Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Òåïåðü ðàññìîòðèì íà òîðå Λ̃ ãëàäêóþ ôóíêöèþ S , äèôôåðåíöèàë êîòîðîé èìååò âèädS(m) =nXi=1((p0ψi − pψi )dψi + εniX(p0ψij − pψij )dψij ),(111)j=1ãäå p0ψi , p0ψij íàáîð óãëîâûõ èìïóëüñîâ îáðàçà òî÷êè m ïðè îòîáðàæåíèè21Ïóàíêàðå gṼτ , ε = µνωR = µ 3 νω 3 . Òàêàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò, òàê êàê îíà ðàâíà îãðàíè÷åíèþ íà òîð Λ̃ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âèäà(14) ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ gṼτ (ñì.
ï. 1.4.5).Äåéñòâèòåëüíî, íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî â êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ p, q mod 2π ôóíêöèÿìè p0 =p0 (p, q), q 0 = q 0 (p, q), ìîæíî îïðåäåëèòü (ïî ìåíüøåé ìåðå ëîêàëüíî) ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Ψ = Ψ(m) âèäà (14), m = (p, q) = (p1 , . . .
, pn , q1 , . . . , qn ).PÄëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì 1ôîðìó α = (p0 −p)dq+(q−q 0 )dp0 = ni=1 ((p0i −pi )dqi +(qi − qi0 )dp0i ). Èç ñèìïëåêòè÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî ýòà ôîðìà çàìêíóòà: dα = 0, à çíà÷èò, ëîêàëüíî îíà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé. Îïðåäåëèì162ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Ψ ðàâåíñòâîìdΨ(m) = α(m) = (p0 − p)dq + (q − q 0 )dp0 . íàøåé ñèòóàöèè, ñîãëàñíî ïóíêòó 3 ëåììû 15, àíàëîãè÷íàÿ 1ôîðìà αîïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåα(m) = (ξξ0 − ξ )dx + (x − x0 )dξξ0 + ε(ηη 0 − η )dy + ε(y − y0 )dηη 0 .Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 5 ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòàôîðìà òî÷íà, à çíà÷èò, ôóíêöèÿ Ψ êîððåêòíî îïðåäåëåíà. À èìåííî, äëÿäîêàçàòåëüñòâà òî÷íîñòè ôîðìû α íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî âîçìóùåíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ñîõðàíÿåò öåíòð òÿæåñòè.
Ïîñëåäíå â äàííîìñëó÷àå î÷åâèäíî, òàê êàê âîçìóù¼ííàÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé íà êîêàñàòåëüíîì ðàññëîåíèè êîíôèãóðàöèîííîãî ìíîãîîáðàçèÿ è, òåì ñàìûì, òî÷íà. Íåâîçìóù¼ííàÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà òîæå òî÷íà (êàê ïðåäåë òî÷íûõ 2ôîðì),õîòÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé. Çíà÷èò, âîçìóùåíèå ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé 2ôîðìîé è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîõðàíÿåò öåíòðòÿæåñòè.Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ S íà íàøåì òîðå Λ̃ îïðåäåëåíà êîððåêòíî, ñòî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî.Ïðîâåä¼ì â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå çàäà÷è òðàíñâåðñàëü âèäànXΣ=(ωi ψi +i=1niXΩij ψij ) = 0,j=1nX(ψi +i=1niXj=1ψij ) = 0 ,ê èñõîäíûì äâóìåðíûì òîðàì íà Λ, çàïîëíåííûì ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. (Ïîâåðõíîñòü Σ äåéñòâèòåëüíî òðàíñâåðñàëüíà ýòèì äâóìåðíûì òîðàì, òàê êàê ýòè òîðû êàñàòåëüíû ê äâóì âåêòîðíûì ïîëÿì, ÿâíî óêàçàííûì íà øàãå 1.)Îãðàíè÷èì ôóíêöèþ S íà (N − 2)ìåðíûé òîð, ÿâëÿþùèéñÿ ïåðåñå÷åíèåì N ìåðíîãî òîðà Λ̃ ñ òðàíñâåðñàëüþ Σ.
