Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Îòñþäà,ââèäó ñèììåòðè÷íîñòè áèëèíåéíûõ ôîðì Qt , èõ èíäåêñû ñîâïàäàþò, 0 ≤t ≤ 1.  ÷àñòíîñòè, ind Q0 = ind Q1 , ÷òî è äîêàçûâàåò ôîðìóëó (116).Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 18 îá èíäåêñå ãåññèàíà ôóíêöèèS.Øàã 5. Èç íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè ãåññèàíà d2 S(m) (òàê êàê m ìîðñîâñêàÿ òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè S|Λ̃∩Σ ) è ôîðìû Q|K(ñì. ÿâíûé âèä ìàòðèöû Q íà øàãå 3), ñ ó÷¼òîì ëåììû 18, èìååì:ind Q̃ = ind Q + ind d2 S(m) = ind Q = ind Q|L + ind Q|K = ind Q|L .172Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ind Q̃ = ind Q̃|L̃ +ind Q̃|K̃ . Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷¼òîì (115),ñëàãàåìîå ind Q̃|K̃ â ïîñëåäíåé ñóììå ðàâíî íóëþ, ò.å.
ôîðìà Q̃|K̃ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà.Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1, ýòî äîêàçûâàåò ñèëüíóþ óñòîé÷èâîñòü òîðà γτ(êàê ìíîæåñòâà íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ gH−ω) è, òåì ñàìûì,1Mñòðóêòóðíóþ óñòîé÷èâîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæåíèÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Ïóíêò  òåîðåìû 11 äîêàçàí.Òåîðåìà 11 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.3.3.3 Ñóùåñòâîâàíèå ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèéÇäåñü ìû äîêàæåì òåîðåìó 12, ñëåäóÿ èäåÿì Ïóàíêàðå [28] îá îáðàòèìîñòèçàäà÷è N + 1 òåë.Ïóñòü l ëþáàÿ ïðÿìàÿ â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ.  ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå T ∗ Q îïðåäåëåíû ñëåäóþùèå òðè èíâîëþöèè, ñîõðàíÿþùèå çíà÷åíèåãàìèëüòîíèàíà H :1.
Êàíîíè÷åñêàÿ èíâîëþöèÿ Sl : T ∗ Q → T ∗ Q (îñåâàÿ ñèììåòðèÿ), îòâå÷àþùàÿ ïðåîáðàçîâàíèþ êîíôèãóðàöèîííîãî ìíîãîîáðàçèÿ Q, ïåðåâîäÿùåìó âñå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû â òî÷êè,ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l.2. Àíòèêàíîíè÷åñêàÿ èíâîëþöèÿ P (îáðàùåíèå âðåìåíè), ïåðåâîäÿùàÿ ïàðó (q, p) ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà â ïàðó (q, −p), ãäå q è p êîîðäèíàòû è èìïóëüñû.3. Àíòèêàíîíè÷åñêàÿ èíâîëþöèÿ Pl = P Sl = Sl P .Êàæäîå èç ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ èíâîëþöèåé, ò.å. ñîâïàäàåò ñîñâîèì îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì.
Ïðè ýòîì âòîðàÿ è òðåòüÿ èíâîëþöèèÿâëÿþòñÿ àíòèêàíîíè÷åñêèìè, ò.å. ïåðåâîäÿò ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðóω 2 â −ω 2 è, òåì ñàìûì, ïåðåâîäÿò òðàåêòîðèè ñèñòåìû â òðàåêòîðèè ñèñòåìû ñ îáðàùåíèåì âðåìåíè.Çàìåòèì, ÷òî èç åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Õèëëà (ëåììà 17) ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå äâèæåíèå q(t) = (x(t), y(t)) ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì. À èìåííî, ðàññìîòðèì ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t = t0 , â êîòîðûé âåêòîðû x(t) è y(t) ñîíàïðàâëåíû è, çíà÷èò, âñå òî÷êè ëåæàò íà îäíîé è òîé æåïðÿìîé, êîòîðóþ îáîçíà÷èì l. Òîãäà äâèæåíèå q 0 (t) = Pl (x(2t0 −t), y(2t0 −t))òîæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Õèëëà, à çíà÷èò, ñîâïàäàåò ñ äâèæåíèåìq(t).
Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷àåì ñóùåñòâîâàíèå 2N −2 ñèììåòðè÷íûõ äâèæåíèéíåâîçìóù¼ííîé çàäà÷è (89). À èìåííî, êàæäîìó ðàçáèåíèþ ìíîæåñòâà âñåõ173ïëàíåò è ñïóòíèêîâ íà äâà ïîäìíîæåñòâà (ò.å. êàæäîìó òèïó ïàðàäà, ñì.ï. 3.1.3) îòâå÷àåò ñèììåòðè÷íîå äâèæåíèå çàäà÷è (89), ïðè êîòîðîì â ìîìåíò âðåìåíè t = t0 âñå ðàäèóñ-âåêòîðû, îòâå÷àþùèå òî÷êàì èç îäíîãîïîäìíîæåñòâà, ñîíàïðàâëåíû.Ôèêñèðóåì ëþáîå ðàçáèåíèå èç ï.
3.1.3 (ò.å. òèï ïàðàäà) è ðàññìîòðèìñîîòâåòñòâóþùåå ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷è. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî t0 = 0, è ïðÿìàÿ l ñîâïàäàåò ñ îñüþàáñöèññ (ñì. îïðåäåëåíèå 21). Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ ñèììåòðè÷íîãî äâèæåíèÿ, óñëîâèå ñèììåòðè÷íîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òîïðè t = 0 óãëîâûå êîîðäèíàòû ψi , ψij âñåõ ðàäèóñ-âåêòîðîâ xi è yij êðàòíûπ , à èõ ðàäèàëüíûå èìïóëüñû pri , prij ðàâíû íóëþ:ψi (0) ≡ 0 (mod π), ψij (0) ≡ 0 (mod π), pri (0) = 0, prij (0) = 0.(117)Ïóñòü l ïðÿìàÿ àáñöèññ.
Îáîçíà÷èì óñëîâíî ÷åðåç (ϕ, I, q, p) íàáîðêîîðäèíàò (ϕi mod 2π, Ii , qi , pi ), 1 ≤ i ≤ n, (ϕij mod 2π, Iij , qij , pij ), 1 ≤ j ≤ ni ,èç ëåììû 16. Èç ïîñòðîåíèÿ ýòèõ êîîðäèíàò ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 16(ñì. ÿâíûé âèä (132) ýòèõ êîîðäèíàò â ï. 3.4.2 íèæå) áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òîèíâîëþöèè Sl , P , Pl èìåþò ñëåäóþùèé âèä:Sl (ϕ, I, q, p) = (−ϕ, −I, q, p),P (ϕ, I, q, p) = (ϕ, −I, q, −p),Pl (ϕ, I, q, p) = (−ϕ, I, q, −p).(118)Îáîçíà÷èì ÷åðåç Rα ïðåîáðàçîâàíèå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà T ∗ Q, îòâå÷àþùåå ïîâîðîòó ïëîñêîñòè íà óãîë α.Âûâåäåì èç ñëåäñòâèÿ 13 ñëåäóþùåå åãî óòî÷íåíèåÑëåäñòâèå 15. Ïóñòü òî÷êà m ∈ Λ îòâå÷àåò ñèììåòðè÷íîìó äâèæå-íèþ íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷è (96), ðàñïàäàþùåéñÿ íà çàäà÷è Êåïëåðà è Õèëëà. Òîãäà ñóùåñòâóåò áàçèñ e(m) â òî÷êå m, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿìñëåäñòâèÿ 13 è ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1.
 áàçèñå e(m) èíâîëþöèÿ Pl = P Sl = Sl P çàäà¼òñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé, íà äèàãîíàëè êîòîðîé ñòîÿò áëîêè âèäà−100001000 00 01 00 −1,(119)ãäå l îñü ñèììåòðèè ðàññìàòðèâàåìîãî äâèæåíèÿ.2. Íàïðàâëåíèå êàæäîãî áàçèñíîãî âåêòîðà áàçèñà e(m) ω áëèçêî ê ñîîòâåòñòâóþùåé êîîðäèíàòíîé îñè èç ëåììû 16.174Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî êîìïîçèöèÿ èíâîëþöèè Pl è îòîáðàæåíèÿgVτ ÿâëÿåòñÿ èíâîëþöèåé, ãäå V íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà (94) âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω1 . Äåéñòâèòåëüíî, èíâîëþöèÿ Pl ïåðåâîäèò âåêòîðíîå ïîëå V íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû â −V , îòêóäàτPl gVτ Pl = g−V.
