Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ñëåäñòâèå 15) ïîëó÷àåì:1. Êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðà Aij (m), îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, è åãî êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå äâóìåðíû èèìåþò âèä he1 , e2 i è he3 , e4 i ñîîòâåòñòâåííî.2. Êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà èíâîëþöèè (dPl )ij (m), îòâå÷àþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì -1 è 1, äâóìåðíû è èìåþò âèä he1 , e4 i è he2 , e3 iñîîòâåòñòâåííî.Èç ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè A(m0 ) è èíâîëþöèè dPRα/2 (l) (m0 )ïîëó÷àåì:1. Êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðà Aij (m0 ), îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, è åãî êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå äâóìåðíû èèìåþò âèä he01 , e02 i è he03 , e04 i ñîîòâåòñòâåííî.2. Êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà èíâîëþöèè Aij (m0 )(dPRα/2 (l) )ij (m0 ), îòâå÷àþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì -1 è 1, äâóìåðíû è èìåþò âèä he01 , Rα/2 e04 iè he02 + λ2 e01 , Rα/2 e03 i ñîîòâåòñòâåííî, ãäå λ = − mij3τr2 , Rα/2 âòîðàÿ ìàòijðèöà èç (121).Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð A0 ñëåäóþùèì îáðàçîì äåéñòâóåò íà âåêòîðûe1 , e2 , e3 , e4 :λe2 7→ ±(e02 + e01 ), e3 7→ ±Rα/2 e03 , e4 7→ ±Rα/2 e04 .2Îòñþäà, ñ ó÷¼òîì ñèìïëåêòè÷íîñòè îïåðàòîðà A0 , ïîëó÷àåì, ÷òî â êàíîíè÷åñêèõ áàçèñàõ e1 , e2 , e3 , e4 è e01 , e02 , e03 , e04 ìàòðèöû îïåðàòîðîâ A0ij |K , A0ij |Lñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà èìåþò âèä (121).Øàã 2.
Êàê ìû çàìåòèëè â ï. 3.1.3, ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿîòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ìîìåíò âðåìåíèt = τ2 óãëîâûå êîîðäèíàòû âñåõ ðàäèóñ-âåêòîðîâ xi è yij èìåþò âèä α2 + πk ,k ∈ ZZ, à èõ ðàäèàëüíûå èìïóëüñû ðàâíû íóëþ:ατατττψi ( ) ≡ (mod π), ψij ( ) ≡ (mod π), pri ( ) = 0, prij ( ) = 0.222222(122)e1 7→ ±e01 ,177Ïîêàæåì, ÷òî ïðè ëþáûõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ µ, νóñëîâèÿ (117), (122) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò çíà÷åíèÿ ri , rij è pri , prij êàêôóíêöèè îò ýòèõ ïàðàìåòðîâ.  ñàìîì äåëå, äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû îíåÿâíûõ ôóíêöèÿõ íóæíî ïðîâåðèòü íåâûðîæäåííîñòü ñëåäóþùåé ìàòðèöû ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ:∂(ψ( τ2 ), pr ( τ2 ))(123)∂(pψ (0), r(0)),ãäå ψ(t), r(t), pψ (t), pr (t) ðåøåíèå íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû (96), çàïèñàííîå îòíîñèòåëüíî ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò è ïîëÿðíûõ èìïóëüñîâ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ.Ïî äîêàçàííîìó íà øàãå 1, â áàçèñàõ e(m), e(m0 ) èç ñëåäñòâèÿ 15 îïåðàòîð (123) çàäà¼òñÿ áëî÷íîé íèæíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöåé, ÿâëÿþùåéñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ìèíîðîì ìàòðèöû èç (120).
