Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ïîòåíöèàëà çàäà÷è Êåïëåðà;2. ìàëîãî äîáàâî÷íîãî ïîòåíöèàëà ω 2 F (xi (t), yij ), îïèñûâàþùåãî âëèÿíèå Ñîëíöà íà ñïóòíèê.Ïðè ýòîì âòîðàÿ ÷àñòü ïîòåíöèàëà çàâèñèò òàêæå îò ïåðåìåííîé xi , çàâèñèìîñòü êîòîðîãî îò âðåìåíè t óæå áûëà íàéäåíà íà ïåðâîì øàãå. Òàêèìîáðàçîì, âòîðàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé òîæå ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé,íî óæå íåàâòîíîìíîé, ò.å. çàâèñèò îò âðåìåíè.Çàìå÷àíèå 17. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïëàíåòíîé ñèñòåìû ñ äâîéíûìè ïëà-íåòàìè, ò.å. êîãäà âñå ni ≤ 1. Îïðåäåëèì íåâîçìóù¼ííóþ ñèñòåìó, çàâèñÿùóþ îò ïàðàìåòðà ν , óñòðåìèâ µ ê íóëþ.
Òîãäà, ñîãëàñíî ïóíêòó 1 ëåììû15, îïðåäåë¼ííàÿ òàêèì îáðàçîì íåâîçìóù¼ííàÿ çàäà÷à íå áóäåò çàâèñåòüîò ïàðàìåòðà ν è ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé (96).Çàìå÷àíèå 18. Ïîä÷åðêí¼ì åù¼ ðàç, ÷òî íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà (96) íåÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé, â îòëè÷èå îò âîçìóù¼ííîé. Ïðè÷èíîé ÿâëÿåòñÿòî, ÷òî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ñòàíîâèòñÿ âûðîæäåííîé ïðè íóëåâîìçíà÷åíèè âîçìóùåíèÿ (ò.å.
ïðè µ = 0, ν = 0).Çàìå÷àíèå 19. Ïîÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè F (x, y), êîãäà÷èñëî ni ñïóòíèêîâ iòîé ïëàíåòû áîëüøå 1 (1 ≤ i ≤ N ). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþniXmijFi (x, y∗ ) =F (x, yj ).j=1 miÎêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ Fi (x, y∗ ) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðè R → ∞ èç ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ âñåõ ñïóòíèêîâ iòîé ïëàíåòû ñ Ñîëíöåì:Fi (x, y∗ ) ≡ F̃i (x, y∗ ; 0, 0).150Çäåñü âîçìóù¼ííàÿ ôóíêöèÿ F̃i (x, y∗ ; ν, ρ) çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ mi , mijè ïðè ni > 1 îïðåäåëÿåòñÿ òàê:νρ2 F̃i (x, y∗ ; ν, ρ) =PniXmi /m̄imij /m̄i1+ν−,|x − νρδ||x|j=1 |x + ρyj − ρνδ|(103)mijiy ðàäèóñ-âåêòîð èç ïëàíåòû â öåíòð ìàññ å¼ ñïóòãäå δ = δi = nj=1m̄i jíèêîâîé ñèñòåìû, m̄i ñóììàðíàÿ ìàññà iòîé ïëàíåòû è âñåõ å¼ ñïóòíèêîâ (97).
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ mi > 0,mij > 0 ôóíêöèÿ F̃i (x, y; ν, ρ) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ïî âñåì ñâîèì àðãóìåíòàì â îáëàñòè |x| > ρν|δ|, ρ, ν > 0, è ñòðåìèòñÿ ê ôóíêöèè Fi (x, y)ïðè ρ → 0. Ýòî ñëåäóåò èç ðàçëîæåíèÿ (102) è òîãî, ÷òî ïî ïîñòðîåíèþðàäèóñ-âåêòîðà xi îí ñîåäèíÿåò Ñîëíöå ñ öåíòðîì ìàññ iòîé ñïóòíèêîâîéñèñòåìû.
Çíà÷èò, â ñóììå (103) ëèíåéíûå ïî ρ ÷ëåíû âçàèìíî ñîêðàòÿòñÿ,è îíà äåéñòâèòåëüíî èìååò ïîðÿäîê O(νρ2 ) ïðè ρ → 0 (ðàâíîìåðíî ïî ν ).Ïðè ni = 1 ïîëîæèì F̃i (x, y; ν, ρ) = F̃ (x, y; θi , ρ), ñì. (101), ãäå θi =νmi1 /(mi + νmi1 ), òàê ÷òî ïðè ni = 1 ôóíêöèÿ F̃i (x, y; ν, 0) ≡ F (x, y) íåçàâèñèò îò ν .3.2.2 Íåâûðîæäåííîñòü â ìîäåëüíîé è íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷àõ(ëåììû î çàäà÷å Êåïëåðà è çàäà÷å Õèëëà)Ðàññìîòðèì íåâîçìóù¼ííóþ çàäà÷ó (96). Êàê áûëî îòìå÷åíî â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, ýòà ñèñòåìà îïèñûâàåò êåïëåðîâñêèå äâèæåíèÿ êàæäîé ïëàíåòû.
