çàäà÷èÊåïëåðà, îòâå÷àþùóþ êðóãîâîìó äâèæåíèþ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Èíâàðèàíòíóþ äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü ∪ω6=0 γω â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, îáðàçîâàííóþ âñåìè ýòèìè òðàåêòîðèÿìè, íàçîâ¼ì ïîâåðõíîñòüþ êðóãîâûõäâèæåíèé. Ýòà ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé è äèôôåîìîðôíà äâóìåðíîìó öèëèíäðó.Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû íà èçîýíåðãåòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòüPh = H −1 (h) â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìà, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ óãëîâîéñêîðîñòüþ ω , ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñ ãàìèëüòîíèàíîì H − ωM .
Çíà÷èò,êðóãîâûì äâèæåíèÿì â òî÷íîñòè îòâå÷àþò ñòàöèîíàðíûå ïîëîæåíèÿ òàêîé185ñèñòåìû.Ëåììà 16 èç 3.2 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà 20. Ïóñòü H ãàìèëüòîíèàí (131) ïëîñêîé çàäà÷è Êåïëåðà,M èíòåãðàë êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëîω 6= 0. Òîãäà:à) Êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè H − ωM â òî÷íîñòè îòâå÷àþò êðóãîâîìó äâèæåíèþ γω çàäà÷è Êåïëåðà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω .
Ïðè ýòîìôóíêöèÿ H − ωM ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêîé, è ïî îòíîøåíèþ ê ýòîé ôóíêöèèèíäåêñ êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè γω ðàâåí 1.á) Ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê îãðàíè÷åíèÿ M |Ph èíòåãðàëà M íàèçîýíåðãåòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü Ph = H −1 (h) ñîâïàäàåò ñ îêðóæíîñòüþγω , îòâå÷àþùåé êðóãîâîìó äâèæåíèþ. Ôóíêöèÿ M |Ph ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêîé è äîñòèãàåò ìàêñèìóìà íà îêðóæíîñòè γω .â) Ðàññìîòðèì â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå çàäà÷è Êåïëåðà ñèñòåìó êîîðäèíàò ϕ mod 2π , I ≡ M , q , p âèäàI = pψ = M,p = rpr ,ϕ=ψ−2rpr,pψq = ln(km2 r),p2ψ(132)ãäå r, ψ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ, pr , pψ ñîîòâåòñòâóþùèå èìïóëüñû.
Òîãäà ýòè êîîðäèíàòû ÿâëÿþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè, èîòíîñèòåëüíî íèõ ïîâåðõíîñòü êðóãîâûõ äâèæåíèé ñîâïàäàåò ñ êîîðäèíàòíûì ñèìïëåêòè÷åñêèì ïîäïðîñòðàíñòâîì {q = p = 0}:∪ω6=0 γω = {q = p = 0}.Ïðè ýòîì, äëÿ ëþáîãî ω 6= 0, â ëþáîé òî÷êå îêðóæíîñòè γω êâàäðàòè÷íàÿ÷àñòü ôóíêöèè H −ωM èìååò äèàãîíàëüíûé âèä îòíîñèòåëüíî óêàçàííûõêîîðäèíàò:δ 2 (H − ωM )|γω = −3ω δp22δI+(+ Iδq 2 ).22mr2 I(133)Êðîìå òîãî, â óêàçàííûõ êîîðäèíàòàõ ãàìèëüòîíèàí H çàäà÷è Êåïëåðàíå çàâèñèò îò óãëîâîé ïåðåìåííîé ϕ mod 2π è èìååò âèäHp2 + I 21=− 2 q.2342qk m2I eI e ÷àñòíîñòè, îãðàíè÷åíèå H̄ ãàìèëüòîíèàíà H íà ïîâåðõíîñòü êðóãîâûõ2 3äâèæåíèé {q = p = 0} èìååò âèä H̄ = H̄(I) = − k2Im2 , è êàæäàÿ îêðóæíîñòü2 3γω íà ïîâåðõíîñòè {q = p = 0} çàäà¼òñÿ óðàâíåíèåì γω = { ddIH̄ ≡ k Im= ω}.3186Èç ïóíêòà â) ýòîé ëåììû ñðàçó ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âàæíîå ñëåäñòâèå,èç êîòîðîãî ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ëåììà 16.Ñëåäñòâèå 16. Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü γω , îòâå÷àþùóþ êðóãîâîìóäâèæåíèþ çàäà÷è Êåïëåðà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