Ýòîò ìèíîð ÿâëÿåòñÿ áëî÷íîéíèæíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöåé, íà äèàãîíàëè êîòîðîé ñòîÿò áëîêè ñëåäóþùåãî âèäà:Ã3ωτ∓ 2m02i ri0∓Ii sin α̃2i! ∓ 3τ 2, 2mij rij0Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ìàòðèöà íåâûðîæäåíà, åñëèÏîñëåäíåå óñëîâèå âûïîëíåíî, åñëè:0∓Iij sin α̃2ijα̃i2.mod π 6= 0,α̃ij2mod π 6= 0.1. c2 ω 2 τ < π , ò.å. âûïîëíåíî óñèëåíèå óñëîâèÿ (93),2. ÷èñëî α mod π îòäåëåíî îò íóëÿ íà âåëè÷èíó, íå ìåíüøóþc2 2ω τ.2Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî |α̃ij − αij | < c32 ω 2 τ , ñì. çàìå÷àíèå 21.Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà (123) òîæå íåâûðîæäåíà, à çíà÷èò, ïðèìåíèìàòåîðåìà î íåÿâíîé ôóíêöèè.Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 12.3.4 Äîêàçàòåëüñòâî âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèéÇäåñü ìû äîêàæåì ëåììû 15, 16 è 17, ñôîðìóëèðîâàííûå â 3.2.3.4.1 Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìåÏðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì 11 è 12 ìû íåîäíîêðàòíî îïèðàëèñü íà ëåììó 15î íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìå.
 äàííîì ðàçäåëå ìû äàäèì äîêàçàòåëüñòâî ýòîéëåììû, ïîñòðîèâ ÿâíî ïåðåìåííûå èìïóëüñîâ ξ , η è âûïèñàâ â ÿâíîì âèäåâîçìóù¼ííóþ ñèñòåìó â ïîëó÷åííûõ ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ ξ , η , x, y. Ïîñëå178ýòîãî áóäåò ëåãêî íàéòè íåâîçìóù¼ííóþ ñèñòåìó, óñòðåìèâ âîçìóùåíèå êíóëþ.Äàäèì òî÷íóþ ôîðìóëèðîâêó óòâåðæäåíèÿ, èç êîòîðîãî ñëåäóåò ëåììà15. Ðàññìîòðèì àíàëèòè÷åñêóþ ôóíêöèþ F̃i (xi , yi∗ ; ν, ρ) ïîòåíöèàë (103)äåéñòâèÿ Ñîëíöà íà ñïóòíèêè iòîé ïëàíåòû. Îïðåäåëèì àíàëîãè÷íûé ïîòåíöèàë F̃ii0 = F̃ii0 (xi − xi0 , yi∗ , yi0 ∗ ; ν, ρ) ñóììàðíîãî äåéñòâèÿ i0 òîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû íà ñïóòíèêè iòîé ïëàíåòû è iòîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû íàñïóòíèêè i0 òîé ïëàíåòû, ïîëàãàÿνρ2 m̄i m̄i0 F̃ii0 (x, yi∗ , yi0 ∗ ; ν, ρ) =mi mi0+|x − νρ(δi − δi0 )|nniXi0Xνmi mi0 j 0νmi0 mij++0| − x + ρyj 0 + ρν(δi − δi0 )|j=1 |x + ρyj − ρν(δi − δi )|j 0 =1ni0ni XXν 2 mij mi0 j 0m̄i m̄i0−,00|xi − xi0 |j=1 j 0 =1 |x + ρ(yj − yj ) − ρν(δi − δi )|(124)ãäå i 6= i0 , 1 ≤ i, i0 ≤ n, m̄i è âåêòîðû δi òàêèå æå, êàê â (97) è çàìå÷àíèè19.
