Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Òîãäàâáëèçè ýòîé îêðóæíîñòè ôóíêöèÿ F̃ èìååò ðîâíî äâå êðèòè÷åñêèå òî÷êè,íàõîäÿùèåñÿ âáëèçè òî÷åê mi− è mi+ . Îáå ýòè êðèòè÷åñêèå òî÷êè ÿâëÿþòñÿìîðñîâñêèìè ñ èíäåêñàìè ind F Ci è ind F Ci + 1 ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî N âñåõ áîòòîâñêèõ îêðóæíîñòåé Ci ôóíêöèè F ðàâíî ïîëîâèíå÷èñëà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ôóíêöèè Ìîðñà F̃ íà Λ. Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâàìPPÌîðñà, ïîñëåäíåå ÷èñëî íå ìåíüøå i βi (Λ), îòêóäà N ≥ 21 βi (Λ).Ýòî äîêàçûâàåò ñëåäñòâèå 2.161.1.3 Íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àèÎïðåäåëåíèå 3. Íàçîâ¼ì ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ñòðîãî íåâûðîæäåííûì, åñëè â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ êðàòíîñòü 1 â ñïåêòðå îïåðàòîðà dA(m) (ò.å. ðàçìåðíîñòü îòâå÷àþùåãî åäèíèöå êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà) ðàâíà dim B .Çàìå÷àíèå.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ñòðîãî íåâûðîæäåíî â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèå B ñèìïëåêòè÷íîîòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîé 2ôîðìû íà í¼ì, èíäóöèðîâàííîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû íà M . Çäåñü ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèå B ìû íàçûâàåì ñèìïëåêòè÷åñêèì îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîé 2ôîðìû íà í¼ì, åñëè îãðàíè÷åíèå èñõîäíîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω 2 íà ïåðåñå÷åíèå òðàíñâåðñàëèσ ñ ïîäìíîãîîáðàçèåì Λ ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé 2ôîðìîé.
 ÷àñòíîñòè,ðàçìåðíîñòü ñòðîãî íåâûðîæäåííîãî Λ âñåãäà íå÷¼òíà.Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî â òåîðåìå 1 ìû íå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèåΛ ñòðîãî íåâûðîæäåíî (â îòëè÷èå îò ðàáîò [14, 36]). Êðîìå òîãî, ìû íåíàêëàäûâàåì íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ñòðóêòóðó ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèÿ Bñ åñòåñòâåííîé 2ôîðìîé íà í¼ì, åãî ðàçìåðíîñòü èëè òîïîëîãèþ.  ÷àñòíîñòè, B ìîæåò íå ÿâëÿòüñÿ íè ñèìïëåêòè÷åñêèì, íè èçîòðîïíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì. Îíî ìîæåò èìåòü ëþáóþ ðàçìåðíîñòü, è äàæå áûòü íåîðèåíòèðóåìûì.Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿõ èç òåîðåìû 1 (èëè å¼ áîëååñëàáûõ àíàëîãîâ [4, 14, 34, 35]) ñëåäóåò áîëåå óäîáíàÿ è êîíêðåòíàÿ îöåíêà.À èìåííî:1.
Ìîçåð [25] è Âåéíñòåéí [36] çàìåòèëè, ÷òî åñëè ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèå Bñèìïëåêòè÷íî (èëè, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ýêâèâàëåíòíî, Λ ñòðîãî íåâûðîæäåíî), òî ñïðàâåäëèâà îöåíêàcat B ≥11dim B + 1 = (dim Λ + 1).22(3)Áîëåå òî÷íî, â ðàáîòå [36] äîêàçàíî, ÷òî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà çàäà¼ò ýëåìåíò ãðóïïû äâóìåðíûõ êîãîìîëîãèé V ìíîãîîáðàçèÿ B , k òàÿ ñòåïåíü êîòîðîãî îòëè÷íà îò íóëÿ â êîëüöå âåùåñòâåííûõ êîãîìîëîãèé H ∗ (B),ãäå 2k = dim B .
