Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Äðóãèìè ñëîâàìè, áàçèñíûå âåêòîðû ïåðâîé ãðóïïû êàñàòåëüíû ê ïðîñòðàíñòâóâèäà {yij = const, ηij = const, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ ni }, à áàçèñíûå âåêòîðûâòîðîé ãðóïïû êàñàòåëüíû ê ïðîñòðàíñòâó âèäà {xi = const, ξi = const, 1 ≤i ≤ n}. Ïðè ýòîì áàçèñ eε ïîëó÷àåòñÿ èç áàçèñà e óìíîæåíèåì âñåõ âåêòîðîâ âòîðîé ãðóïïû (îòâå÷àþùèõ ñïóòíèêàì) íà ÷èñëî √1ε . Êðîìå òîãî,ìû âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî îïåðàòîð à è ïîäïðîñòðàíñòâî Tm Λ̃ áëèçêè êîïåðàòîðó A è ïîäïðîñòðàíñòâó Tm Λ ñîîòâåòñòâåííî.Êàê â ñëåäñòâèè 14, äèàãîíàëüíûå áëîêè ìàòðèöû Ãε òàêèå æå, êàêáëîêè ìàòðèöû îïåðàòîðà à â áàçèñå e.
Ïîýòîìó, â ñèëó áëèçîñòè îïåðà167òîðîâ à è A, ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ 13, óêàçàííûå áëîêè ìàòðèöû Ãε áëèçêèê ñîîòâåòñòâóþùèì áëîêàì ìàòðèöû A0 . Àíàëîãè÷íîå âåðíî äëÿ âñåõ áëîêîâ, îòâå÷àþùèõ äâóì ïëàíåòàì ëèáî äâóì ñïóòíèêàì. Îñòàëüíûå áëîêèìàòðèöû Ãε ïîëó÷àþòñÿ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ áëîêîâ ìàòðèöû îïåðàòîðà Ã√â áàçèñå e óìíîæåíèåì íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå ε äëÿ áëîêîâ ïîääèàãîíàëüþ è √1ε äëÿ áëîêîâ íàä äèàãîíàëüþ.Ñëåäîâàòåëüíî, áëîêè ìàòðèöû Ãε ïîä äèàãîíàëüþ, îòâå÷àþùèå îäíîéïëàíåòå è îäíîìó ñïóòíèêó, ìàëû ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì âîçìóùåíèè, ïî√ñêîëüêó îíè εìàëû, êàê è äëÿ ìàòðèöû Aε .
Îñòàëîñü íàéòè ýëåìåíòûìàòðèöû Ãε , ëåæàùèå íàä äèàãîíàëüþ è îòâå÷àþùèå îäíîé ïëàíåòå è îäíîìó ñïóòíèêó.Ñîãëàñíî ëåììå 15 (1), äëÿ êàæäîé ïëàíåòû âëèÿíèå ñïóòíèêîâ íà å¼äâèæåíèå èìååò ïîðÿäîê O( Rν2 ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé áëîê ìàòðèöûîïåðàòîðà à â áàçèñå e, ëåæàùèé íàä äèàãîíàëüþ è îòâå÷àþùèé êàêîé-ëèáîïëàíåòå è êàêîìó-ëèáî ñïóòíèêó, èìååò òàêîé æå ïîðÿäîê O( Rν2 ). (Äåéñòâèòåëüíî, â ñèñòåìå óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ, îòâå÷àþùåé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó m, âàðèàöèè ñïóòíèêîâ âõîäÿò â ïðàâûå÷àñòè óðàâíåíèé íà âàðèàöèè ïëàíåò ñ êîýôôèöèåíòàìè ïîðÿäêà O( Rν2 ).Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ, ó êîòîðîãî íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ âàðèàöèé ïëàíåò ðàâíû 0, à íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ âàðèàöèé ñïóòíèêîâ èìåþò ïîðÿäîê 1, â ìîìåíò âðåìåíè τ çíà÷åíèÿ âàðèàöèé ïëàíåò èìåþò ïîðÿäîê O( Rν2 ).) Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîé áëîêìàòðèöû Ãε , ëåæàùèé íàä äèàãîíàëüþ è îòâå÷àþùèé êàêîé-ëèáî ïëàíåòå è êàêîìó-ëèáî ñïóòíèêó, èìååò ïîðÿäîê O( R2ν√ε ).
Ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òîε = µνωR, R13 = ω 2 µ, ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ðàâíîν√ =R2 εs√ 7 1ν=νω 6 µ 3R5 ωµè, çíà÷èò, ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì ω ýòî âûðàæåíèå ñòðåìèòñÿ ê 0, êîãäൠ→ 0 (èëè ν → 0).Èòàê, â (êàíîíè÷åñêîì) áàçèñå eε ìàòðèöà Ãε îïåðàòîðà ìîíîäðîìèèáëèçêà ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå A0 . Ýòî äîêàçûâàåò ñâîéñòâî 1, ïðèâåä¼ííîå âûøå. Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî îáå ìàòðèöû A0 è Ãε ÿâëÿþòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèìè (â îòëè÷èå îò ìàòðèö A è Aε ) è áëèçêè äðóã ê äðóãó.Äîêàæåì òåïåðü ñâîéñòâî 2 î ïîäïðîñòðàíñòâå Tm Λ̃. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî â áàçèñå eε ïîäïðîñòðàíñòâî Tm Λ̃ áëèçêî ê ÿäðó îïåðàòîðà, çàäàâàåìîãî ìàòðèöåé A0 − I , ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.Ïî ïîñòðîåíèþ ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ̃ (ñì.
øàã 2 ïðåäûäóùåãî äîêàçàòåëüñòâà), ïîäïðîñòðàíñòâî Tm Λ̃ ñîñòîèò èç âñåõ âåêòîðîâ, îáðàç êîòîðûõ ïðèîòîáðàæåíèè Ã−I ïðèíàäëåæèò ïîäïðîñòðàíñòâó Tm θm . Íàïîìíèì (ñì. òàì168æå), ÷òî ïëîùàäêà θm íàòÿíóòà íà N âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ëåæèòâ ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è Êåïëåðà è òðàíñâåðñàëåí å¼ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó â áàçèñàõ e è eε ïëîùàäêàθm îáëàäàåò òàêèì æå ñâîéñòâîì.  ÷àñòíîñòè, îíà èìååò îäèí è òîò æåâèä â áàçèñàõ e è eε . Íî â áàçèñå eε îïåðàòîð à − I çàäà¼òñÿ ìàòðèöåéÃε − I , êîòîðàÿ ïî äîêàçàííîìó áëèçêà ê ìàòðèöå A0 − I . ßñíî, ÷òî ïðîîáðàç ïîäïðîñòðàíñòâà θm ïðè îòîáðàæåíèè, çàäàâàåìîì ìàòðèöåé A0 − I ýòî â òî÷íîñòè ÿäðî ýòîãî îòîáðàæåíèÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè, ïðîîáðàç ïîäïðîñòðàíñòâà θm ïðè îòîáðàæåíèè, çàäàâàåìîììàòðèöåé Ãε − I , áëèçîê ê ÿäðó ìàòðèöû A0 − I .Ýòî äîêàçûâàåò áëèçîñòü ïîäïðîñòðàíñòâà Tm Λ̃ â áàçèñå eε ê ÿäðó îïåðàòîðà, çàäàâàåìîãî ìàòðèöåé A0 − I .Øàã 2. Ðàññìîòðèì äâå ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìàòðèöû: ìàòðèöó A0 è áëèçêóþ ê íåé ìàòðèöó Ãε . Íàïîìíèì, ÷òî A0 áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöàèç ëåììû 16, à ìàòðèöà Ãε çàäà¼ò îïåðàòîð ìîíîäðîìèè à â êàíîíè÷åñêîìáàçèñå eε .Äàëåå ìàòðèöû A0 è Ãε áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê áëèçêèå ñèìïëåêòè÷åñêèå îïåðàòîðû â ïðîñòðàíñòâå IR4N îòíîñèòåëüíî ôèêñèðîâàííîãî êàíîíè÷åñêîãî áàçèñà.Ðàññìîòðèì èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà A0 : åãî êîðíåâîåïîäïðîñòðàíñòâîK = R1 (A0 ) ⊂ IR4N ,îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, è êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèåL = K⊥ê K â IR4N .Çàìåòèì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà K è L ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè îïåðàòîðà A0 , ïðè÷¼ì ñïåêòð îãðàíè÷åíèÿ ýòîãî îïåðàòîðà íàïîäïðîñòðàíñòâî K ñîñòîèò èç 1, à ñïåêòð åãî îãðàíè÷åíèÿ íà L íå ñîäåðæèò1.
