Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Çäåñü ìû ñ÷èòàåì, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ÷òî k1 = 0,òàê ÷òî âåùåñòâåííîå ÷èñëî α = ω1 τ ðàâíî ïîëíîìó óãëó ïîâîðîòà ïåðâîéïëàíåòû ÷åðåç ïåðèîä. Ñîãëàñíî (88), âñå öåëûå ÷èñëà ki , îòâå÷àþùèå íàáîðó ìåäëåííûõ ÷àñòîò ïëàíåò, èìåþò ïîðÿäîê ωτ , à âñå öåëûå ÷èñëà Kij ,îòâå÷àþùèå íàáîðó áûñòðûõ ÷àñòîò ñïóòíèêîâ, âåëèêè è èìåþò ïîðÿäîê τ :k1 = 0, k2 ∼ . . . ∼ kn ∼ ωτ,Kij ∼ τ,1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ ni .(91)ßñíî, ÷òî ëþáîå äâèæåíèå ìîäåëüíîé çàäà÷è (89), îòâå÷àþùåå êðóãîâûìäâèæåíèÿì ñ ÷àñòîòàìè (90), ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèì ñ ïàðàìåòðàìèτ,α = ω1 τ.(92)ßñíî, ÷òî îòíîñèòåëüíûé ïåðèîä τ îòäåë¼í îò íóëÿ (â ñèëó (91)). Áóäåìïðåäïîëàãàòü, ÷òî îí íå ñëèøêîì âåëèê, òî÷íåå, τ ¿ ω12 , ò.å.ω 2 τ ¿ 1.140(93)Çàìå÷àíèå 16.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî τ =τmin > 0 ìèíèìàëüíûé îòíîñèòåëüíûé ïåðèîä îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ñ ÷àñòîòàìè (90), ò.å. ÷òî íàáîð öåëûõ ÷èñåë k2 .
. . kn ,Kij , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ ni , íåñîêðàòèì. (Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, ðàçäåëèâ τíà íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ýòèõ ÷èñåë.)  ñëó÷àå ñèñòåìû ñ áîëåå ÷åìîäíîé ïëàíåòîé (n > 1) îòíîñèòåëüíûé ïåðèîä τ = 2π/ω âñåãäà áîëüøîé,òî÷íåå, îí èìååò ïîðÿäîê, íå ìåíüøå O( ω1 ) â ñèëó (91). Ïîýòîìó óñëîâèå(93) îçíà÷àåò, ÷òî τ íå ñëèøêîì âåëèêî. Äëÿ ñèñòåìû ñ îäíîé ïëàíåòîéè îäíèì ñïóòíèêîì (N = 2, n = 1) îòíîñèòåëüíûé ïåðèîä îãðàíè÷åí èðàâåí τmin = 2π/(Ω11 − ω1 ) = O(1). Ïîýòîìó óñëîâèå (93) âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè.
Äëÿ ñèñòåìû ñ îäíîé ïëàíåòîé è íåñêîëüêèìè ñïóòíèêàìè(n = 1, N > 2) ìèíèìàëüíûé îòíîñèòåëüíûé ïåðèîä òîæå ìîæåò áûòüîãðàíè÷åííûì.  ëþáîì ñëó÷àå, ìîæíî èñêàòü îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ ïåðèîä τ èç (92) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (93),íå çàâèñèìî îò òîãî, ñîâïàäàåò ëè îí ñ ìèíèìàëüíûì ïåðèîäîì τmin . Íàïðèìåð, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî τ = 2π.ωÏðèñòóïèì ê ôîðìóëèðîâêå îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà.Ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû c1 > 0, c2 > 0, òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñêîëüóãîäíî áîëüøîãî C > 0 ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå ôóíêöèè µ0 = µ0 (ω),ν0 = ν0 (ω), îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.Âûáåðåì ëþáîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ω , 0 < ω < c1 . Ïóñòü ωi , Ωij , 1 ≤i ≤ n, 0 ≤ j ≤ ni , íàáîð íåíóëåâûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, èìåþùèõ âèä(88), (90), (93), ãäå ÷èñëî ñ÷èòàåòñÿ ýêâèâàëåíòíûì 1, åñëè îíî ëåæèò âïðîìåæóòêå [ C1 , C], è ìàëûì, åñëè îíî ìåíüøå ÷èñëà cπ2 .