Ðàññìîòðèì êðèòè÷åñêèå òî÷êèýòîãî îãðàíè÷åíèÿ.  ñèëó (111), ýòî â òî÷íîñòè òî÷êè m ∈ Σ∩ Λ̃, êîòîðûåïðè îòîáðàæåíèè gṼτ ñìåùàþòñÿ âäîëü äâóìåðíîé ïëîñêîñòè, íàòÿíóòîé íàâåêòîðûV1 =nXi=1(εωiniX∂∂+),Ωij∂pψi j=1∂pψijV2 =nX(εi=1niX∂∂+).∂pψi j=1 ∂pψijÐàññìîòðèì ëþáóþ òàêóþ òî÷êó.
Ïóñòü ïðè îòîáðàæåíèè gṼτ îíà ñìåùàåòñÿíà âåêòîð λ1 V1 + λ2 V2 . Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ýòà òî÷êà íåïîäâèæíà ïðèîòîáðàæåíèè gṼτ , ò.å. ÷òî λ1 = λ2 = 0.163Øàã 4. Èäåÿ íàøåãî äîêàçàòåëüñòâà áóäåò ñîñòîÿòü ïðåæäå âñåãî â òîì,÷òî ïîëíàÿ ýíåðãèÿ H è êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò M ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè ñèñòåìû è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîõðàíÿþòñÿ ïðè ðàññìàòðèâàåìîìîòîáðàæåíèè. Êðîìå òîãî, ìû âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî âåêòîð êîýôôèöèåíòîâ (λ1 , λ2 ) ìàë, åñëè ïàðàìåòð âîçìóùåíèÿ µ ìàë. È íàêîíåö, ìû âîñïîëüçóåìñÿ ïóíêòîì 2 ëåììû 15, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî äèôôåðåíöèàëûôóíêöèé H è M â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå áëèçêè ê ëèíåéíûì êîìáèíàöèÿì äèôôåðåíöèàëîâ dpψi , dpψij óãëîâûõ èìïóëüñîâ ïëàíåò è ñïóòíèêîâ ñêîýôôèöèåíòàìè ωωi , ωε Ωij è 1, ε ñîîòâåòñòâåííî. ñèëó ëåììû 15, ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M ïðè ñäâèãåPP iâäîëü âåêòîðà λ1 V1 + λ2 V2 â òî÷íîñòè ðàâíî ε(N λ1 + ni=1 (ωi + nj=1Ωij )λ2 ).Òàê êàê çíà÷åíèå êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M ñîõðàíÿåòñÿ, òîN λ1 +nX(ωi +i=1niXΩij )λ2 = 0.(112)j=1 ñèëó ëåììû 15, ïðèðàùåíèå ýíåðãèè H ñêëàäûâàåòñÿ èç ïðèðàùåíèéêèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé çàäà÷ Êåïëåðà, îòâå÷àþùèõ ïëàíåòàì è ñïóòíèêàì,ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòàì λ1 , λ2 èçìåíåíèÿõ ñîîòâåòñòâóþùèõóãëîâûõ èìïóëüñîâ.Ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè iòîé ïëàíåòû ïðè èçìåíåíèè å¼ óãëîâîãî èìïóëüñà íà âåëè÷èíó ε(λ1 + ωi λ2 ) ýêâèâàëåíòíî ε(λ1 + ωi λ2 )ωi /ω(ò.å.
îòëè÷àåòñÿ îò ýòîãî ÷èñëà óìíîæåíèåì íà íåêîòîðîå ÷èñëî, áëèçêîå ê1); ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè j òîãî ñïóòíèêà ýòîé ïëàíåòû ïðèèçìåíåíèè åãî óãëîâîãî èìïóëüñà íà âåëè÷èíó λ1 + Ωij λ2 ýêâèâàëåíòíîε(λ1 Ωij + λ2 Ω2ij ).ωÑêëàäûâàÿ ïîëó÷åííûå ïðèðàùåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ïîëíîå ïðèðàùåíèåPèíòåãðàëà ýíåðãèè ïðè ñäâèãå âäîëü âåêòîðà λ1 V1 +λ2 V2 ðàâíî ωε ni=1 (λ1 ωi +P iλ2 ωi2 + nj=1(λ1 Ωij + λ2 Ω2ij )), ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí, ìíîãî ìåíüøèõ, ÷åìε(|λ1 |+|λ2 |), à ïðè îòñóòñòâèè ñïóòíèêîâ ìíîãî ìåíüøèõ, ÷åì ε(|λ1 |+|λ2 |)ωïðè µ ¿ 1.
Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñïóòíèêè åñòü, ò.å.n < N (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû). Òàê êàê çíà÷åíèåýíåðãèè H ñîõðàíÿåòñÿ, òîλ1nXi=1(ωi +niXj=1Ωij ) + λ2nXniXi=1j=1(ωi2 +Ω2ij ) = o(|λ1 | + |λ2 |).(113)Òàêèì îáðàçîì, ìàëûé âåêòîð êîýôôèöèåíòîâ (λ1 , λ2 ) óäîâëåòâîðÿåòëèíåéíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé (112), (113). Ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî ïî óñëîâèþâåëè÷èíû Ωij îãðàíè÷åíû è îòäåëåíû îò íóëÿ, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëèáî164âûïîëíÿåòñÿ òðåáóåìîå ðàâåíñòâî λ1 = λ2 = 0, ëèáî îïðåäåëèòåëüNnXi=1(ωi2 +niXnXΩ2ij ) − (j=1(ωi +i=1niXΩij ))2j=1ýòîé ñèñòåìû áëèçîê ê íóëþ. Íî ìàòðèöà ýòîé ëèíåéíîé ñèñòåìû ýòîâ òî÷íîñòè ìàòðèöà Ãðàìà äëÿ ñèñòåìû äâóõ âåêòîðîâ V1◦ è V2◦ èç (109),(110), ò.å. ìàòðèöà (2 × 2), ñîñòàâëåííàÿ èç ïîïàðíûõ ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé ýòèõ âåêòîðîâ. Òàêàÿ ìàòðèöà âñåãäà íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà, å¼âûðîæäåííîñòü ýêâèâàëåíòíà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè âåêòîðîâ V1◦ , V2◦ , à áëèçîñòü å¼ îïðåäåëèòåëÿ ê íóëþ ýêâèâàëåíòíà áëèçîñòè âåêòîðîâ V1◦ , V2◦ ê ïðîïîðöèîíàëüíûì âåêòîðàì.
Ïîñëåäíåå íåâîçìîæíî, òàê êàê âñå êîìïîíåíòûâåêòîðà V2◦ ðàâíû 1, à âåêòîð V1◦ èìååò n ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò ïîðÿäêà ωè N − n ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò ïîðÿäêà 1. Ñëåäîâàòåëüíî, λ1 = λ2 = 0, ÷òîè òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Èòàê, âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè S|Σ∩Λ̃ íåïîäâèæíû ïðè îòîáðàæåíèè gṼτ è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèè S .Øàã 5.