Ñëåäîâàòåëüíî, êîãîìîëîãè÷åñêàÿ äëèíà B íå ìåíüøå k :`(B) ≥ k . Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà cat B > `(B) ïîëó÷àåì (3). Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ S 1 èíâàðèàíòíàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà Λ èìååò íå ìåíååk + 1 çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé.2. Äðóãèì íåîæèäàííûì è íå ìåíåå èíòåðåñíûì ÿâëÿåòñÿ ôàêò, ÷òî ïîñëåäíÿÿ îöåíêà ñïðàâåäëèâà è â ñëó÷àå, êîãäà ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî íå÷¼òíîìåðíîé ñôåðå (ñì. ðàáîòû Ì.
À. Êðàñíîñåëüñêîãî17[21] è Âåéíñòåéíà [35]). Áîëåå òî÷íî, â ðàáîòå [21] äîêàçàíî, ÷òî äëÿ òàêîãî Λñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî áîëüøîå N , ïðè êîòîðîì ìíîãîîáðàçèå Λ◦ = Λ/ZZN(ò.å. ïðîñòðàíñòâî îðáèò ñâîáîäíîãî äåéñòâèÿ êîíå÷íîé ïîäãðóïïû ZZN ⊂ S 1íà Λ) èìååò êàòåãîðèþ âèäà cat Λ◦ = dim Λ + 1 = dim B + 2. Íî, ñîãëàñíîäîêàçàòåëüñòâó ñëåäñòâèÿ 2, ëþáàÿ S 1 /ZZN èíâàðèàíòíàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿíà Λ◦ èìååò íå ìåíåå ÷åì 12 cat Λ◦ = 12 dim B + 1 êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé.Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ S 1 èíâàðèàíòíàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà Λ òîæå èìååòíå ìåíåå ÷åì 12 dim B + 1 êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé.Îòñþäà ïîëó÷àåì åù¼ îäíî ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 1.Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1, âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé:1.
ëèáî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ñòðîãî íåâûðîæäåíî (ñì. îïðåäåëåíèå 3),2. ëèáî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî íå÷¼òíîìåðíîé ñôåðå.Òîãäà ÷èñëî (ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëè÷íûõ) çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ñèñòåìûñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ íà ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h) íå ìåíüøå, ÷åì11(dim Λ + 1) = dim B + 1,22ò.å. áîëüøå ïîëîâèíû ðàçìåðíîñòè ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèÿ B .Îöåíêà ñëåäñòâèÿ 3 áûëà äîêàçàíà â ðàáîòå Âåéíñòåéíà [35], ãäå îíà áûëà âûâåäåíà èç áîëåå ñëàáîãî àíàëîãà òåîðåìû 1 (òåîðåìà 1 áûëà äîêàçàíàÂåéíñòåéíîì ëèøü ïîçæå).
À èìåííî, â ýòîé ðàáîòå áûëî äîêàçàíî, ÷òîäëÿ ëþáîé êîíå÷íîé ïîäãðóïïû Γ = ZZN ãðóïïû S 1 ÷èñëî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ íå ìåíüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ÷èñëîêðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé Γèíâàðèàíòíîé êðóãëîé ôóíêöèè íà Λ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà, êàê è áîëåå îáùåãî ðåçóëüòàòà íàñòîÿùåé ðàáîòû(ñì. óòâåðæäåíèå 3 íèæå), èñïîëüçîâàëî áîëåå ïðîñòóþ òåõíèêó, ÷åì ïîñëåäóþùåå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 â ðàáîòå Âåéíñòåéíà [37].Çàìå÷àíèå 2.
