Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ýòîäîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå 13. ÷àñòíîñòè, âî âñåõ ýòèõ ñëó÷àÿõ ÷èñëî Ýéëåðà e(pE) ðàññëîåíèÿ pEñîâïàäàåò ñ ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêîé χ(B) ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèÿ B . Ïîýòîìó, åñëè ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà V ìíîãîîáðàçèÿ B äëÿ òàêîé ñèñòåìûîòëè÷íà îò íóëÿ, òî ñîãëàñíî òåîðåìå 9 âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà èìååò ïî ìåíüøåé ìåðå îäíó çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ.
Åñëè æå χ(B) = 0 è ðàññëîåíèå (2)ëîêàëüíî òðèâèàëüíî, òî ñóùåñòâóåò ñêîëü óãîäíî áëèçêàÿ äèíàìè÷åñêàÿñèñòåìà, íå èìåþùàÿ íè îäíîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè âáëèçè Λ. Ïîñëåäíååñëåäóåò èç òåîðåìû 10 è ñóùåñòâîâàíèÿ âñþäó íåíóëåâîãî âåêòîðíîãî ïîëÿíà ëþáîì ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè B , òàêîì, ÷òî χ(B) = 0 [13].1353 Îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ïëàíåòíî-ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû3.1 Ôîðìóëèðîâêè òåîðåìÐàññìîòðèì çàäà÷ó î äâèæåíèè ñèñòåìû N +1 ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè, ïðèòÿãèâàþùèõñÿ äðóã ê äðóãó ïî çàêîíó Íüþòîíà, ãäåN ≥ 2.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäíî èç òåë ñèñòåìû M0 Ñîëíöå ÿâëÿåòñÿöåíòðàëüíûì òåëîì ìàññû 1, à îñòàëüíûå òåëà M1 , . . . , MN ðàçáèòû íà äâåãðóïïû: n ïëàíåò ñ ìàññàìè ïîðÿäêà µ, è N − n ñïóòíèêîâ ñ ìàññàìè åù¼ìåíüøåãî ïîðÿäêà µν , ãäå µ, ν äâà ìàëûõ ïàðàìåòðà.
Òåëà ïðèòÿãèâàþòñÿäðóã ê äðóãó ñ íüþòîíîâñêèì ïîòåíöèàëîìXU =−0≤i<j≤Nmi mj,rijãäå mi ìàññà òî÷êè Mi , rij = |Mj − Mi |, 0 ≤ i, j ≤ N , ïîïàðíûåðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èìåþò âèämid2 Mi∂U=−,2dt∂Mi0 ≤ i ≤ N.(84)Çäåñü ìû ñ÷èòàåì, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ÷òî ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ ðàâíà 1. Ýòîãî âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ ñ ïîìîùüþ èçìåíåíèÿ ìàñøòàáàâðåìåíè.Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â êîêàñàòåëüíîì ðàññëîåíèèê êîíôèãóðàöèîííîìó ìíîãîîáðàçèþ ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñãàìèëüòîíèàíîì, ðàâíûì ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìûH = T + U,îòíîñèòåëüíî ñòàíäàðòíîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû dp ∧ dq. ÇäåñüT =NX|pi |2i=02mi êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû.3.1.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.
Ìîäåëüíàÿ çàäà÷àÏîñòàâèì çàäà÷ó îá îòûñêàíèè ñåìåéñòâ τ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé îïèñàííîé ñèñòåìû âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé136ñêîðîñòüþ. Òàêèå äâèæåíèÿ îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ÷åðåç ïåðèîä τ > 0 ðàñïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè âñåõ òåë ñèñòåìû îòëè÷àþòñÿ îò èñõîäíûõ ñâîèõ ïîëîæåíèé ïîâîðîòîì íà îäèí è òîò æå óãîëα mod 2π âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò.Îïðåäåëåíèå 20. Òàêèå äâèæåíèÿ áóäåì íàçûâàòü îòíîñèòåëüíî ïåðè-îäè÷åñêèìè äâèæåíèÿìè ñ ïàðàìåòðàìè τ , α. ßñíî, ÷òî âñå äâèæåíèÿ, ïîëó÷àþùèåñÿ èç òàêîãî äâèæåíèÿ ñäâèãîì íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè íàíåêîòîðîå ÷èñëî è ïîâîðîòîì íà íåêîòîðûé óãîë âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò,òîæå ÿâëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèìè ñ òåìè æå ïàðàìåòðàìè τ , α.Ôàçîâûå òðàåêòîðèè ýòèõ äâèæåíèé îáðàçóþò äâóìåðíûé òîð γ , è âñåõ èõìû áóäåì ñ÷èòàòü çà îäíî îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå.
Îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå íàçîâ¼ì íåâûðîæäåííûì, åñëè äâóìåðíûéòîð γ ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì ìíîæåñòâîì íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàτæåíèÿ gH−ω(ñì. îïðåäåëåíèå 9).1MÎòìåòèì, ÷òî äâèæåíèÿ âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ óãëîâîéñêîðîñòüþ ω1 îïèñûâàþòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ ãàìèëüòîíèàíîì H −ω1 M , ãäåM=NX[qi , pi ](85)i=0 èíòåãðàë êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà. Ðàññìîòðèì ðåäóêöèþ çàäà÷è î äâèæåíèè N + 1 òåëà ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà M , ò.å.
ïåðåéä¼ì ê ïðèâåä¼ííîéñèñòåìå, ïîëó÷åííîé îãðàíè÷åíèåì èñõîäíîé ñèñòåìû íà ìíîæåñòâî óðîâíÿôóíêöèè M è ôàêòîðèçàöèåé ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ïî îðáèòàì ñèñòåìûñ ãàìèëüòîíèàíîì M . ßñíî, ÷òî ëþáîå îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå γ ïåðåéä¼ò ïðè ðåäóêöèè â îäíî ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå γ̄ ïðèâåä¼ííîéñèñòåìû ñ ïåðèîäîì τ .
Åñëè äâèæåíèå γ̄ îðáèòàëüíî óñòîé÷èâî â ëèíåéíîìïðèáëèæåíèè (ñì. îïðåäåëåíèå 7), òî èñõîäíîå äâèæåíèå γ çàäà÷è N +1 òåëíàçîâ¼ì îðáèòàëüíî óñòîé÷èâûì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè îòíîñèòåëüíîïåðèîäè÷åñêèì äâèæåíèåì.Çàìå÷àíèå 14. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè èñõîäíûé äâóìåðíûé òîð γîòâå÷àåò îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîìó äâèæåíèþ è ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî óñòîé÷èâûì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ìíîæåñòâîì íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàτæåíèÿ gH−ω(ñì.
îïðåäåëåíèå 13), òî ýòî îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå1Mäâèæåíèå ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâî â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè, ò.å. äâèæåíèå γ̄ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèåé. Äåéñòâèòåëüíî,â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2 è èçîòðîïíîñòè òîðà γ , êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî Kτ(m), îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, ÷åòûîïåðàòîðà A = dgH−ω1Mð¼õìåðíî, m ∈ γ . Òàê êàê îíî ñîäåðæèò ïëîñêîñòü Tm γ , òî åãî êîñîîðòîãî⊥γ . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèâåä¼ííàëüíîå äîïîëíåíèå L = K ⊥ ñîäåðæèòñÿ â Tm137⊥íûé îïåðàòîð ìîíîäðîìèè Ā : (Tmγ)/(Tm γ) → (Tm⊥ γ)/(Tm γ) åñòåñòâåííî ñîïðÿæ¼í îïåðàòîðó A|L .
Îòñþäà ïîëó÷àåì ýëëèïòè÷íîñòü âñåõ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé îïåðàòîðà Ā, ÷òî è äà¼ò ñòðóêòóðíóþ óñòîé÷èâîñòü òðàåêòîðèèγ̄ .Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà µ, ν , à òàêæå ω (åãî ñìûñë áóäåò ÿñåí íèæå) áóäåìñ÷èòàòü íåçàâèñèìûìè ìàëûìè ïàðàìåòðàìè çàäà÷è:µ ¿ 1,ν ¿ 1,ω ¿ 1.(86)Äðóãèìè ïàðàìåòðàìè çàäà÷è áóäóò ÿâëÿòüñÿ ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî α èíàáîð èç N − 1 öåëûõ ÷èñåë, ïîðÿäêè êîòîðûõ çàâèñÿò îò ω . Îïèøåì ýòè÷èñëà áîëåå òî÷íî.Ââåä¼ì ñíà÷àëà áîëåå óäîáíóþ íóìåðàöèþ òî÷åê ñèñòåìû. Íàïîìíèì,÷òî ìû íåÿâíî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êàæäîé ïëàíåòå ñîïîñòàâëåíà ñâîÿ ãðóïïàñïóòíèêîâ. Äëÿ çàïèñè òàêîãî ñîîòâåòñòâèÿ ââåä¼ì íîâóþ íóìåðàöèþ òî÷åêïðè ïîìîùè äâóõ èíäåêñîâ: Mij , 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ ni . Çäåñü M00 Ñîëíöå,Mi0 , 1 ≤ i ≤ n,èMij , 1 ≤ j ≤ ni , ïëàíåòû è èõ ñïóòíèêè ñîîòâåòñòâåííî. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýòè ñïóòíèêè îáðàçóþò âìåñòå ñî ñâîåé ïëàíåòîé iòóþ ñïóòíèêîâóþ ñèñòåìó.Ïåðåîáîçíà÷åíèå.