Ïîêàæåì, ÷òî ìîðñîâñêèì êðèòè÷åñêèì òî÷êàì ôóíêöèè S|Σ∩Λ̃îòâå÷àþò íåâûðîæäåííûå çàìêíóòûå òðàåêòîðèè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ñâîéñòâà2◦ óòâåðæäåíèÿ 6, ñì. ï. 1.5.1.Êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ôóíêöèè S â ëþáîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå m ∈ Λ̃ èìååò âèäd2 S(m) =nXniXi=1j=1((dp0ψi − dpψi )dψi + ε(dp0ψij − dpψij )dψij ).(114)Èç ïîñòðîåíèÿ ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ̃ ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû âèäà ξ1 =− η1 , ãäå η1 ∈ Tm Λ̃, êàñàòåëüíû ê ïëîùàäêå θm . Îòñþäà, ñ ó÷¼òîìôîðìóëû (114), ïîëó÷àåì, ÷òî íóëåâîå ïðîñòðàíñòâî êâàäðàòè÷íîé ôîðìûd2 S(m) ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðàdgṼτ (m)η1B : Tm Λ̃ → Tm θm ,B(η1 ) = dgṼτ (m)η1 − η1 .Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ÿäðî îïåðàòîðà B ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì îïåðàòîðàdgṼτ (m) − I , ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîîïåðàòîð (dgṼτ (m) − I) : Tm M = (Tm Λ̃) ⊕ Nm → Tm M = (Tm θm ) ⊕ DmÃ!B ∗çàäà¼òñÿ áëî÷íîé ìàòðèöåé âèäà, ãäå ìàòðèöà C íåâûðîæäåíà0 Câñëåäñòâèå íåâûðîæäåííîñòè òîðà Λ (ñì. âûøå). Çäåñü Nm = {dψ = 0} ⊂Tm M ïîäïðîñòðàíñòâî, íîðìàëüíîå ê òîðó Λ◦ , çàïîëíåííîìó êðóãîâûìèîðáèòàìè çàäà÷ Êåïëåðà.165Òàêèì îáðàçîì, êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè S|Σ∩Λ̃ ñîâïàäàþò ñ òî÷êàìèïåðåñå÷åíèÿ äâóìåðíûõ òîðîâ, îòâå÷àþùèõ τ ïåðèîäè÷åñêèì òðàåêòîðèÿìâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, ñ ñå÷åíèåì Σ. Ïðè ýòîì ìîðñîâñêèì êðèòè÷åñêèìòî÷êàì â òî÷íîñòè îòâå÷àþò íåâûðîæäåííûå äâóìåðíûå òîðû.Îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ îöåíêó äëÿ ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé. À èìåííî, âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûìèîöåíêàìè äëÿ ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãëàäêîé ôóíêöèèíà ìíîãîîáðàçèè â ñëó÷àå, êîãäà ýòî ìíîãîîáðàçèå N − 2ìåðíûé òîð[13].
Ñîãëàñíî ýòèì îöåíêàì, ÷èñëî ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëè÷íûõ êðèòè÷åñêèõòî÷åê íå ìåíüøå êàòåãîðèè Ëþñòåðíèêà-Øíèðåëüìàíà ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ, êîòîðàÿ äëÿ (N − 2)ìåðíîãî òîðà ðàâíà N − 1. ×èñëîêðèòè÷åñêèõ òî÷åê, ñ÷èòàÿ ñ êðàòíîñòÿìè, íå ìåíüøå ñóììû ÷èñåë Áåòòèýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ, êîòîðàÿ äëÿ (N − 2)ìåðíîãî òîðà ðàâíà 2N −2 . Ýòîçàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ïóíêòîâ À, Á òåîðåìû 11.Çàìå÷àíèå 23. ñóùíîñòè, ïðèâåä¼ííîå äîêàçàòåëüñòâî ñîâïàäàåò ñîñòàíäàðòíûì, ñì. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 1, 5. Îòëè÷èå îò ñòàíäàðòíîãî äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â òîì, ÷òî çäåñü ïðèìåíèòü òåîðåìó 5 íåïîñðåäñòâåííî íåëüçÿ, òàê êàê íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà â îòëè÷èå îò âîçìóù¼ííîé íåÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé.3.3.2 Óñòîé÷èâîñòü îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèéÄîêàæåì ïóíêò  òåîðåìû 11 îá óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó óòâåðæäåíèÿ 7 îá óñòîé÷èâîñòè â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè íåïîäâèæíûõ òî÷åê ñèìïëåêòè÷åñêèõîòîáðàæåíèé.Îïèøåì ñíà÷àëà èäåþ äîêàçàòåëüñòâà.  îòëè÷èå îò ñèòóàöèè òåîðåìû 3, â çàäà÷å î äâèæåíèè ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû íåâîçìóù¼ííàÿñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé. Ïîýòîìó òåîðåìó 3 íåëüçÿ ïðèìåíèòüíåïîñðåäñòâåííî, îäíàêî ìîæíî ïðèìåíèòü àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ.Ðàññìîòðèì ëþáîå ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå âîçìóù¼ííîé çàäà÷è, è íàéä¼ì îïåðàòîð ìîíîäðîìèè, îòâå÷àþùèé ýòîìó äâèæåíèþ. Ïóñòü m0 ∈ Λ òî÷êà, áëèçêàÿ ê íà÷àëüíîé òî÷êå m ýòîãî äâèæåíèÿ, eε (m0 ) êàíîíè÷åñêèé áàçèñ èç ñëåäñòâèÿ 13, ãäå21ε = µνωR = µ 3 νω 3 .Ïåðåíåñ¼ì áàçèñ eε (m0 ) â òî÷êó m.