Ïóñòü ïðè ýòîì÷èñëà | ωωi |, 1 ≤ i ≤ n, íå òîëüêî îãðàíè÷åíû, íî è îòäåëåíû äðóã îò äðóãà èîò íóëÿ êîíñòàíòîé C1 , è òî æå âåðíî äëÿ íàáîðîâ ÷èñåë |Ωij |, 1 ≤ j ≤ ni , ïðèëþáîì ôèêñèðîâàííîì i (ýòî ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî òîð Λ◦ îòäåë¼íîò îáëàñòè ñòîëêíîâåíèé).Ðàññìîòðèì N ìåðíûé òîð Λ◦ â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, îòâå÷àþùèé êðóãîâûì äâèæåíèÿì ìîäåëüíîé çàäà÷è (89) ñ ÷àñòîòàìè ωi , Ωij .Îïðåäåëèì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ τ , α îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé â îïðåäåëåíèè 20 ïî ôîðìóëàì (90), (92).Òåîðåìà 11. Ïóñòü â óêàçàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ α 6≡ 0 mod 2π , ïðè÷¼ì ÷èñëî α mod 2π îòäåëåíî îò íóëÿ (êîíñòàíòîé C1 ëèáî ÷èñëîì c2 ω 2 τ ).Òîãäà ïðè ëþáûõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ µ, ν : 0 ≤ µ ≤ µ0 (ω),0 ≤ ν ≤ ν0 (ω) âûïîëíåíî ñëåäóþùåå:À) Ñóùåñòâóåò íå ìåíåå 2N −2 (ñ÷èòàÿ ñ êðàòíîñòÿìè) îòíîñèòåëüíîïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû, ñ ïàðàìåòðàìè τ , α, è ñðåäè ýòèõ äâèæåíèé íå ìåíåå N −1 ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëè÷íûõ,ãäå N + 1 ÷èñëî âñåõ òåë ñèñòåìû, N ≥ 2.141Á) Ïðè êàæäîì òàêîì äâèæåíèè ñðåäíèå ÷àñòîòû ðàäèóñ-âåêòîðîâxi = (Ci − M0 )/R, yij = Mij − Mi0 â òî÷íîñòè ðàâíû ωi , Ωij , à äâèæåíèÿxi (t), yij (t) ýòèõ ðàäèóñ-âåêòîðîâ áëèçêè ê êðóãîâûì äâèæåíèÿì (ñ òåìèæå ÷àñòîòàìè) òîðà Λ◦ ìîäåëüíîé çàäà÷è (89).Â) Ïóñòü íàáîð ÷àñòîò (90), (93) êðóãîâûõ äâèæåíèé ìîäåëüíîé çàäà÷è è ìàëûå ïàðàìåòðû (86) óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì äîïîëíèòåëüíûìóñëîâèÿì:1.
Çíà÷åíèå α mod π îòäåëåíî îò íóëÿ (êîíñòàíòîéc2 2ω τ ).21Cëèáî ÷èñëîì2. Ïðè äâèæåíèÿõ, îòâå÷àþùèõ òîðó Λ◦ , âî âñåõ N çàäà÷àõ Êåïëåðàìîäåëüíîé çàäà÷è (89) âñå òåëà âðàùàþòñÿ â îäíó ñòîðîíó, ò.å.óãëîâûå ñêîðîñòè ωi , Ωij èìåþò îäèí è òîò æå çíàê.τ3. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ Ψ îòîáðàæåíèÿ çà ïåðèîä gH(ñì. (14) èç ï.
1.4.5). Ïóñòü ôóíêöèÿ S = Ψ|Λ̃∩Σ íà (N − 2)ìåðíîìòîðå Λ̃ ∩ Σ ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîé, ãäå Σ ñåêóùàÿ ïîâåðõíîñòü êäâóìåðíûì òîðàì îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé íà Λ◦ , Λ̃ íåêîòîðûé N ìåðíûé òîð, ω 2 áëèçêèé ê Λ◦ (åãî ïîñòðîåíèå ñì.íèæå).Òîãäà ÷åðåç êàæäóþ êðèòè÷åñêóþ òî÷êó ôóíêöèè S ïðîõîäèò áîòòîâñêèé äâóìåðíûé òîð ôóíêöèè Ψ. Âñå ýòè äâóìåðíûå òîðû èíâàðèàíòíûè íåâûðîæäåíû, ò.å. îòâå÷àþùèå èì äâèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèìè äâèæåíèÿìè. Ïî ìåíüøåé ìåðå îäíîèç ýòèõ äâèæåíèé îðáèòàëüíî óñòîé÷èâî â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè íà îáùåé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ èíòåãðàëîâ ýíåðãèè H è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòàM (ñì. îïðåäåëåíèå 7 è çàìå÷àíèå 3 â 1.3).
