Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Äðóãèìè ñëîâàìè, íà òîðå Λ◦ , çàïîëíåííîì òðàåêòîðèÿìè îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé,èìååòñÿ ðîâíî 2N −2 ðàçëè÷íûõ ñèììåòðè÷íûõ äâèæåíèé.Òåîðåìà 12. Ïóñòü, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 11, α mod π 6= 0, ïðè÷¼ì ÷èñëîα mod π îòäåëåíî îò íóëÿ (êîíñòàíòîé C1 ëèáî ÷èñëîì c22 ω 2 τ ). Òîãäà ñðåäèîòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû,ñ ïàðàìåòðàìè τ , α, ñóùåñòâóåò ðîâíî 2N −2 ðàçëè÷íûõ ñèììåòðè÷íûõäâèæåíèé. Êàæäîå èç ýòèõ äâèæåíèé áëèçêî ê îäíîìó èç 2N −2 îïèñàííûõâûøå ñèììåòðè÷íûõ äâèæåíèé ìîäåëüíîé çàäà÷è (89).
Äëÿ ëþáîãî òàêîãîäâèæåíèÿ ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû ÷åðåç ïðîìåæóòêè âðåìåíè,êðàòíûå ïîëóïåðèîäó τ2 , íàáëþäàþòñÿ ïàðàäû: âñå òî÷êè ñèñòåìû ðàñïîëàãàþòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé (êîòîðàÿ ÷åðåç ïðîìåæóòêè âðåìåíè, êðàòíûåτ, ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãëû, êðàòíûå α2 ).21443.2 Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿÇäåñü ìû ñôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ äîêàçàòåëüñòâàòåîðåì 11, 12. Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé áóäóòäàíû íèæå â 3.4.3.2.1 Îñíîâíàÿ ëåììà î íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷å, çàäà÷à ÕèëëàÐàññìîòðèì íà êîíôèãóðàöèîííîì ìíîãîîáðàçèè Q ñ óêàçàííûìè êîîðäèíàòàìè x, y âåêòîðíîå ïîëå óñêîðåíèé, îòâå÷àþùåå çàäà÷å (84) î äâèæåíèèïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû.
Ôèêñèðóåì ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ω è ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü ýòîãî ïîëÿ îò òð¼õ ìàëûõ ïàðàìåòðîâ µ, ν è R1 , ñâÿçàííûõ ñîîòíîøåíèåì (87) (â äåéñòâèòåëüíîñòè, çàâèñèìîñòü èìååòñÿ ëèøü21îò ïàðàìåòðîâ µ, ν , òàê êàê çíà÷åíèå R1 = ω 3 µ 3 îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîè àâòîìàòè÷åñêè ìàëî). Ââèäó àíàëèòè÷íîñòè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî äëÿ êàæäîé òàêîé òðîéêè çíà÷åíèé ýòèõ ïàðàìåòðîâñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ çàìåíà ìàñøòàáà âðåìåíè, òàêàÿ ÷òî ïðè ñòðåìëåíèèïàðàìåòðîâ µ, ν (à çíà÷èò, è R1 ) ê íóëþ ïîëó÷åííîå âåêòîðíîå ïîëå óñêîðåíèé áóäåò èìåòü êîíå÷íûé è íåíóëåâîé ïðåäåë. Ïðåäåëüíîå ïîëå ïðè µ → 0,ν → 0 (à çíà÷èò, è R1 → 0) íà Q íàçîâ¼ì íåâîçìóù¼ííûì ïîëåì óñêîðåíèé,à îòâå÷àþùóþ åìó äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå T∗ Qíàçîâ¼ì íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìîé, èëè íåâîçìóù¼ííîé çàäà÷åé.