Òî÷íåå, äâèæåíèÿ âåêòîðîâ xi , ξi (ðàäèóñ-âåêòîðà è èìïóëüñà iòîéïëàíåòû) îïèñûâàþòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ ãàìèëüòîíèàíîì ωKi îòíîñèòåëüíî ñòàíäàðòíîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ωi2 , ãäåmiξi2−,Ki =2mi |xi |ωi2 = dξξi ∧ dxi ,1 ≤ i ≤ n.(104)Êðîìå òîãî, ñèñòåìà (96) îïèñûâàåò äâèæåíèÿ (ïðåäåëüíîé) çàäà÷è Õèëëà äëÿ êàæäîãî ñïóòíèêà ýòîé ïëàíåòû. Òî÷íåå, äâèæåíèå j òîãî ñïóòíèêà îïèñûâàåòñÿ (íåàâòîíîìíîé) ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ ãàìèëüòîíèàíîì(i)Sj + ω 2 mij F (xi (t), yij ) îòíîñèòåëüíî ñòàíäàðòíîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóê2òóðû ωij, ãäå(i)Sj =ηij2mij− mi,2mij|yij |ωij2 = dηηij ∧ dyij ,1 ≤ j ≤ ni ,(105)âåêòîð-ôóíêöèÿ xi (t) îòâå÷àåò êàêîìó-ëèáî ðåøåíèþ xi (t), ξi (t) ïðåäûäóùåé çàäà÷è (äëÿ ïëàíåòû), ñð.
ñ (99).151Ðàññìîòðèì ìîäåëüíóþ çàäà÷ó (89), ïîëó÷åííóþ èç íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû (96) îòáðàñûâàíèåì ÷ëåíà ïîðÿäêà ω 2 . Ïîëó÷èì íàáîð N íåçàâèñèPìûõ çàäà÷ Êåïëåðà (N = n + ni=1 ni ), ò.å. ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîìnnH◦ =XiXi=1j=1(ωKi +(i)Sj )îòíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðûnXniXi=1j=1(dξξi ∧ xi +dηηij ∧ yij ).Ñîîòâåòñòâóþùèå äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò (ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω1 ) îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ñ ãàìèëüòîíèàíîìH ◦ − ω1 M ◦ , ãäå◦M =nX(Ii +i=1niXIij ),j=1Ii = [xi , ξi ], Iij = [yij , ηij ] èíòåãðàëû êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà â çàäà÷àõÊåïëåðà (104), (105).Ôèêñèðóåì ëþáóþ òî÷êó m◦ ∈ Λ◦ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, îòâå÷àþùóþêðóãîâûì äâèæåíèÿì çàäà÷ Êåïëåðà ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ÷àñòîòàìè ωi ,Ωij (âñå òàêèå òî÷êè îáðàçóþò N ìåðíûé òîð Λ◦ ).
Èç óñëîâèé (88) íà ýòè÷àñòîòû ñëåäóåò, ÷òî ðàäèóñû ri , rij ýòèõ êðóãîâûõ äâèæåíèé îòäåëåíû îòíóëÿ è áåñêîíå÷íîñòè.Ðàññìîòðèì â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå îòîáðàæåíèå çà ïåðèîä, ò.å. ïîòîêτgH◦ −ω M ◦ ìîäåëüíîé ñèñòåìû çà âðåìÿ τ , è ëèíåéíóþ ÷àñòü ýòîãî îòîáðà1æåíèÿ â òî÷êå m◦ .Ëåììà 16 (Î çàäà÷å Êåïëåðà).  çàäà÷àõ Êåïëåðà (104), (105), íàêîòîðûå ðàñïàäàåòñÿ ìîäåëüíàÿ çàäà÷à (89), ñóùåñòâóþò êàíîíè÷åñêèåçàìåíû êîîðäèíàò (xi , ξi ) → (ϕi mod 2π, Ii , qi , pi ), 1 ≤ i ≤ n, (yij , ηij ) →(ϕij mod 2π, Iij , qij , pij ), 1 ≤ j ≤ ni , ïðè êîòîðûõ ëèíåéíàÿ ÷àñòü â òî÷êåτm◦ ∈ Λ◦ îòîáðàæåíèÿ çà ïåðèîä gH◦ −ω M ◦ äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è ñòàíî1âèòñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé, ñîñòîÿùåé èç áëîêîâ1000−3ωτmi ri210000cos αi−Ii sin αi001sin αiIicos αi 1 0, 0 0−3τ2mij rij100000cos αij−Iij sin αij01sin αijIijcos αij.Çäåñü Ii = Ii (m◦ ), 1 ≤ i ≤ n, Iij = Iij (m◦ ), 1 ≤ j ≤ ni , çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà â çàäà÷àõ Êåïëåðà (104), (105); αi =152ωi τ ≡ α mod 2π , αij = Ωij τ ≡ α mod 2π ; τ è α ïàðàìåòðû îòíîñèòåëüíîïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé íà òîðå Λ◦ .