Áîëåå òî÷íî, ëþáîé ìîðñîâñêîéòî÷êå ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè S îòâå÷àåò îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå, ÿâëÿþùååñÿ îðáèòàëüíî ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûì âëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè íà îáùåé ïîâåðõíîñòè èíòåãðàëîâ ýíåðãèè è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.Çäåñü áëèçîñòü äâèæåíèé xi (t), yij (t) ê êðóãîâûì äâèæåíèÿì ïîíèìàåòñÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî äâèæåíèå xi = xi (τ /ω) îòíîñèòåëüíî ñîáñòâåííîãîâðåìåíè ïëàíåòû τ = ωt îòëè÷àåòñÿ îò (ωi /ω)÷àñòîòíîãî êðóãîâîãî äâèæåíèÿ íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà µ + ν/R2 , à äâèæåíèå yij = yij (t) îòëè÷àåòñÿîò êðóãîâîãî äâèæåíèÿ ñïóòíèêà ñ ÷àñòîòîé Ωij íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà ω 2 .Ïðè ýòîì áëèçêè êàê ñàìè âåêòîð-ôóíêöèè, òàê è èõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûåïî τ è t ñîîòâåòñòâåííî. äåéñòâèòåëüíîñòè (ñì.
íèæå), äâèæåíèå âåêòîðà yij = yij (t) áëèçêîê îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîìó äâèæåíèþ (ïðåäåëüíîé) çàäà÷è Õèëëà è142îòëè÷àåòñÿ îò íåãî íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà µω 2 + ν , à â ñëó÷àå äâîéíîé ëèáîîòäåëüíîé ïëàíåòû (ïðè ni ≤ 1) íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà µω 2 .3.1.3 Ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ. Ïàðàäû ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìûÏåðåéä¼ì òåïåðü ê îïèñàíèþ ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõäâèæåíèé ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû, êîòîðûå ðàññìàòðèâàë åù¼ Ïóàíêàðå [28].Îïðåäåëåíèå 21. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó, îïèñûâàþùóþ äâèæåíèå N + 1 òî-÷åê â ïëîñêîñòè.
Äâèæåíèå çàäà÷è íàçîâ¼ì ñèììåòðè÷íûì, èëè îáðàòèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ l â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ è ìîìåíò âðåìåíèt = t0 , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ óñëîâèé:1. â ìîìåíò âðåìåíè t = t0 âñå òåëà ðàñïîëîæåíû íà ïðÿìîé l (ò.å. íàáëþäàåòñÿ ïàðàä ïëàíåò è ñïóòíèêîâ), à èõ ñêîðîñòè â ýòîò ìîìåíòâðåìåíè îðòîãîíàëüíû ïðÿìîé l;2. ïîëîæåíèÿ âñåõ òåë â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ IR ïîëó÷àþòñÿ èçïîëîæåíèé ýòèõ òåë â ìîìåíò âðåìåíè 2t0 − t îñåâîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî îñè l.Âñå òåëà (ìàòåðèàëüíûå òî÷êè) ñèñòåìû ñ÷èòàþòñÿ ïðîíóìåðîâàííûìè.Ïîðÿäîê, â êîòîðîì ðàñïîëîæåíû ýòè òî÷êè íà ïðÿìîé l â ìîìåíò âðåìåíèt0 , íàçîâ¼ì òèïîì ïàðàäà ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû. ßñíî, ÷òî ëþáîå äâèæåíèå çàäà÷è N +1 òåë, ïîëó÷àþùèåñÿ èç ñèììåòðè÷íîãî äâèæåíèÿñäâèãîì âðåìåíè è ïîâîðîòîì ïëîñêîñòè íà íåêîòîðûé óãîë, òîæå ÿâëÿåòñÿñèììåòðè÷íûì.