ßñíî, ÷òî F̃ii0 ≡ F̃i0 i .Óòâåðæäåíèå 14. Ñóùåñòâóþò ïåðåìåííûå èìïóëüñîâ ξ , η , ëèíåéíî çà-âèñÿùèå îò ẋ, ẏ, òàêèå, ÷òî â ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ ξ , η , x, y çàäà÷à îäâèæåíèè ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé îòíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðûnXniXi=1j=1(dξξi ∧ dxi + ε(125)dηηij ∧ dyij )ñ ãàìèëüòîíèàíîì âèäàH=nXi=1XHi + µωKii0 +1≤i<i0 ≤nnXi=1ενX(i)Sjj 0 .(126)1≤j<j 0 ≤niÏðè ýòîì èíòåãðàë êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî ìíîæèòåëÿ ðàâåí M = [x, ξ ] + ε[y, η ].qÇäåñü ε = ε(µ, ν, 1/R) = ν Rµ = µνωR ìàñøòàáíûé ìíîæèòåëü ïåðåõîäà îò ïëàíåòíîé ñèñòåìû ê ñïóòíèêîâîé ñèñòåìå;Hi = ω(K̃i +niXν(i)F̃)+εm̄S̃jii2Rj=1179 ãàìèëüòîíèàí çàäà÷ Õèëëà (èëè Êåïëåðà â ñëó÷àå ni = 0), îòâå÷àþ(i)ùèõ iòîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìå, ñîñòîÿùèé èç ýíåðãèé K̃i , Sj , 1 ≤ j ≤ ni ,âçàèìîäåéñòâèÿ iòîé ïëàíåòû ñ Ñîëíöåì è å¼ j òûì ñïóòíèêîì ñîîòâåòñòâåííî (99) è ïîòåíöèàëà F̃i (xi , yi∗ ; ν, R1 ) âçàèìîäåéñòâèÿ ýòèõ ñïóòíèêîâ ñÑîëíöåì (103);Kii0 = hξξi , ξi0 i −m̄i m̄i0ν m̄i m̄i01+F̃ii0 (xi − xi0 , yi∗ , yi0 ∗ ; ν, )2|xi − xi0 |RR ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ñïóòíèêîâûõ ñèñòåì, ñîñòîÿùàÿ ïî îïðåäåëåíèþ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè hξξi , ξi0 i è ñóììû ïîòåíöèàëîâ âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷åê îäíîé (iòîé) ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû ñ òî÷êàìè äðóãîé (i0 òîé)ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû;(i)Sjj 0 =hηηij , ηij 0 imij mij 0−mi|yij − yij 0 | ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ñïóòíèêîâ (j òîãî è j 0 òîãî) îäíîé è òîéæå (iòîé) ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû.Êðîìå òîãî, çäåñü ìû îáîçíà÷èëè, êàê â (97), ÷åðåç m̄i ñóììàðíóþ ìàñmij mim̄iñó iòîé ïëàíåòû è âñåõ å¼ ñïóòíèêîâ, m̃i = 1+µ, m̃ij = mi +νm, ãäå,m̄iijíàïîìíèì, µmi ìàññà iòîé ïëàíåòû, µνmij ìàññà å¼ j òîãî ñïóòíèêà,1 ≤ j ≤ ni , 1 ≤ i ≤ n.Çàìå÷àíèå 24.
Èç ôîðìóë (102), (103) è (124) (ñì. òàêæå çàìå÷àíèå 19)âèäíî, ÷òî ïîòåíöèàëû F̃i (xi , yi∗ ; ν, ρ) è F̃ii0 (xi −xi0 , yi∗ , yi0 ∗ ; ν, ρ) ïîëó÷àþòñÿìàëûìè âîçìóùåíèÿìè èç ôóíêöèè F . Òî÷íåå, îíè àíàëèòè÷íû ïî âñåìñâîèì àðãóìåíòàì, è ïðè ν = ρ = 0 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííîF̃i (xi , yi∗ ; 0, 0) =niXmijj=1F̃ii0 (xi − xi0 , yi∗ , yi0 ∗ ; 0, 0) =niXmijj=1mimièF (xi , yij )0F (xi − xi0 , yij ) +niXmi0 j 0j 0 =1m0iF (xi0 − xi , yi0 j 0 ).Ïîýòîìó êàæäîå ñëàãàåìîå â ïîñëåäíèõ äâóõ ñóììàõ åñòåñòâåííî íàçâàòüïðåäåëüíûì ïîòåíöèàëîì äåéñòâèÿ Ñîëíöà íà ñïóòíèê è ïðåäåëüíûì ïîòåíöèàëîì äåéñòâèÿ îäíîé ïëàíåòû íà ñïóòíèê äðóãîé ïëàíåòû ñîîòâåòñòâåííî. (Áåçóñëîâíî, ýòè ïîòåíöèàëû äàþò ìàëûé âêëàä â ýíåðãèþ (126),µνòàê êàê îíè âõîäÿò â íå¼ ñ ìàëûìè êîýôôèöèåíòàìè ïîðÿäêîâ Rν2 è R2ñîîòâåòñòâåííî.)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 14 ìû ïîñòðîèì â ÿâíîì âèäå ïåðåìåííûå èìïóëüñîâ ξ , η è ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ H èç ôîðìóëû (126) ðàâíàïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû, óìíîæåííîé íà ωR/µ.180Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñëàãàåìûå â H , íå çàâèñÿùèå îò èìïóëüñîâ, äàþò âñóììå ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ, óìíîæåííóþ íà ωR/µ.Âû÷èñëèì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ.