Àíàëîãè÷íîå âåðíî äëÿ ëþáîãî îòíîñèòåëüíîãî ïåðèîäà τ è ñîîòâåòñòâóþùåãî óãëà α.Ðàññìîòðèì òåïåðü íåâîçìóù¼ííóþ çàäà÷ó (96) ïî îòíîøåíèþ ê êàêîéëèáî (iòîé) ïëàíåòå è å¼ (j òîìó) ñïóòíèêó, îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû êîîðäèíàò, ðàâíîìåðíî âðàùàþùåéñÿ ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé ωi , 1 ≤ i ≤ n. Äâèæåíèåïëàíåòû xi (t), ξi (t) îñòàåòñÿ êàê â ìîäåëüíîé çàäà÷å. Ôèêñèðóåì êðóãîâîåäâèæåíèå xi (t), ξi (t) ïëàíåòû ñ ÷àñòîòîé ωi è ðàññìîòðèì çàäà÷ó äëÿ ñïóòíèêà, îïèñûâàåìóþ ãàìèëüòîíèàíîì è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé(i)Sj + ω 2 mij F (xi (t), yij ) − ω1 Iij ,ωij2 ,(106)1 ≤ j ≤ ni .
(Ýòà çàäà÷à ñîâïàäàåò ñ (ïðåäåëüíîé) çàäà÷åé Õèëëà îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû êîîðäèíàò, ðàâíîìåðíî âðàùàþùåéñÿ âìåñòå ñ ïëàíåòîé.)ßñíî, ÷òî ïåðèîäè÷åñêèì äâèæåíèÿì ýòîé çàäà÷è îòâå÷àþò îòíîñèòåëüíîïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ (ïðåäåëüíîé) çàäà÷è Õèëëà. Ïîëó÷åííóþ çàäà÷ó ìû áóäåì íàçûâàòü (ïðåäåëüíîé) çàäà÷åé Õèëëà äëÿ j òîãî ñïóòíèêàiòîé ïëàíåòû.Ëåììà 17 (Î çàäà÷å Õèëëà). Ïóñòü ÷àñòîòà ωi iòîé ïëàíåòû âíàáîðå (88) äîñòàòî÷íî ìàëà.
Ôèêñèðóåì êðóãîâîå äâèæåíèå xi (t) ýòîéïëàíåòû ñ ÷àñòîòîé ωi â ñèëó ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è Êåïëåðà (104).Òîãäà äëÿ êàæäîãî ñïóòíèêà ýòîé ïëàíåòû ñóùåñòâóåò ïåðèîäè÷åñêîåäâèæåíèå yij (t) ñîîòâåòñòâóþùåé (ïðåäåëüíîé) çàäà÷è Õèëëà (94), (106),îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. Ýòî äâèæåíèå ω 2 áëèçêî ê êðóãîâîìó Ωij ÷àñòîòíîìó äâèæåíèþ ìîäåëüíîé çàäà÷è Êåïëåðà, è èìååò òóæå ñðåäíþþ ÷àñòîòó Ωij . Òàêîå äâèæåíèå åäèíñòâåííî, ò.å.
ëþáûå äâàòàêèõ äâèæåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ñäâèãîì íà÷àëà îòñ÷¼òà âðåìåíè íà ÷èñëî, êðàòíîå ïåðèîäó τij = Ωij2π−ωi .Çàìå÷àíèå 20. Ïóñòü ÷èñëà ω > 0, ωi è Ωij èìåþò âèä (88), ò.å. óäîâëå-òâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì C1 < ωωi < C , C1 < Ωij < C . Èç ëåììû 17 ñëåäóåò,÷òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà c1 = c1 (C) > 0, òàêàÿ, ÷òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ω ,0 < ω ≤ c1 , çàäà÷à Õèëëà äëÿ j òîãî ñïóòíèêà iòîé ïëàíåòû èìååò îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ñðåäíèå óãëîâûå ñêîðîñòèïëàíåòû è ñïóòíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ωi è Ωij .Äâèæåíèå èç ëåììû 17 áóäåì íàçûâàòü (ïðåäåëüíûì) äâèæåíèåì Õèëëàj òîãî ñïóòíèêà.Ôèêñèðóåì íàáîð ÷àñòîò ωi , Ωij âèäà (88).