Âñå òàêèå äâèæåíèÿ ìû áóäåì ñ÷èòàòü îäíèì è òåì æåñèììåòðè÷íûì äâèæåíèåì.Ðàññìîòðèì ìîäåëüíóþ çàäà÷ó (89), ðàñïàäàþùóþñÿ íà N íåçàâèñèìûõçàäà÷ Êåïëåðà, è âñåâîçìîæíûå å¼ ðåøåíèÿ, îòâå÷àþùèå êðóãîâûì äâèæåíèÿì çàäà÷ Êåïëåðà ñ êàêèì-íèáóäü ôèêñèðîâàííûì íàáîðîì ÷àñòîò. Òðàåêòîðèè òàêèõ äâèæåíèé çàìåòàþò N ìåðíûé òîð Λ◦ . Íàéä¼ì ñèììåòðè÷íûå äâèæåíèÿ ñðåäè òàêèõ äâèæåíèé, è íàéä¼ì ÷èñëî âñåõ ñèììåòðè÷íûõäâèæåíèé.Ïóñòü íàáîð ÷àñòîò íå ÿâëÿåòñÿ ðåçîíàíñíûì, ò.å.
íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ââèäå (90). Ïîêàæåì, ÷òî ñðåäè ýòèõ äâèæåíèé èìååòñÿ ðîâíî 2N −1 ñèììåòðè÷íûõ äâèæåíèé ýòîé çàäà÷è. À èìåííî, â ìîìåíò âðåìåíè t = t0 âîçíèêàåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà âñåõ ïëàíåò è ñïóòíèêîâ íà äâà ïîäìíîæåñòâà, âçàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèé ðàäèóñ-âåêòîðîâ xi , yij â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè:143åñëè äâà ðàäèóñ-âåêòîðà ñîíàïðàâëåíû, òî îòâå÷àþùèå èì òî÷êè ïîïàäàþò â îäíî ïîäìíîæåñòâî, à åñëè ýòè ðàäèóñ-âåêòîðû ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû, òî ýòè òî÷êè ïîïàäàþò â ðàçíûå ïîäìíîæåñòâà.
ßñíî, ÷òî âñåãîèìååòñÿ 2N −1 òàêèõ ðàçáèåíèé, à çíà÷èò, 2N −1 òèïîâ ïàðàäîâ íà òîðå Λ◦ .Ïóñòü òåïåðü íàáîð ÷àñòîò êðóãîâûõ äâèæåíèé èìååò âèä (90), ò.å. äâèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèìè ñ ïàðàìåòðàìè τ , α. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñðåäè 2N −1 ñèììåòðè÷íûõ äâèæåíèé, îïèñàííûõ âûøå, èìåþòñÿ ïàðû ñîâïàäàþùèõ äâèæåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè,îòëè÷àþùèéñÿ îò t0 íà ÷èñëî, êðàòíîå ïîëóïåðèîäó τ2 , âñå òî÷êè äîëæíûðàñïîëàãàòüñÿ íà îäíîé ïðÿìîé (îòëè÷àþùåéñÿ îò l ïîâîðîòîì íà óãîë α2 ).Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ïðè êðóãîâûõ äâèæåíèÿõ âñåõ ðàäèóñ-âåêòîðîâ ñóùåñòâóþò äâà ðàçëè÷íûõ ìîìåíòà âðåìåíè, â êîòîðûå âñå ðàäèóñ-âåêòîðûêîëëèíåàðíû îäíîé ïðÿìîé, òî ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå îòíîñèòåëüíîïåðèîäè÷íî, è ðàçíîñòü óêàçàííûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè êðàòíà ïîëóïåðèîäóýòîãî äâèæåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ìîìåíòàì âðåìåíè âèäà t0 + τ2k , k ∈ ZZ,è òîëüêî èì, îòâå÷àþò íåêîòîðûå ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà âñåõ òî÷åê íà äâàïîäìíîæåñòâà, ãäå τ = τmin ìèíèìàëüíûé îòíîñèòåëüíûé ïåðèîä íà òîðå Λ◦ . Ïðè ýòîì ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî âñåì ÷¼òíûì k îòâå÷àåò îäíî è òî æåðàçáèåíèå, âñåì íå÷¼òíûì k íåêîòîðîå äðóãîå ðàçáèåíèå, ïðè÷¼ì ýòè äâàðàçáèåíèÿ íå ñîâïàäàþò. Òàêèì îáðàçîì, âñå 2N −1 ðàçáèåíèé ðàçáèâàþòñÿíà ïàðû, êîòîðûì îòâå÷àþò ñîâïàäàþùèå ñèììåòðè÷íûå äâèæåíèÿ.Ïîýòîìó â ñëó÷àå ðåçîíàíñíîãî íàáîðà ÷àñòîò (ò.å. îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé âèäà (90) ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ñèììåòðè÷íûõ äâèæåíèéìîäåëüíîé çàäà÷è ñ ýòèìè ÷àñòîòàìè ðàâíî 2N −2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