ßñíî, ÷òîíåâîçìóù¼ííàÿ çàäà÷à îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî, ñ òî÷íîñòüþ äî ëèíåéíîéçàìåíû ìàñøòàáà âðåìåíè.Ïóñòü òåïåðü ôèêñèðîâàíà íåâîçìóù¼ííàÿ çàäà÷à. Òîãäà íåòðóäíî îïðåäåëèòü íåâîçìóù¼ííûå èíòåãðàëû ýíåðãèè H è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M(ñì. (85)). Äëÿ ýòîãî íóæíî äîìíîæèòü êàæäóþ èç ýòèõ ôóíêöèé íà íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðîâ µ, ν è 1/R, òàê, ÷òîáûïðè ïîñòðîåííîé âûøå çàìåíå ìàñøòàáà âðåìåíè ñóùåñòâîâàëà ïðåäåëüíàÿôóíêöèÿ, îòëè÷íàÿ îò íóëÿ. ßñíî, ÷òî íåâîçìóù¼ííûå èíòåãðàëû ýíåðãèè H è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî, ñ òî÷íîñòüþäî ïîëîæèòåëüíûõ ìíîæèòåëåé (êîíå÷íî, ïðè óñëîâèè, ÷òî íåâîçìóù¼ííàÿçàäà÷à ôèêñèðîâàíà).Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì ω > 0 íåâîçìóù¼ííàÿ çàäà÷à, îòâå÷àþùàÿ µ → 0, ν → 0 (à çíà÷èò, ρ → 0, ãäå ρ = 1/R), ðàñïàäàåòñÿíà n íåçàâèñèìûõ çàäà÷ Êåïëåðà, îòâå÷àþùèõ ïëàíåòàì, è N − n çàäà÷,îòâå÷àþùèõ ñïóòíèêàì è ñîâïàäàþùèõ ñ (ïðåäåëüíîé) çàäà÷åé Õèëëà.Áîëåå òî÷íî, ìû óòâåðæäàåì, ÷òî íåâîçìóù¼ííîå ïîëå óñêîðåíèé íàêîíôèãóðàöèîííîì ìíîãîîáðàçèè Q îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé 2 d x2idtd2 yijdt2= −ω 2 |xxii|3=−mi |yyijij|3(1 ≤ i ≤ n)−ω 2 ∂F(xi , yij )∂y145(1 ≤ j ≤ ni ),(94)ãäå ôóíêöèÿ F = F (x, y) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéF (x, y) =3hx, yi2 − |x|2 |y|2.2|x|5(95)Ôóíêöèþ F ìû áóäåì óñëîâíî íàçûâàòü ïðåäåëüíûì ïîòåíöèàëîì äåé2yñòâèÿ Ñîëíöà íà ñïóòíèê.
Çäåñü ∂F(x, y) = 3hx,yix−|x|. Îòìåòèì, ÷òî ïå∂y|x|5ðåìåííûå x è y àâòîìàòè÷åñêè ÿâëÿþòñÿ ìåäëåííûìè è áûñòðûìè ïåðåìåííûìè ñîîòâåòñòâåííî, êîãäà ω ìàëî.Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåT∗ Q ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå óðàâíåíèé âèäà dxidtdyijdt= ω mξii ,η ij=m,ijdξξidtdηηijdt= −ωmi |xxii|3(1 ≤ i ≤ n)yij2 ∂F= −mij (mi |yij |3 + ω ∂y (xi , yij )) (1 ≤ j ≤ ni ).(96)Çàìå÷àíèå. Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà (96) íå ÿâëÿåòñÿíåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìîé íà T∗ Q, îäíàêî ýêâèâàëåíòíà åé â ñëåäóþùåìåñòåñòâåííîì ñìûñëå. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñèñòåìà (96) îïðåäåëåíà íàïðîñòðàíñòâå T ∗ Q, äâîéñòâåííîì ê ïðîñòðàíñòâó T∗ Q. Òîãäà ïðè åñòåi dyijñòâåííîì ñîïîñòàâëåíèè âåêòîðó ñêîðîñòåé { dx, dt } ∈ Tm Q â òî÷êådtmi dxim = {xi , yij } ∈ Q êîâåêòîðà èìïóëüñîâ {ξξi = ω dt , ηij = mij dydtij } ∈ Tm∗ Qíåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà (íà T∗ Q) ïåðåõîäèò â ñèñòåìó (96) (íà T ∗ Q). Ýòî èîçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà (96) ýêâèâàëåíòíà íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìå.
Äàëåå ìûáóäåì îòîæäåñòâëÿòü ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî T∗ Q ñ T ∗ Q ïðè ïîìîùè óêàçàííîãî çäåñü èçîìîðôèçìà, è íàçûâàòü íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìîé ñèñòåìó(96).Îòìåòèì, ÷òî â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìà (96) ñîâïàäàåòñ ñèñòåìîé (94). Îáîçíà÷èìm̄i = mi + νniXj=1mij ,m̃i =m̄i,1 + µm̄im̃ij =mij mimi + νmij(97) ñóììàðíóþ ìàññó iòîé ïëàíåòû è âñåõ å¼ ñïóòíèêîâ è ïðèâåä¼ííûåìàññû ïëàíåò è ñïóòíèêîâ.Ëåììà 15 (Î íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìå). Ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîìçíà÷åíèè ω > 0 íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è N +1òåë èìååò âèä (96).
