Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Ëèíåéíàÿ ÷àñòü îòîáðàæåíèÿ çà ïåðèîä íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû (96) â îáùåì áàçèñå e(m), ñîñòîÿùåì èç áàçèñîâ ýòîãî íàáîðà, çàäà¼òñÿáëî÷íîé (íèæíåòðåóãîëüíîé) ìàòðèöåé, íà äèàãîíàëüíûõ áëîêàõ êîòîðîéñòîÿò ìàòðèöû èç ëåììû 16, â êîòîðûõ ÷èñëà αij , áûòü ìîæåò, çàìåíåíû íà ω 2 τ áëèçêèå ê íèì ÷èñëà âèäà α̃ij = αij + O(ω 2 τ ), 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ ni . Ïðè ýòîì áàçèñíûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ïëàíåòàì, ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîîðäèíàòíûìè âåêòîðàìè èç ëåììû 16,154ïåðâûå äâà âåêòîðà ëþáîãî áàçèñà, îòâå÷àþùåãî ñïóòíèêó, ω áëèçêè ê ñîîòâåòñòâóþùèì êîîðäèíàòíûì âåêòîðàì èç ëåììû 16, à äðóãèå äâà âåêòîðà îãðàíè÷åíû.
Çäåñü τ ëþáîé îòíîñèòåëüíûé ïåðèîä äâèæåíèÿ, íàïðèìåð, âèäà τ = 2πèëè ìèíèìàëüíûé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä τ = τmin .ωÇàìå÷àíèå 21.  ñèëó ñëåäñòâèÿ 13 ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà c2 > 0, òàêàÿ,÷òî |α̃ij − αij | < c32 ω 2 τ . Ïóñòü c2 ω 2 τ < π , ò.å. âûïîëíåíî óñëîâèå (93). Òîãäà,åñëè óãîë α mod 2π îòäåë¼í îò íóëÿ íà âåëè÷èíó, íå ìåíüøóþ, ÷åì c2 ω 2 τ ,òî α̃ij mod 2π 6= 0. Ïîýòîìó N ìåðíûé òîð Λ, çàïîëíåííûé çàìêíóòûìèτ ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, íåâûðîæäåí.Çàìå÷àíèå 22. ìàòðèöå èç ñëåäñòâèÿ 13 ýëåìåíòû ïîä äèàãîíàëüþ,âîîáùå ãîâîðÿ, íå îãðàíè÷åíû.
Èç ýòîãî ñëåäñòâèÿ ìîæíî âûâåñòè, ÷òî ýòèýëåìåíòû èìåþò ïîðÿäîê O(ω 2 ecτ ), ãäå c > 0 íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ îò êîíñòàíòû c1 èç çàìå÷àíèÿ 20.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ êàæäîé ïëàíåòû íåâîçìóù¼ííàÿ çàäà÷à ñîâïàäàåòñ ìîäåëüíîé, ïîýòîìó â êà÷åñòâå èñêîìûõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ, îòâå÷àþùèõïëàíåòàì, ìû ñðàçó âîçüì¼ì êîîðäèíàòíûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå êàíîíè÷åñêèì êîîðäèíàòàì (ϕi mod 2π, Ii , qi , pi ), 1 ≤ i ≤ n, èç ëåììû 16.Äëÿ êàæäîãî ñïóòíèêà îáîçíà÷èì ÷åðåç e1 , e2 , e3 , e4 êîîðäèíàòíûé áàçèñ, îòâå÷àþùèé ñîîòâåòñòâóþùèì êàíîíè÷åñêèì êîîðäèíàòàì(ϕij mod 2π, Iij , qij , pij ),1 ≤ j ≤ ni ,èç ëåììû 16.