Ñ ïîìîùüþ ñëåäñòâèÿ 14 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì áàçèñå îïåðàòîð ìîíîäðîìèè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû áëèçîêê îïåðàòîðó ìîíîäðîìèè èç ëåììû 16. Ïîýòîìó â äàííîé ñèòóàöèè òàêæå166ïðèìåíèìû ðàññóæäåíèÿ, èñïîëüçîâàííûå íàìè ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3. Ïåðåéä¼ì ê ïîäðîáíîìó äîêàçàòåëüñòâó.Ïóñòü m ∈ Λ̃ ∩ Σ ìîðñîâñêàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè S|Λ̃∩Σ . Ïîêàæåì, ÷òî ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ýòó òî÷êó äâóìåðíûéèíâàðèàíòíûé òîð γ 3 m âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû îðáèòàëüíî óñòîé÷èâ âëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè íà îáùåé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèé H è M .Øàã 1. Ïîëîæèì ε = µνωR (ýòî ÷èñëî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè µ → 0 èëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ ω , ν ). Ïóñòü eε = eε (m0 ) áàçèñ èç ñëåäñòâèÿ 14.Ñîãëàñíî äîêàçàííîìó, ëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà m ∈ Λ̃ ôóíêöèè Síåïîäâèæíà îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå.
Ðàññìîòðèì îïåðàòîðëèíåàðèçàöèè à = dgṼτ (m) âîçìóù¼ííîãî îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå â òî÷êåm. Ïåðåíåñ¼ì â òî÷êó m áàçèñ e = e(m0 ) (èç íåêîòîðîé áëèçêîé ê òî÷êå mòî÷êè m0 ∈ Λ). Ïîëó÷åííûé áàçèñ òîæå îáîçíà÷èì ÷åðåç e.Ïðèìåíèì ê áàçèñó e óêàçàííóþ âûøå îïåðàöèþ ðàñòÿæåíèÿ, çàâèñÿùóþ îò ε. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ãε ìàòðèöó îïåðàòîðà à â ïîëó÷åííîì áàçèñåeε .Êàê è â ñëåäñòâèè 14, îáîçíà÷èì ÷åðåç A0 áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó èç ëåììû 16.Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé àíàëîãñëåäñòâèÿ 14:1. Ìàòðèöà Ãε îïåðàòîðà à â áàçèñå eε áëèçêà ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîéìàòðèöå A0 .2.
Ïîäïðîñòðàíñòâî Tm Λ̃ ⊂ Tm M áëèçêî ê ïîäïðîñòðàíñòâó, íàòÿíóòîìóíà N áàçèñíûõ âåêòîðîâ áàçèñà eε , ÿâëÿþùèõñÿ ïåðâûìè âåêòîðàìèáàçèñîâ, îòâå÷àþùèõ ïëàíåòàì è ñïóòíèêàì.Çäåñü áëèçîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå Tm M ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå åâêëèäîâîé ñòðóêòóðû â Tm M , îòâå÷àþùåé áàçèñó eε (ò.å.áàçèñ eε ñ÷èòàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì ïî îòíîøåíèþ ê ýòîé ñòðóêòóðå).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî áàçèñ e ñîñòàâëåí èç äâóõãðóïï âåêòîðîâ, îòâå÷àþùèõ ïëàíåòàì è ñïóòíèêàì ñîîòâåòñòâåííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