Ïðè ýòîì âûïîëíåíî ñëåäóþùåå:1. Âîçìóù¼ííàÿ (ðåàëüíàÿ) ñèñòåìà â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå T ∗ Q èìå-146åò ñëåäóþùèé âèä: dxidtdξξ dtidyijdtdη ηijdt= ω( m̃ξii +µµ= −ω m̄i=η ijm̃ijPxi|xi |3i0 6=i ξi0 )+νρ2 ∂∂xF̃ii(1 ≤ i ≤ n)+µPxi −xi0i0 6=i m̄i0 ( |xi −xi0 |3P+ mνi j 0 =6 j ηij 0µ+(1 ≤ j ≤ ni )∂ F̃i= −mi mij |yyijij|3 + ω 2 ( ∂y+µij¶F̃ii0νρ2 ∂∂x)i(98)¶Pi0 6=iF̃ii0m̄i0 ∂∂y) ,ijãäå ρ = R1 = ω 2/3 µ1/3 , F̃i , F̃ii0 íåêîòîðûå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè,çàâèñÿùèå îò êîíôèãóðàöèîííûõ ïåðåìåííûõ xi , yij , ïàðàìåòðîâ mi ,mij è ìàëûõ ïàðàìåòðîâ ν , ρ, è èìåþùèå ñâîè àíàëèòè÷åñêèå ïðîäîëæåíèÿ ïðè ν = 0, ρ = 0. Ïðè ýòîìF̃i |ρ=0,ν=0 =niXmijj=1miF (xi , yij ),ãäå ôóíêöèÿ F (x, y) ïðåäåëüíûé ïîòåíöèàë (95) äåéñòâèÿ Ñîëíöàíà ñïóòíèê.2.
Èíòåãðàë (85) êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà èìååò âèäM = [x, ξ ] + ε[y, η ] =nX(Ii + εi=1niXIij ),j=1ãäå Ii = [xi , ξi ], Iij = [yij , ηij ], ε = µνωR. Âîçìóù¼ííûé èíòåãðàëýíåðãèè áëèçîê ê ôóíêöèèH0 =nX(K̃i +i=1niεX(i)S̃j ),ω j=1ãäåξ2m̄iK̃i = i −,2m̃i |xi |(i)S̃jηij2mi mij=−,2m̃ij|yi |1 ≤ j ≤ ni , 1 ≤ i ≤ n. (99)Áîëåå òî÷íî, âîçìóù¼ííûé èíòåãðàë ýíåðãèè îòëè÷àåòñÿ îò ôóíê2öèè H0 íà âîçìóùåíèå ïîðÿäêà µ + νρ2 + ν ωε = µ + ν(ω 2 + ν) ωµ 3 , çàâèñÿùåå òîëüêî îò êîíôèãóðàöèîííûõ ïåðåìåííûõ.3. Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà â êîîðäèíàòàõ ξ , η , x, y èìååò âèädξξ ∧ x + εdηη ∧ y.147Èç ïóíêòà 1 ëåãêî íàõîäèì íåâîçìóù¼ííóþ ñèñòåìó. À èìåííî, äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî ω 6= 0, ïðè µ = ν = 0 (à çíà÷èò, ρ = 0, ε = 0)íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà (98) ïðåâðàùàåòñÿ â ñèñòåìó (96).Íàïîìíèì êëàññè÷åñêóþ çàäà÷ó Õèëëà [20], ÿâëÿþùóþñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îïèñàííîé çàäà÷è î äâèæåíèè ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû.