 ÷àñòíîñòè, ýòè ñïåêòðû íå ïåðåñåêàþòñÿ.Ñîãëàñíî ëåììå 6 ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíîå äëÿ Ãε ñèìïëåêòè÷åñêîåïîäïðîñòðàíñòâî K̃ , áëèçêîå ê K .  ñèëó ñèìïëåêòè÷íîñòè îïåðàòîðà Ãε ,åãî êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå L̃ = K̃ ⊥ òîæå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíîÃε . ßñíî, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà L̃ è L òîæå áëèçêè.Ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó Q̃ξ = ω 2 (Ãε ξ − ξ) â Tm M . Ìû ïîêàæåì, ÷òî îãðàíè÷åíèÿ ýòîé ôîðìû íà ïîäïðîñòðàíñòâà K̃ ∩Tm Σ ' K̃/Tm γ èL̃ ÿâëÿþòñÿ çíàêîîïðåäåë¼ííûìè ôîðìàìè.
Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü ñèëüíàÿ óñòîé÷èâîñòü äâóìåðíîãî èíâàðèàíòíîãî òîðà γ 3 m êàê ìíîæåñòâàτ, à çíà÷èò, ñ ó÷¼òîì çàìå÷àíèÿ 14,íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ gH−ω1Mñòðóêòóðíàÿ óñòîé÷èâîñòü îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæåíèÿ.169Øàã 3. Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìà Q̃|L̃ çíàêîîïðåäåëåíà.Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó óñëîâèé 1, 2 ïóíêòà  òåîðåìû 11, îãðàíè÷åíèåêâàäðàòè÷íîé ôîðìû Qξ = ω 2 (A0 ξ, ξ) íà èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî Lÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåë¼ííîé ôîðìîé.
 ñàìîì äåëå, èç ÿâíîãî âèäà áëî÷íîäèàãîíàëüíîé ìàòðèöû A0 (ñì. ëåììó 16) ïîëó÷àåì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿêâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Qξ = ω 2 (A0 ξ, ξ) çàäà¼òñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé, äèàãîíàëüíûå áëîêè êîòîðîé èìåþò âèä000003ωτmi ri2000000−Ii sin α00− I1i sin α 0 0 , 0 003τ2mij rij000000−Iij sin α00− I1ij sin α,1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ ni . Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q|L çíàêîîïðåäåëåíà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà α mod π 6= 0 è âñå ÷èñëà Ii , Iijîäíîãî çíàêà, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ ni .Ñîãëàñíî ëåììå 16, Ii = [xi , ξi ], Iij = [yij , ηij ].