Ðàññìîòðèì ëþáóþ òî÷êó môàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, îòâå÷àþùóþ êðóãîâûì äâèæåíèÿì çàäà÷ Êåïëåðàäëÿ ïëàíåò è äâèæåíèÿì Õèëëà äëÿ ñïóòíèêîâ, ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ÷àñòîòàìè ωi , Ωij . Âñå òàêèå òî÷êè m îáðàçóþò N ìåðíûé òîð, êîòîðûé ìû153îáîçíà÷èì ÷åðåç Λ. Ñîãëàñíî ëåììå 17, òîð Λ ω 2 áëèçîê ê òîðó Λ◦ , îòâå÷àþùåìó êðóãîâûì äâèæåíèÿì ìîäåëüíûõ çàäà÷ Êåïëåðà.Ëåììû 15, 16 è 17 ìû äîêàæåì â ñëåäóþùèõ ïóíêòàõ, à ïîêà âûâåäåìèç íèõ âàæíîå ñëåäñòâèå.ßñíî, ÷òî íåâîçìóù¼ííàÿ çàäà÷à áëèçêà ê ìîäåëüíîé çàäà÷å.
Íî îòñþäà,âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèÿ íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷è îñòàíóòñÿáëèçêè ê ðåøåíèÿì ìîäåëüíîé çàäà÷è íà áîëüøèõ ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè,íàïðèìåð, ïðè t ∈ [0, τ ]. (Îòìåòèì, ÷òî τ =→ ∞ ïðè ω → 0, åñëè n ≥2.) Òåì íå ìåíåå, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî âáëèçèòîðà Λ ðåøåíèÿ íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷è óñòðîåíû òàê æå, êàê ðåøåíèÿìîäåëüíîé çàäà÷è âáëèçè òîðà Λ◦ , íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè âèäà [0, τ ], ãäå τóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (93). îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè m ∈ Λ ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå çà ïåðèîääëÿ íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷è, ò.å. ïîòîê íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû (96) çà âðåìÿτ .
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ÷àñòü ýòîãî îòîáðàæåíèÿ â òî÷êå m.Ðàçëîæèì ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî íåâîçìóù¼ííîé (96) çàäà÷è â ïðÿìóþñóììó ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ çàäà÷ Êåïëåðà, îòâå÷àþùèõ ïëàíåòàì è ñïóòíèêàì. Äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ Λ ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé áàçèñ e(m), ñîñòîÿùèé èç áàçèñîâ, êàñàòåëüíûõ ê ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâàì çàäà÷ Êåïëåðà.Òàêèì îáðàçîì, áàçèñ e(m) ñîñòîèò èç n ãðóïï, iòàÿ èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç áàçèñà, îòâå÷àþùåãî iòîé ïëàíåòå, è áàçèñîâ, îòâå÷àþùèõ âñåì å¼ñïóòíèêàì (â áàçèñå e(m) âñå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ïëàíåòå, èäóò ïåðåäâåêòîðàìè, îòâå÷àþùèìè å¼ ñïóòíèêàì), 1 ≤ i ≤ n.Çàìåòèì, ÷òî â ïðåäåëüíîé çàäà÷å Õèëëà äâèæåíèå ïëàíåòû íå çàâèñèò îò äâèæåíèÿ ñïóòíèêà. Ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîì áàçèñå e(m) óêàçàííîãî âèäà ëèíåéíàÿ ÷àñòü îòîáðàæåíèÿ çà ïåðèîä íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìûâ òî÷êå m çàäà¼òñÿ áëî÷íîé íèæíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöåé.
Ïðè ýòîì ïîääèàãîíàëüþ òàêîé ìàòðèöû íåíóëåâûì áëîêîì ìîæåò áûòü òîëüêî áëîê,îòâå÷àþùèé êàêîé-ëèáî ïëàíåòå è êàêîìó-ëèáî å¼ ñïóòíèêó.Ñëåäñòâèå 13. Äëÿ ëþáîé òî÷êè m òîðà Λ, îòâå÷àþùåãî ïðåäåëüíûìäâèæåíèÿì Õèëëà íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷è, ñóùåñòâóåò íàáîð êàíîíè÷åñêèõ áàçèñîâ â êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ê ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâàìçàäà÷ Êåïëåðà (104), (105) â ýòîé òî÷êå, îáëàäàþùèé ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