Ñëåäîâàòåëüíî, (Pl gVτ )2 = Id.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êîìïîçèöèÿ èíâîëþöèè dPl (m) : Tm M → Tm M èîïåðàòîðà ìîíîäðîìè A = A(m) = d(R−α gVτ )(m) òîæå ÿâëÿåòñÿ èíâîëþöèåé, ãäå Rα ïîâîðîò ïëîñêîñòè íà óãîë α. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó êîììóòèðîâàíèÿ ïîòîêà gVt ñ ëþáûìè ïîâîðîòàìè ïëîñêîñòè,(Pl R−α gVτ )2 = Pl gVτ (R−α Pl R−α )gVτ = Pl gVτ Pl gVτ = Id.Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü î÷åâèäíûì ñâîéñòâîì îñåâîé ñèììåòðèè è ïîâîðîòîâ: R−α Pl = Pl Rα .Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè èíâîëþöèè dPl (m) îïåðàòîð ìîíîäðîìèè A ïåðåõîäèò â îïåðàòîð A−1 .
Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî èíâîëþöèÿ dPl (m) ïåðåâîäèòëþáîå êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðà A, îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìóçíà÷åíèþ λ, â êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî, îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ1 .Ñëåäîâàòåëüíî, èíâàðèàíòíûå ñèìïëåêòè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâà K èL = K ⊥ îïåðàòîðà Aij , îòâå÷àþùåãî çàäà÷å Õèëëà (ñì. äîêàçàòåëüñòâîñëåäñòâèÿ 13), èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî èíâîëþöèè dPl . Òàê êàê ïî ñëåäñòâèþ 13 ýòè ïîäïðîñòðàíñòâà ω áëèçêè ê èñõîäíûì êîîðäèíàòíûì ïîäïðîñòðàíñòâàì, òî íà êàæäîì èç íèõ èíâîëþöèÿ èìååò ðîâíî äâà ñîáñòâåííûõçíà÷åíèÿ: 1 è -1, ïðè÷¼ì êàæäîå ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî ω áëèçêî êñîîòâåòñòâóþùåé êîîðäèíàòíîé îñè â ñèëó (118).Âîçüìåì â êà÷åñòâå áàçèñà, îòâå÷àþùåãî ðàññìàòðèâàåìîìó ñïóòíèêó,êàíîíè÷åñêèé áàçèñ, ω áëèçêèé ê êîîðäèíàòíîìó áàçèñó èç ëåììû 16 èñîñòàâëåííûé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ e1 , e2 è e3 , e4 îïåðàòîðîâ Aij |K èAij |L ñîîòâåòñòâåííî.Çàìåòèì ñëåäóþùåå:1.
 ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ Õèëëà, âåêòîð e1 ýòîãî áàçèñà (îòâå÷àþùèé ñîáñòâííîìó çíà÷åíèþ 1) êàñàòåëåí ê òðàåêòîðèè ýòîãî ðåøåíèÿ.Ã!a b2. Ïóñòü ìàòðèöà îïåðàòîðà Aij |L â êàíîíè÷åñêîì áàçèñå e3 ,c de4 ïîäïðîñòðàíñòâàÃL. Èç òîãî,! ÷òî â ýòîì áàçèñå èíâîëþöèÿ dPl (m)|L1 0çàäà¼òñÿ ìàòðèöåé, à êîìïîçèöèÿ dPl (m)A(m) ÿâëÿåòñÿ èí0 −1âîëþöèåé, íåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òî a = d.175Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî, ïóò¼ì äîìíîæåíèÿ âåêòîðîâ e1 è e2 íà ω áëèçêèåê åäèíèöå âçàèìíîîáðàòíûå ÷èñëà, à òàêæå äîìíîæåíèÿ âåêòîðîâ e3 è e4íà îãðàíè÷åííûå âçàèìíîîáðàòíûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ìîæíî äîáèòüñÿ,÷òîáû ìàòðèöà îïåðàòîðà Aij â íîâîì áàçèñå f1 , f2 , f3 , f4 èìåëà íóæíûéâèä, ñì. ñëåäñòâèå 13.Ñëåäñòâèå 15 äîêàçàíî.Äîêàæåì òåîðåìó 12.τ /2Øàã 1. Ðàññìîòðèì îïåðàòîð A0 = A0 (m) = dgV (m) : Tm M → Tm0 M ,τ /2ãäå m0 = gV (m).