Ìû ïîñòðîèì íîâûé êàíîíè÷åñêèé áàçèñ f1 , f2 , f3 , f4 , óäîâëåòâîðÿþùèé òðåáîâàíèþ äîêàçûâàåìîãî ñëåäñòâèÿ 13, ïðè÷¼ì âåêòîðûf1 è f2 ýòîãî áàçèñà áóäóò ω áëèçêè ê âåêòîðàì e1 è e2 ñîîòâåòñòâåííî, àâåêòîðû f3 è f4 îãðàíè÷åíû.Ðàññìîòðèì äâèæåíèå Õèëëà j òîãî ñïóòíèêà iòîé ïëàíåòû êàê îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå. Ïóñòü βij , τij ïàðàìåòðû ýòîãî äâèæåíèÿ, ñì. îïðåäåëåíèå 20. Îòìåòèì, ÷òî ìèíèìàëüíûé ïîëîæèòåëüíûéïåðèîä τij äâèæåíèÿ Õèëëà èìååò ïîðÿäîê 1, à óãîë βij èìååò ïîðÿäîê ω :τij = 2π/(Ωij − ωi ) ∼ 1, βij = ωi τij ∼ ω , ãäå ωi è Ωij ñðåäíèå ÷àñòîòûäâèæåíèé ïëàíåòû è ñïóòíèêà ñîîòâåòñòâåííî.Ïî ëåììå 17, äâèæåíèå Õèëëà ω 2 áëèçêî ê äâèæåíèþ çàäà÷è Êåïëåðà.Íî äëÿ çàäà÷è Êåïëåðà, ñîãëàñíî ëåììå 16, ëèíåàðèçàöèÿ îòîáðàæåíèÿ çàïåðèîä τij çàäà¼òñÿ ìàòðèöåéAij = 1000a0100cos βij0 −Iij sin βij155001sin βijIijcos βij−3τîòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò (ϕij mod 2π, Iij , qij , pij ), ãäå a = mij rij2 .
Ñëåäîâàòåëüijíî, â ëþáîé òî÷êå p çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ðåøåíèÿ Õèëëà, ëèíåàðèçàöèÿîòîáðàæåíèÿ çà ïåðèîä τij (ïðè ôèêñèðîâàííîì äâèæåíèè ïëàíåòû) çàäà¼òñÿ íåêîòîðîé ìàòðèöåé Ãij , ω 2 áëèçêîé ê ìàòðèöå Aij . Íàñ èíòåðåñóåòëèíåàðèçàöèÿ îòîáðàæåíèÿ çà ïåðèîä τ = Nij τij , ãäå Nij íàòóðàëüíîå÷èñëî ïîðÿäêà τ . Ýòà ëèíåàðèçàöèÿ çàäà¼òñÿ ìàòðèöåé ÃNij .)Äàëåå ìû áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ëèíåéíûå îïåðàòîðû ñ èõ ìàòðè÷íûìèïðåäñòàâëåíèÿìè îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò (ϕij mod 2π, Iij , qij , pij ).
Çàìåòèì,÷òîà) ñïåêòð îïåðàòîðà Aij ñîñòîèò èç òð¼õ ÷èñåë: spec Aij = {1, e±iβij },á) ñïåêòð îïåðàòîðà Ãij ñîäåðæèò 1, òàê êàê êàñàòåëüíûé âåêòîð ê òðàåêòîðèè ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæåíèÿ Õèëëà íåïîäâèæåí ïðè îòîáðàæåíèè çàïåðèîä,â) îïåðàòîð Ãij (êàê è Aij ) ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì, ò.å. ñîõðàíÿåò2ñòàíäàðòíóþ ñèìïëåêòè÷åñêóþ áèëèíåéíóþ ôîðìó ωij, çàäàâàåìóþ ìàòðè0 1 0 0 −1 0 0 0 öåé , òàê êàê ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì îòîáðàæåíèÿ çà 0 0 0 1 0 0 −1 0ïåðèîä íåêîòîðîé íåàâòîíîìíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.ã) îïåðàòîðû Aij è Ãij ω 2 áëèçêè.Ìû âûâåäåì èç ýòèõ ñâîéñòâ, ÷òî ñïåêòð îïåðàòîðà Ãij òîæå ñîñòîèò èç òð¼õ÷èñåë: spec Ãij = {1, e±iβ̃ij }, ãäå β̃ij = βij + O(ω 2 ).
Áîëåå òîãî, ñóùåñòâóåòêàíîíè÷åñêèé áàçèñ f1 , f2 , f3 , f4 , â êîòîðîì îïåðàòîð Ãij ïðèâîäèòñÿ ê âèäó1000a0100cos β̃ij0 −Iij sin β̃ij001sinβ̃ijIijcos β̃ij.(107)Åñëè ìû ýòî äîêàæåì, òî ñëåäñòâèå áóäåò äîêàçàíî: Nij íàÿ ñòåïåíü ïîñëåäíåé ìàòðèöû èìååò òàêîé æå âèä, êàê ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà âëåììå 16, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî óãîë αij íóæíî çàìåíèòü íà Nij β̃ij =αij + Nij (β̃ij − βij ) = αij + O(ω 2 τ ).Ïîÿñíèì, ÷òî çäåñü ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷ó Õèëëà j òîãî ñïóòíèêà iòîé ïëàíåòû ïðè ôèêñèðîâàííîì êðóãîâîì äâèæåíèè ýòîé ïëàíåòû.