Ïóñòü ðàññëîåíèå (2) íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî òðèâèàëüíûì,ò.å. èìååò îñîáûå ñëîè. Ðàññìîòðèì îáúåäèíåíèå Λk âñåõ îñîáûõ òðàåêòîðèéíà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ, êîòîðûå çàìûêàþòñÿ ÷åðåç âðåìÿ T /k , ãäå k öåëîå÷èñëî, áîëüøåå åäèíèöû. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî:1. Äëÿ ëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè f íà V ìíîãîîáðàçèè B ñóùåñòâóþòêðèòè÷åñêèå òî÷êè ýòîé ôóíêöèè, ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâó p(Λk ).182. Äëÿ ìíîãèõ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ìèíèìàëüíûé ïåðèîä áóäåò áëèçîê íå ê T , à ê ÷èñëó âèäà T /k , ãäå T íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäà íà Λ, k > 1. ñàìîì äåëå, èç ñâîéñòâà íåâûðîæäåííîñòè V ìíîãîîáðàçèé (ñì. çàìå÷àíèå 1) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî k ìíîæåñòâî Λk ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëàñâÿçíûõ êîìïîíåíò Λki , è êàæäàÿ èç ýòèõ êîìïîíåíò ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì êîìïàêòíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì â Λ, íåâûðîæäåííûì â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè ïåðèîäà T /k .Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 1, âáëèçè ñâÿçíîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿΛki ÷èñëî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñ ïåðèîäàìè, áëèçêèìè ê T /k , íå ìåíüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãëàäêîéôóíêöèè íà V ìíîãîîáðàçèè Λki /S 1 .
Ýòî äîêàçûâàåò âòîðîå èç óïîìÿíóòûõóòâåðæäåíèé.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íà ìíîãîîáðàçèè Λ âñåãäà ñóùåñòâóåò S 1 èíâàðèàíòíàÿ ðèìàíîâà ìåòðèêà. ßñíî, ÷òî ãðàäèåíòíûé ïîòîê (ïî îòíîøåíèþ êýòîé ìåòðèêå) ëþáîé S 1 èíâàðèàíòíîé ôóíêöèè f êîììóòèðóåò ñ äåéñòâèåì îêðóæíîñòè íà Λ. Îòñþäà ñëåäóåò èíâàðèàíòíîñòü êàæäîãî ìíîæåñòâàΛk îòíîñèòåëüíî ýòîãî ïîòîêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàäèåíò ôóíêöèè f êàñàòåëåí ê êàæäîìó ïîäìíîãîîáðàçèþ Λki . Ïîýòîìó êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèèf |Λki ñîâïàäàþò ñ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèè f , ëåæàùèìè íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λki .
Ýòî äîêàçûâàåò ïåðâîå èç óïîìÿíóòûõ óòâåðæäåíèé. ÷àñòíîñòè, ëþáîé èçîëèðîâàííûé (â ñîîòâåòñòâóþùåì ìíîæåñòâå Λk )îñîáûé ñëîé ðàññëîåíèÿ (2) ñîõðàíÿåòñÿ ïðè âîçìóùåíèè, ëèøü ñëåãêà ïðîäåôîðìèðîâàâøèñü, ò.å. ïîðîæäàåò çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ âîçìóù¼ííîéñèñòåìû ñ ïåðèîäîì, áëèçêèì ê ìèíèìàëüíîìó ïåðèîäó íåâîçìóù¼ííîé òðàåêòîðèè.1.2 Ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèèÏðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 èñõîäíàÿ ãàìèëüòîíîâàñèñòåìà âêëþ÷åíà â îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî âîçìóù¼ííûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M , çàâèñÿùèõ îò ìàëîãîïàðàìåòðà ε, ñ ãàìèëüòîíèàíàìè âèäàH̃ = H + εH1 + o(ε),ε → 0,(4)ãäå H1 ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà ìíîãîîáðàçèè M .