Ïîýòîìó çíàêè ÷èñåë Ii ,Iij ñîâïàäàþò ñî çíàêàìè óãëîâûõ ñêîðîñòåé ωi , Ωij ïëàíåò è ñïóòíèêîâ.Ïî óñëîâèþ 2 òåîðåìû 11 ïîñëåäíèå çíàêè ñîâïàäàþò. Èòàê, êâàäðàòè÷íàÿôîðìà Q|L çíàêîîïðåäåëåíà.Òàê êàê îïåðàòîð Ãε |L̃ áëèçîê ê A0 |L , òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q̃ òîæåáëèçêà ê Q. Ïîýòîìó êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q̃|L̃ ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåë¼ííîé. Îòìåòèì òàêæå, ÷òîind Q̃|L̃ = ind Q|L .(115)Øàã 4. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Q̃ îïåðàòîðà Ãεïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà íà ïîäïðîñòðàíñòâå K̃ ∩ Tm Σ.Çàìåòèì, ÷òî íóëåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî ôîðìû Q̃|K̃ ñîâïàäàåò ñ ÿäðîìîïåðàòîðà (Ã−I)|K̃ (â ñèëó òîãî, ÷òî −1 6∈ spec Ã). Íî èç ìîðñîâîñòè êðèòè÷åñêîé òî÷êè m ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè S|Σ∩Λ̃ ñëåäóåò, ÷òî ker (Ã−I)|K̃ =Tm γ . Çíà÷èò, ôîðìà Q̃|K̃∩Tm Σ íåâûðîæäåíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè ôîðìû Q̃|K̃∩Tm Σ íàì äîñòàòî÷íîïîêàçàòü, ÷òî èíäåêñ ôîðìû Q̃|K̃ ðàâåí íóëþ.Äîêàæåì ñíà÷àëà ñëåäóþùèé àíàëîã ëåììû 4 îá èíäåêñå ãåññèàíà ôóíêöèè S , îïðåäåë¼ííî íà òîðå Λ̃.Ëåììà 18. Ïóñòü m ∈ Λ̃ ìîðñîâñêàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèèS|Λ̃∩Σ , è ïóñòü Q̃ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè à âòî÷êå m. Òîãäàind Q̃ = ind Q + ind d2 S(m).170Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 4 (ñì. ï. 1.5.2).
Íàïîìíèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû áûëî îñíîâàíî íà ñëåäóþùèõ äâóõ ôàêòàõ:◦⊂ Tm M , îðòîãîíàëüíîå ïîäïðîñòðàí1. ñóùåñòâóåò ïîäïðîñòðàíñòâî Ñmñòâó Tm Λ̃ îòíîñèòåëüíî ôîðìû Q̃, òàêîå, ÷òî◦Tm M = Tm Λ̃ ⊕ Ñm2.èind Q̃|Ñm◦ = ind Q;ind d2 S(m) = ind Q̃|Tm Λ̃ .(116)Åñëè ìû äîêàæåì ýòè ôàêòû, òî ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî:ind Q̃ = ind Q̃|Ñm◦ + ind Q̃|Tm Λ̃ = ind Q + ind d2 S(m).Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü, êàê íà øàãå 5 ïðåäûäóùåãî äîêàçàòåëüñòâà,Nm = {dψ = 0} ⊂ Tm M ïîäïðîñòðàíñòâî, íîðìàëüíîå ê òîðó Λ◦ , çàïîëíåííîìó êðóãîâûìè îðáèòàìè çàäà÷ Êåïëåðà.
Èç îïðåäåëåíèÿ ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ̃ ñëåäóåò, ÷òîTm Λ̃ = {η ∈ Tm M | Ãε η − η ∈ θm } ={η ∈ Tm M | ω 2 (Ãε η − η, ν) = 0, ν ∈ Nm } ={η ∈ Tm M | ω 2 (η, Ã−1ε η − ην) = 0, ν ∈ Nm }.◦Ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî Nm= (A0 + I)−1 Nm , ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð â Tm M . Èç ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà A0 âèäíî, ÷òî ÿäðî îïåðàòîðà A0 − I òðàíñâåðñàëüíî ê ïîäïðîñòðàíñòâó Nm , à ïîýòîìó îíî òðàíñ◦âåðñàëüíî ê Nm. Ðàññìîòðèì áëèçêîå ê íåìó ïîäïðîñòðàíñòâî◦Ñm= (Ãε + I)−1 Nm . ñèëó áëèçîñòè îïåðàòîðîâ Ãε è A0 è áëèçîñòè ïîäïðîñòðàíñòâà Tm Λ̃ ê◦◦ÿäðó îïåðàòîðà A0 − I (øàã 1), ïîäïðîñòðàíñòâî Ñmáëèçêî ê Nmè òðàíñâåðñàëüíî ê Tm Λ̃.