Ïîýòîìó âî âñåé íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷å ìàòðèöà îïåðàòîðà ìîíîäðîìèè íå áóäåò,âîîáùå ãîâîðÿ, áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé, à ëèøü áëî÷íîé íèæíåòðåóãîëüíîé.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñïåêòðà îïåðàòîðà Ãij íàéä¼ì åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêèéìíîãî÷ëåí χ̃(λ). Èç ñâîéñòâ á), â) ïîëó÷àåì, ÷òîχ(λ) = (λ − 1)2 (λ2 + 2λ cos βij + 1),156χ̃(λ) = (λ − 1)2 (λ2 + λt + 1),ãäå t = trÃij ñëåä îïåðàòîðà Ãij . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ÿâíîãî âèäàìàòðèöû Aij è ω 2 áëèçîñòè ê íåé ìàòðèöû Ãij (ñâîéñòâî ã), ñ ó÷¼òîì òîãî,÷òî cos βij = 1 + O(ω 2 ), sin βij = O(ω), èìååì ñëåäóþùóþ ñâÿçü ìåæäó èõîïðåäåëèòåëÿìè è ñëåäàìè:det Ãij − det Aij = trÃij − trAij + O(ω 3 ).Îòñþäà è èç ñèìïëåêòè÷íîñòè ìàòðèöû Ãij íàõîäèì: trÃij = trAij +O(ω 3 ) =2 cos βij + O(ω 3 ) = 2 cos β̃ij , ãäå β̃ij = βij + O(ω 2 ), ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå î ñïåêòðå îïåðàòîðà Ãij .Îñòàëîñü ïîñòðîèòü êàíîíè÷åñêèé áàçèñ f1 , f2 , f3 , f4 , ïðèâîäÿùèé ñèìïëåêòè÷åñêèé îïåðàòîð Ãij ê âèäó (107).
Ïåðåéä¼ì ê íîâîìó êàíîíè÷åñêîìó áàçèñó, ω 2 áëèçêîìó ê èñõîäíîìó áàçèñó e1 , e2 , e3 , e4 , â êîòîðîì ïåðâûéáàçèñíûé âåêòîð êàñàòåëåí ê òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ Õèëëà â íåêîòîðîé å¼òî÷êå p. Ïîñòðîåííûé áàçèñ ìû äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷åíèé ñíîâà îáîçíà÷èì÷åðåç e1 , e2 , e3 , e4 .  ýòîì áàçèñå ïåðâûé ñòîëáåö è âòîðàÿ ñòðîêà ìàòðèöûÃij èìåþò íóæíûé âèä: (1, 0, 0, 0)τ è (0, 1, 0, 0).Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü Ãij − I îïåðàòîðà Ãij è òîæäåñòâåííîãî îïåðàòîðàI . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ðàíã îïåðàòîðà Ãij − I ðàâåí òð¼ì è, áîëåå òîãî,åãî îáðàç Im(Ãij − I) ñîâïàäàåò ñ íåêîòîðûì èíâàðèàíòíûì òð¼õìåðíûìïîäïðîñòðàíñòâîì L3 , íàòÿíóòûì íà âåêòîðû âèäà e1 + O(ω 2 ), e3 + O(ω) èe4 + O(ω) (ðàâíûå a1 (Ãij e2 − e2 ), Iij1βij (Ãij e4 − e4 ) è − Iij1βij (Ãij e3 − e3 ) ñîîòâåòñòâåííî).