Ìû âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ñäåëàííûé íàìè ïåðåõîä îò êîîðäèíàò (M0 , M1 , . . . , MN ) â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå ê êîîðäèíàòàì x, y ìîæíî îñóùåñòâèòü ïóò¼ì äâóêðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ ñëåäóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, íàçûâàåìîãî ïðåîáðàçîâàíèåì Ïóàíêàðå.Ïðåîáðàçîâàíèå Ïóàíêàðå â çàäà÷å N + 1 òåëà. Ðàññìîòðèì êîíôè-ãóðàöèîííîå ìíîãîîáðàçèå Q ïëàíåòíîé ñèñòåìû (ò.å. ñèñòåìû N +1 ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè), ñîñòîÿùåå èç âñåâîçìîæíûõ íàáîðîâ ðàäèóñ-âåêòîðîâ M0 , M1 , . . . , MN ìàññ c0 = 1, c1 = λm1 , . . . , cN = λmN ,ãäå λ ¿ 1.
Ìíîãîîáðàçèå Q ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå L â ýòîì ïðîñòðàíñòâå,ïåðåéäÿ ê íîâîìó íàáîðó ðàäèóñ-âåêòîðîâM̃0 = C, M̃1 = M1 − M0 , . . . , M̃N = MN − M0 ,ãäå C =M0 +c1 M1 +...+cN MN1+c1 +...+cN ðàäèóñ-âåêòîð â öåíòð òÿæåñòè ñèñòåìû.Îïðåäåëåíèå 23. Ïðåîáðàçîâàíèå L íàçûâàþò ïðåîáðàçîâàíèåì Ïóàíêàðå êîíôèãóðàöèîííîãî ìíîãîîáðàçèÿ ïëàíåòíîé ñèñòåìû.Îòìåòèì, ÷òî ìîæíî áûëî áû ðàññìîòðåòü äðóãîå ïðåîáðàçîâàíèå, àèìåííî, ïðåîáðàçîâàíèå ßêîáè M̃0 = C , M̃1 = M1 − C, .
. . , M̃N = MN −C . Îäíàêî, ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ïðèâîäèò ê áîëåå ãðîìîçäêèì ôîðìóëàì.Êðîìå òîãî, îíî ïðèâåëî áû íàñ ê îæèäàåìîìó ðåçóëüòàòó ëèøü â ñëó÷àåîáû÷íîé ïëàíåòíîé ñèñòåìû, ò.å. ñèñòåìû áåç ñïóòíèêîâ.Ðàññìîòðèì òåïåðü ñîïðÿæ¼ííîå ïðîñòðàíñòâî Q∗ , ò.å. ïðîñòðàíñòâîâñåõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà ïðîñòðàíñòâå Q (òî÷íåå, íà êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ê Q â ëþáîé åãî òî÷êå). Ýòî ïðîñòðàíñòâî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîñòðàíñòâî âñåõ íàáîðîâ p0 , p1 , .