Ïîêàæåì, ÷òî â áàçèñàõ e(m) è e(m0 ) èç ñëåäñòâèÿ 15 ýòîòîïåðàòîð çàäà¼òñÿ íèæíåòðåóãîëüíîé áëî÷íîé ìàòðèöåé, íà äèàãîíàëüíûõáëîêàõ êîòîðîé ñòîÿò ìàòðèöû âèäàÃÃ1010−3ωτ2mi ri21−3τ22mij rij1! Ã,! ,cos α̃2i−Ii sin α̃2isin α̃2icos α̃2i1Iicos α̃2ij−Iij sin α̃2ij!,(120)sin α̃2ij ,cos α̃2ij1Iij1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ ni ,(121)èëè, áûòü ìîæåò, ìàòðèöû, îòëè÷àþùèåñÿ îò ýòèõ ìàòðèö çíàêîì, ãäå α̃i =ωi τ + O(ω 2 τ ), α̃ij = Ωij τ + O(ω 2 τ ), ÷èñëà èç ñëåäñòâèÿ 13. ( äåéñòâèòåëüíîñòè, âñå ýòè ìàòðèöû ñòîÿò â óêàçàííûõ áëîêàõ ñî çíàêîì ïëþñ.)Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäñòâèåì 15. Êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòîãî ñëåäñòâèÿ,ðàññìîòðèì ïðåäåëüíóþ çàäà÷ó Õèëëà (106) äëÿ iòîé ïëàíåòû è å¼ j òîãîñïóòíèêà. Ýòî ýêâèâàëåíòíî ðàññìîòðåíèþ ñëó÷àÿ Ñîëíöå-Çåìëÿ-Ëóíà, ò.å.N = 2, n = 1.
Çàôèêñèðóåì êðóãîâîå äâèæåíèå ïëàíåòû è îáîçíà÷èì ÷åðåç Aij = Aij (m) îïåðàòîð ìîíîäðîìèè ñèñòåìû, îòâå÷àþùåé j òîìó ñïóòíèêó, ò.å. îïåðàòîð ìîíîäðîìèè ïðåäåëüíîé çàäà÷è Õèëëà (106). ÎïåðàòîðAij äåéñòâóåò â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ê ôàçîâîìó ïðîñòðàíñòâó çàäà÷èÊåïëåðà, îòâå÷àþùåãî j òîìó ñïóòíèêó. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, îáîçíà÷èì÷åðåç A0ij = A0ij (m) è (dPl )ij = (dPl )ij (m) îïåðàòîðû, îòâå÷àþùèå äåéñòâèþîïåðàòîðîâ A0 (m) è dPl (m) â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ê ôàçîâîìó ïðîñòðàíñòâó ýòîãî ñïóòíèêà.Ðàññìîòðèì â òî÷êå m äâà îïåðàòîðà: îïåðàòîð ìîíîäðîìèè A(m) èèíâîëþöèþ dPl (m).
Çàìåòèì, ÷òî äåéñòâèå íà ýòè îïåðàòîðû ñîïðÿæåíèåì ïðè ïîìîùè îòîáðàæåíèÿ A0 ïåðåâîäèò èõ â îïåðàòîðû A(m0 ) èA(m0 )dPRα/2 (l) (m0 ) â òî÷êå m0 ñîîòâåòñòâåííî:−τ /2τ /2A0 AA0−1 = dgV d(R−α gVτ )dgVτ /2−τ /2A0 dPl A0−1 = dgV dPl dgV= dR−α dgVτ (m0 ) = A,= dgVτ dPl = dgVτ R−α Rα dPl = AdPRα/2 (l) .176Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A0ij ïåðåâîäèò êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðîâ Aij (m) è (dPl )ij (m) â êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðîâ Aij (m0 )è Aij (m0 )(dPRα/2 (l) )ij (m0 ), ñ ñîõðàíåíèåì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, îòâå÷àþùèõýòèì êîðíåâûì ïîäïðîñòðàíñòâàì.Ïóñòü e1 , e2 , e3 , e4 è e01 , e02 , e03 , e04 áàçèñíûå âåêòîðû áàçèñîâ e(m) è0e (m) ñîîòâåòñòâåííî, îòâå÷àþùèå ðàññìàòðèâàåìîìó ñïóòíèêó.Èç ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè A è èíâîëþöèè dPl â ýòèõ áàçèñàõ(ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