Îíàîòíîñèòñÿ ê ñèñòåìå òèïà Ñîëíöå-Çåìëÿ-Ëóíà (N = 2, n = 1) è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. (Çäåñü ìû îïèøåì áîëåå îáùóþ ïîñòàíîâêó ýòîéçàäà÷è, ðàññìîòðåííóþ Ìóëüòîíîì â ðàáîòå [26].)Îïðåäåëåíèå 22. Çàäà÷åé Õèëëà íàçîâ¼ì ñëåäóþùèé ÷àñòíûé ñëó÷àéïëîñêîé çàäà÷è òð¼õ òåë. Ïåðâîå òåëî (Ñîëíöå) èìååò ìàññó 1, à äâà äðóãèõòåëà (ïëàíåòà è ñïóòíèê) èìåþò ìàëóþ ñóììàðíóþ ìàññó m1 + m2 = µ ¿ 1.Êðîìå òîãî, ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ýòèìè òåëàìè ìíîãî ìåíüøå, ÷åì ðàññòîÿíèå îò èõ öåíòðà ìàññ äî ïåðâîãî (ìàññèâíîãî) òåëà. Òî÷êîé êîíôèãóðàöèîííîãî ìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðà âåêòîðîâ x, y â ïëîñêîñòè, ãäå x ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåä¼ííûé èç ïåðâîãî (ìàññèâíîãî) òåëà â öåíòð ìàññäâóõ äðóãèõ òåë, y/R ðàäèóñ-âåêòîð èç âòîðîãî òåëà â òðåòüå, 1/R ¿ 1.Ïðåäïîëàãàåòñÿ äîïîëíèòåëüíî, ÷òî âåëè÷èíà ω èç (87) äîñòàòî÷íî ìàëà.Ðåøåíèåì Õèëëà íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è, èìåþùåå ñïåöèàëüíûé âèä, ñì.
íèæå.Ïðåäåëüíîé çàäà÷åé Õèëëà íàçîâ¼ì äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó â îïèñàííîìêîíôèãóðàöèîííîì ìíîãîîáðàçèè, çàâèñÿùóþ îò ïàðàìåòðà ω è ïîëó÷àþùóþñÿ èç çàäà÷è Õèëëà ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ ïàðàìåòðîâ µ è R1 , ñâÿçàííûõ ñîîòíîøåíèåì (87). (Ýòî ýêâèâàëåíòíîïðåäåëüíîìó ïåðåõîäó ïðè µ → 0, ãäå ïàðàìåòð R1 = ω 2/3 µ1/3 àâòîìàòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.) Òàê êàê â ïðåäåëüíîé çàäà÷å Õèëëà äâèæåíèåx(t) ðàäèóñ-âåêòîðà x îïèñûâàåòñÿ çàäà÷åé Êåïëåðà, ýòî äâèæåíèå ìîæíî ôèêñèðîâàòü è èçó÷àòü çàäà÷ó î äâèæåíèè ðàäèóñ-âåêòîðà y ïðè çàäàííîì äâèæåíèè ðàäèóñ-âåêòîðà x.
Òàêóþ çàäà÷ó ìû òîæå áóäåì èíîãäàíàçûâàòü ïðåäåëüíîé çàäà÷åé Õèëëà.Íàéä¼ì ÿâíûé âèä çàäà÷è Õèëëà è ïðåäåëüíîé çàäà÷è Õèëëà.Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïðåäåëüíàÿ çàäà÷à Õèëëà çàäà¼òñÿñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå: 2 d 2xdtd2 ydt2= −ω 2 |x|x3= − |y|y 3 − ω 2 ∂F(x, y).∂y(100)Îáîçíà÷èì θ = m1 /(m1 + m2 ). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî çàäà÷à Õèëëà çàäà¼òñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé: 2 d 2xdtd2 ydt2= −ω 2 ( |x|x3 − θ(1 − θ)ρ2 ∂∂xF̃ (x, y; θ, ρ))= − |y|y 3 − ω 2 ∂∂yF̃ (x, y; θ, ρ),148ãäå ρ = R1 , F̃ (x, y; θ, ρ) ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ ñïóòíèêà ñ Ñîëíöåì,îïðåäåëÿåìûé èç ñîîòíîøåíèÿθ(1 − θ)ρ2 F̃ (x, y; θ, ρ) =Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè1|x+ρy|1−θθ1+−.|x − θρy| |x + (1 − θ)ρy| |x|(101)â ñòåïåííîé ðÿä ïî ïåðåìåííîé ρ â íóëå:1= (|x|2 + 2hx, yi + |y|2 )−1/2 =|x + ρy|1hx, yi−ρ+ ρ2 F (x, y) + O(ρ3 ),|x||x|3ρ → 0,(102)ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ F̃ (x, y; θ, ρ) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ïî âñåì ñâîèì àðãóìåíòàì â îáëàñòè |x| > ρ|y|, ρ > 0, 0 < θ < 1, è ÷òî ôóíêöèÿ F (x, y)äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ å¼ ïðåäåëîì ïðè ρ → 0:F̃ (x, y; θ, 0) ≡ F (x, y).Îòìåòèì, ÷òî ïðåäåëüíàÿ çàäà÷à Õèëëà, â îòëè÷èå îò çàäà÷è Õèëëà, íå1çàâèñèò îò ïàðàìåòðà θ, è, òåì ñàìûì, îò îòíîøåíèÿ mìåæäó ìàññàìèm2ïëàíåòû è ñïóòíèêà.Êîììåíòàðèé.