. . , pN , ãäå êàæäûé ýëåìåíò pi ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë â ïëîñêîñòè, ò.å. êîâåêòîð.  ñàìîì äåëå, çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà, îòâå÷àþùåãî òàêîìó íàáîðó, íà êîíôèãóðàöèèP(M0 , M1 , . . . , MN ) ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíûì ñóììå Ni=0 hpi , Mi i. ßñíî, ÷òîíåâûðîæäåííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå L â Q èíäóöèðóåò íåêîòîðîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå L∗ â Q∗ , ïðè êîòîðîì íàáîð p0 , p1 , . . . , pN ïåðåõîäèò,ñêàæåì, â íàáîð p̃0 , p̃1 , . .
. , p̃N .Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå Q∗ âåùåñòâåííîçíà÷íóþ ôóíêöèþ êèíåòèPp2i÷åñêîé ýíåðãèè T = Ni=0 2ci . Ðàññìîòðèì òàêæå ôóíêöèþ êèíåòè÷åñêîãîP∗ìîìåíòà M = Ni=0 [Mi , pi ] íà ïðîñòðàíñòâå T Q. È ðàññìîòðèì ôóíêöèþïîëíîãî èìïóëüñà P = p0 + p1 + . . . + pN íà Q∗ , ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ âïðîñòðàíñòâå êîâåêòîðîâ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ â ïëîñêîñòè.181Ëåììà 19. Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ïóàíêàðå L êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà Q ôóíêöèè T è P íà Q∗ ïðåîáðàçóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Pp2iÀ) Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T = Ni=0 2ci ïðèíèìàåò âèäT =Np̃20 Xp̃2i1++ (p̃1 + . . .
+ p̃N )2 =2c̄0 i=1 2ci 2Np̃20 X1p̃2i++ (p̃1 + . . . + p̃N )2 ,2c̄0 i=1 2λmi 2(127)ãäå c̄0 = 1 + c1 + . . . + cN = 1 + λ(m1 + . . . + mN ). Ýòî âûðàæåíèå ìîæíîïåðåïèñàòü òàê:T =NNXp̃20 Xp̃2i++hp̃i , p̃i0 i =2c̄0 i=0 2c̃i 1≤i<i0 ≤NNXp̃20 Xp̃2i++hp̃i , p̃i0 i,2c̄0 i=1 2λm̃i 1≤i<i0 ≤N(128)ãäå c̃i = c0 ci /(c0 + ci ) = ci /(1 + ci ), 1 ≤ i ≤ N .Á) Ïîëíûé èìïóëüñ P = p0 + p1 + . . .
+ pN ïðåâðàùàåòñÿ â èìïóëüññàìîãî ìàññèâíîãî òåëà:P = p̃0 .(129)P∗Êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò M = Ni ] â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå T Qi=0 [Mi , pPNèíâàðèàíòåí ïðè ïðåîáðàçîâàíèè L: M = i=0 [M̃i , p̃i ].Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïóíêòîâ À, Á ïðîâîäèòñÿ ïðÿìîé ïîä-ñòàíîâêîé â ôóíêöèè T è P ñëåäóþùèõ ÿâíûõ ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ L∗ci1èìïóëüñîâ: p0 = 1+c1 +...+cp̃0 , pi = p̃i + 1+c1 +...+cp̃0 , 1 ≤ i ≤ N .NNÈíâàðèàíòíîñòü êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ñëåäóåò èç åãî èíâàðèàíòíîñòèîòíîñèòåëüíî ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâà T ∗ Q, èíäóöèðîâàííîãîïðåîáðàçîâàíèåì ïðîñòðàíñòâà Q âèäà M̃i = aij Mj , ãäå ìàòðèöà kaij k íåâûðîæäåíà. Ïîñëåäíåå âåðíî, òàê êàê ïðåîáðàçîâàíèå èìïóëüñîâ èìååò âèäPp̃i = bik pk , ãäå k bik ajk = δij , îòêóäà èìååì:NXi=0[M̃i , p̃i ] =N XN XNX[M̃j , p̃k ]aij bik =i=0 j=0 k=0NX[M̃i , p̃i ].i=0Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