Èç ñèìïëåêòè÷íîñòè îïåðàòîðà Ãij ñëåäóåò, ÷òî ïåðâûé áàçèñíûéâåêòîð e1 ïðèíàäëåæèò ïîäïðîñòðàíñòâó L3 . Çíà÷èò, L3 íàòÿíóòî òàêæå íàâåêòîðà e1 , e3 + O(ω), e4 + O(ω).Ïðèìåíÿÿ ê ïîñëåäíèì âåêòîðàì îïåðàòîð Ãij −E åù¼ ðàç, àíàëîãè÷íûìîáðàçîì ïîëó÷àåì, ÷òî îáðàç L2 îïåðàòîðà (Ãij − E)2 äâóìåðåí è íàòÿíóòíà âåêòîðû âèäà e3 + O(ω) è e4 + O(ω). (ßñíî, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî L2èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà Ãij , è ñïåêòð îïåðàòîðà Ãij |L2 ðàâåíe±iβ̃ij .)Âûáåðåì â ïîäïðîñòðàíñòâå L2 êàêîé-íèáóäü êàíîíè÷åñêèé áàçèñ ẽ3 , ẽ4 ,âåêòîðû êîòîðîãî ω áëèçêè ê e3 , e4 , à â êîñîîðòîãîíàëüíîì äîïîëíåíèè K 2ê L2 êàíîíè÷åñêèé áàçèñ ẽ1 = e1 , ẽ2 , ãäå âåêòîð ẽ2 ω áëèçîê ê e2 .
(Ýòèáàçèñû ìîæíî âûáðàòü îäíîçíà÷íî, ïîòðåáîâàâ, íàïðèìåð, ÷òîáû ïðîåêöèèâåêòîðîâ ẽ3 è ẽ4 íà ïëîñêîñòü âåêòîðîâ e3 , e4 èìåëè âèä e3 , (1 + O(ω))e4 , àïðîåêöèÿ âåêòîðà ẽ2 íà ïëîñêîñòü âåêòîðîâ e1 , e2 èìåëà âèä (1 + O(ω))e2 .)Òàê êàê ïîäïðîñòðàíñòâà K 2 è L2 èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðàÃij , òî â íîâîì áàçèñå ẽ1 , ẽ2 , ẽ3 , ẽ4 , ω áëèçêîì ê e1 , e2 , e3 , e4 , ýòîò îïåðàòîð157èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíûé âèä:1 a0 0 00 1 0 00 0 a1 a20 0 a3 a4.(108)Äîìíîæèâ âåêòîðû ẽ1 è ẽ2 íà ïîäõîäÿùåå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ω áëèçêîå ê 1, ëåãêî äîáèòüñÿ ðàâåíñòâà a0 = a.Çàìåíèì òåïåðü âåêòîð ẽ4 íà îãðàíè÷åííûé âåêòîð˜ẽ4 =1(ẽ3 cos β̃ij − Ãij ẽ3 )Iij sin β̃ij(ýòîò âåêòîð îãðàíè÷åí, ïîñêîëüêó îïåðàòîð Ãij |L2 ω áëèçîê ê òîæäåñòâåííîìó). Äîìíîæèì âåêòîðû ẽ3 è ˜ẽ4 íà ïîäõîäÿùåå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî,òàê, ÷òîáû çíà÷åíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû íà íèõ ñòàëî ðàâíûì ±1.(Ïîòîì ìû ïîêàæåì, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè ïîñëåäíåå çíà÷åíèå ðàâíî 1.)ßñíî, ÷òî â ïîñòðîåííîì áàçèñå, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç f1 , f2 , f3 , f4 ,ñèìïëåêòè÷åñêèé îïåðàòîð Ãij ïðèìåò íóæíûé âèä (107).Ïîêàæåì, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, íà êîòîðîå ìû äîìíîæèëè âåêòîðûẽ3 è ˜ẽ4 , îãðàíè÷åíî.
Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî çíà÷åíèå ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû íà ïàðå âåêòîðîâ ẽ3 è ẽ˜4 îòäåëåíî îò íóëÿ. Ïîñëåäíåå ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ÷èñëî a3 / sin βij îòäåëåíî îò íóëÿ, è ñëåäóåò èç ñëåäóþùåéöåïî÷êè:µ1 − sin2 β̃ij = cos2 β̃ij =a1 + a42¶2≥ a1 a4 = 1 + a2 a3 ,ïîñêîëüêó |a2 | = O(ω) = O(sin βij ).Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ïîñòðîåííûé áàçèñ f1 , f2 , f3 , f4 ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì, ò.å. ÷òî çíà÷åíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû íà íà ïàðåâåêòîðîâ ẽ3 è ẽ˜4 ïîëîæèòåëüíî. Äðóãèìè ñëîâàìè, íóæíî ïîêàçàòü, ÷òîa3 < 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