Ïîýòîìó ôîðìà Q̃|Ñm◦ íåâûðîæäåíà è èìååò òàêîé æåèíäåêñ:ind Q̃|Ñm◦ = ind Q|Nm◦ = ind Q.◦Ïîêàæåì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà Tm Λ̃ è Ñmîðòîãîíàëüíû îòíîñèòåëüíî ôîðìû Q̃, ðàññìàòðèâàåìîé êàê ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà (37).◦âåêòîð ν = ξ + Ãε ξ ïðèíàäëåÄåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ξ ∈ Ñmæèò ïîäïðîñòðàíñòâó Nm . Ñîãëàñíî ôîðìóëå (37), èìååì11Q̃(η, ξ) = ω 2 (Ãε η, (I − Ã2ε )ξ) = ω 2 (Ãε η, (I − Ãε )ν) =221711 21 2−1ω (η, Ã−1ε (I − Ãε )ν) = ω (η, Ãε ν − ν).22◦Íî äëÿ ëþáûõ η ∈ Tm Λ̃, ξ ∈ Ñmïîñëåäíåå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ (ñì.
âû◦îòíîñèòåëüíîøå). Ýòî è çíà÷èò îðòîãîíàëüíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ Tm Λ̃ è Ñmôîðìû Q̃.2) Ðàññìîòðèì îïåðàòîðB : Tm Λ̃ → Tm θm ,Bη = Ãε η − η,η ∈ Tm Λ̃.Èç ôîðìóëû (114) ïîëó÷àåì, ÷òî â ëþáîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå m ôóíêöèè S ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà, îòâå÷àþùàÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìåd2 S(m), èìååò ñëåäóþùèé âèä â áàçèñå eε :d2 S(m)η1 η = ω 2 (Bη1 , η) = ω0 (Bη1 , η),η1 , η ∈ Tm Λ̃,ãäå ω0 îãðàíè÷åíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû íà ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ïîäïðîñòðàíñòâ (Tm θm ) × (Tm Λ̃). Èç (37) ïîëó÷àåì, ÷òî ñèììåòðè÷íàÿáèëèíåéíàÿ ôîðìà Q̃|Tm Λ̃ èìååò òàêîé æå âèä:Q̃η1 η = ω1 (Bη1 , η),η1 , η ∈ Tm Λ̃,ãäå áèëèíåéíàÿ ôîðìà1ω1 (ξ, η) = ω 2 (ξ, Ãε η + η),2ξ ∈ Tm θm , η ∈ Tm Λ̃,áëèçêà ê ôîðìå ω0 . Ïðè ëþáîì t, 0 ≤ t ≤ 1, ðàññìîòðèì áèëèíåéíóþ ôîðìóωt íà (Tm θm ) × (Tm Λ̃) è áèëèíåéíóþ ôîðìó Qt íà Tm Λ̃ âèäàωt = (1 − t)ω0 + tω1 ,Qt η1 η = ωt (Bη1 , η).Èç íåâûðîæäåííîñòè ñïàðèâàíèÿ âåêòîðîâ ïîäïðîñòðàíñòâ Tm Λ̃ è Tm θmïðè ïîìîùè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω 2 ñëåäóåò, ÷òî ÿäðî áèëèíåéíîéôîðìû Qt ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðà B (ïðè ëþáîì t, 0 ≤ t ≤ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