Èçíà÷àëüíî Õèëë ðàññìàòðèâàë çàäà÷ó, ïîëó÷àþùóþñÿèç îïèñàííîé çàäà÷è Õèëëà ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì ïðè θ → 0 [20, 6].Ëèøü çàòåì ðåçóëüòàò Õèëëà áûë îáîáùåí Ìóëüòîíîì [26] íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî θ ∈ (0, 1). Òåì íå ìåíåå, â äàííîé ðàáîòå ìû íàçûâàåì çàäà÷åéÕèëëà îïèñàííóþ çàäà÷ó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî θ, à ïðè îïðåäåëåíèè ïðåäåëüíîé çàäà÷è Õèëëà ìû áåðåì â ýòîé çàäà÷å ïðåäåë ïðè ñòðåìëåíèè êíóëþ ïàðàìåòðîâ µ è ρ = R1 , ñâÿçàííûõ ñîîòíîøåíèåì (87).Òàêèì îáðàçîì, íåâîçìóù¼ííàÿ çàäà÷à (96) äåéñòâèòåëüíî ðàñïàäàåòñÿíà n íåçàâèñèìûõ çàäà÷ Êåïëåðà, îòâå÷àþùèõ ïëàíåòàì, è N − n çàäà÷,îòâå÷àþùèõ ñïóòíèêàì è ÿâëÿþùèõñÿ ïðåäåëüíîé çàäà÷åé Õèëëà.
Äàëåå,ãîâîðÿ î çàäà÷å Õèëëà, ìû âñåãäà áóäåì èìåòü â âèäó ïðåäåëüíóþ çàäà÷óÕèëëà (100).Êîììåíòàðèé. Èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (96) âèäíî, ÷òî íåâîçìóù¼ííóþçàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü îòäåëüíî äëÿ êàæäîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû, ïðè÷¼ìâ äâà øàãà: ñíà÷àëà íóæíî ðåøèòü çàäà÷ó äëÿ ïëàíåòû, à ïîòîì äëÿ êàæäîãî å¼ ñïóòíèêà. Áîëåå òî÷íî, ñíà÷àëà èç ïåðâîé ïîëîâèíû óðàâíåíèé (96)íóæíî íàéòè çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè t ðàäèóñ-âåêòîðà xi , à çàòåì, ñ ïîìîùüþ âòîðîé ïîëîâèíû óðàâíåíèé, íàéòè çàâèñèìîñòü îò t ðàäèóñ-âåêòîðîâyij , 1 ≤ j ≤ ni . Îïèøåì ýòè äâà øàãà.149Øàã 1.
Ïåðâàÿ ïîëîâèíà óðàâíåíèé (96) îïèñûâàåò ìåäëåííîå äâèæåíèåxi = xi (t) íîðìèðîâàííîãî ðàäèóñ-âåêòîðà xi , êîòîðûé, íàïîìíèì, ïðîâåäåíèç Ñîëíöà â öåíòð ìàññ iòîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû, 1 ≤ i ≤ N . Ýòà ñèñòåìàóðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé è ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé çàäà÷åé Êåïëåðàäëÿ iòîé ïëàíåòû.Øàã 2. Íà âòîðîì øàãå íóæíî ðåøèòü îñòàâøóþñÿ ïîëîâèíó óðàâíåíèé(96), ðàñïàäàþùóþñÿ íà (ïðåäåëüíûå) çàäà÷è Õèëëà è îïèñûâàþùóþ áûñòðûå äâèæåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðîâ yij , 1 ≤ j ≤ ni . À èìåííî, ðàäèóñ-âåêòîð yijäâèæåòñÿ â ïîòåíöèàëå, êîòîðûé ñêëàäûâàåòñÿ èç ñëåäóþùèõ äâóõ ïîòåíöèàëîâ:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