Îêàçûâàåòñÿ [34], ÷òî âñëó÷àå âîçìóùåíèÿ îáùåãî âèäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ |ε| ÷èñëî çàìêíóòûõòðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h) ìîæíî îöåíèòüáîëåå òî÷íî. À èìåííî, ñ ïîìîùüþ óñðåäíåíèÿ âîçìóùåíèÿH = H 1 |Λ19(5)ïî ïåðèîäè÷åñêèì òðàåêòîðèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λ, è íàõîæäåíèÿ êðèòè÷åñêèõ òðàåêòîðèé ïîëó÷åííîé óñðåäíåíèåì ôóíêöèè. Ýòè êðèòè÷åñêèå òðàåêòîðèè áóäóò ïîðîæäàòü çàìêíóòûå òðàåêòîðèè âîçìóù¼ííîéñèñòåìû.  ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè.Ïåðåéä¼ì ê òî÷íûì ôîðìóëèðîâêàì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ H îãðàíè÷åíèå âîçìóùåíèÿ íà Λ, è ðàññìîòðèì å¼ óñðåäíåíèåH̄(m) =Z T (m)0H(γ(m, t)) dt,m ∈ Λ,(6)ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λ; çäåñü γ(m, t) ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìγ(m, 0) = m, T : Λ → IR íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäà íà Λ.
Ïîëó÷åííàÿôóíêöèÿ H̄ íà Λ, î÷åâèäíî, ïîñòîÿííà âäîëü ñëîåâ ðàññëîåíèÿ (2). Òàêèìîáðàçîì, îíà êîððåêòíî îïóñêàåòñÿ íà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèå B . Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè âñå êðèòè÷åñêèå òðàåêòîðèè ôóíêöèè H̄ áîòòîâñêèå, òî âñå îíè ïîðîæäàþò çàìêíóòûå òðàåêòîðèè âîçìóù¼ííîéñèñòåìû.Òåîðåìà 2. Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ Mh , ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíó-òûìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, íåâûðîæäåíî, íî íå îáÿçàòåëüíî êîìïàêòíî. Ïóñòü âîçìóù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí ãëàäêî çàâèñèòîò ìàëîãî ïàðàìåòðà ε, ò.å.
èìååò âèä (4). Ðàññìîòðèì íà Λ ôóíêöèþ H̄ óñðåäíåíèå (6) âîçìóùåíèÿ ãàìèëüòîíèàíà ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì íà Λ. Ïóñòü γ0 ⊂ Λ áîòòîâñêàÿ êðèòè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ ôóíêöèèH̄. Òîãäà ñóùåñòâóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé γε ⊂ H̃ −1 (h) âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Ýòî ñåìåéñòâî ãëàäêî çàâèñèòîò ïàðàìåòðà âîçìóùåíèÿ ε, ãäå ε äîñòàòî÷íî ìàëî, è γε ñîâïàäàåò ñ γ0ïðè ε = 0.Ýòà òåîðåìà îáîáùàåò ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè, ñì.
ðàáîòóÌîçåðà [24]. Âïåðâûå òåîðåìà 2 áûëà ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà Âåéíñòåéíîì â ðàáîòå [34]. Îäíàêî ïðåäëàãàåìûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå ñïîñîá äîêàçàòåëüñòâà îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäëîæåííîãî Âåéíñòåéíîì. Íàø ïîäõîä ÿâëÿåòñÿâ ñóùíîñòè ðàçâèòèåì ãåîìåòðè÷åñêîãî ïîäõîäà Ïóàíêàðå [28], ïðèìåíÿâøåãîñÿ òàêæå â ðàáîòå Ìîçåðà [24]. ñëó÷àÿõ, êîãäà ôóíêöèÿ H̄ îòëè÷íà îò êîíñòàíòû, íî íå ÿâëÿåòñÿáîòòîâñêîé, ìîæíî ïðèìåíÿòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2, γ ⊂ Λ íåêîòîðàÿ òðà-åêòîðèÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, íå ÿâëÿþùàÿñÿ êðèòè÷åñêîé äëÿ ôóíêöèè H̄. Òîãäà ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Ω ýòîé òðàåêòîðèè â M 2n , òàêàÿ,20÷òî ïðè ëþáûõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε íà ïîâåðõíîñòè Ω ∩ H̃ −1 (h) íå ñóùåñòâóåò çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ .Äëÿ ôîðìóëèðîâêè âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ ââåä¼ì ñëåäóþùååÎïðåäåëåíèå 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