Èçìåíèì ìàñøòàáû èçìåðåíèÿ ìàññ: áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî ìàññû ïëàíåò è èõ ñïóòíèêîâ èìåþò âèäµmi0 , 1 ≤ i ≤ n,èµνmij , 1 ≤ j ≤ ni ,ñîîòâåòñòâåííî, ãäå mij = const > 0, 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ ni . Îáîçíà÷èìòàêæå Mi = Mi0 , mi = mi0 , 1 ≤ i ≤ n.Çàìå÷àíèå 15. äåéñòâèòåëüíîñòè (ñì. òåîðåìû 13 è 14 íèæå), äëÿñïðàâåäëèâîñòè îñíîâíûõ íàøèõ ðåçóëüòàòîâ (òåîðåìû 11 è 12, ñì. íèæå),ìîæíî íå òðåáîâàòü ïîñòîÿíñòâî ïàðàìåòðîâ mi , mij , à äîñòàòî÷íî ëèøüâûïîëíåíèÿ ñëåäóþùèõ áîëåå ñëàáûõ óñëîâèé:1. äëÿ êàæäîé ïëàíåòû ÷èñëî mi îãðàíè÷åíî è îòäåëåíî îò íóëÿ,2.
äëÿ êàæäîãî ñïóòíèêà, êðîìå ñëó÷àÿ äâîéíîé ïëàíåòû, îòíîøåíèåν mmiji åãî ìàññû ê ìàññå åãî ïëàíåòû ìàëî, òàê ÷òî ñóììà âñåõ òàêèõîòíîøåíèé ìàëà (ýòà ñóììà èãðàåò ðîëü ìàëîãî ïàðàìåòðà νi ).mÝòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ïàðàìåòðû mi è miji , 1 ≤ j ≤ ni , 1 ≤ i ≤ n,íå îáÿçàòåëüíî êîíñòàíòû, à ëèøü îãðàíè÷åíû, è mi îòäåëåíû îò íóëÿ.Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî äëÿ ëþáîé äâîéíîé ïëàíåòû íå íóæíî òðåáîâàòü ìàëîñòü138ïàðàìåòðà νi1 . Òî åñòü, åñëè êàêàÿ-ëèáî ïëàíåòà èìååò ëèøü îäèí ñïóòíèê,òî äëÿ ýòîãî ñïóòíèêà óñëîâèå 2 íåñóùåñòâåííî è çàìåíÿåòñÿ òðåáîâàíèåìîãðàíè÷åííîñòè ÷èñëà νmi1 .Ìû áóäåì èññëåäîâàòü ñïåöèàëüíûå ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è N + 1 òåë,äëÿ êîòîðûõ ðàññòîÿíèå ìåæäó êàæäîé ïëàíåòîé è å¼ ñïóòíèêàìè èìååòïîðÿäîê 1 è ìíîãî ìåíüøå, ÷åì ïîïàðíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó Ñîëíöåì èöåíòðàìè ìàññ ñïóòíèêîâûõ ñèñòåì. Ïîñëåäíèå ïîïàðíûå ðàññòîÿíèÿ èìåþò îäèí è òîò æå ïîðÿäîê R À 1, âû÷èñëÿåìûé ïî ôîðìóëå1= ω2µ(87)3Rè ÿâëÿþùèéñÿ àâòîìàòè÷åñêè áîëüøèì.
(Ñîîòíîøåíèå (87) ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì è îòâå÷àåò âòîðîìó çàêîíó Êåïëåðà.)Ñîãëàñíî ýòîìó, ââåä¼ì îòíîñèòåëüíûå êîîðäèíàòû. À èìåííî, èç êàæäîé ïëàíåòû ïðîâåä¼ì ðàäèóñ-âåêòîðûyij = Mij − Mi0 ,1 ≤ j ≤ ni ,â ñïóòíèêè ýòîé ïëàíåòû, 1 ≤ j ≤ ni . Ðàññìîòðèì òàêæå íîðìèðîâàííûéðàäèóñ-âåêòîðxi = (Ci − M00 )/R,1 ≤ i ≤ n,ïðîâåä¼ííûé èç Ñîëíöà M00 â öåíòð ìàññCi = (mi0 Mi0 + νniXmij Mij )/(mi0 + νj=1niXmij )j=1ýòîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû.
(Çäåñü, âîîáùå ãîâîðÿ, íóæíî ðàññìàòðèâàòüåù¼ îäèí ðàäèóñ-âåêòîð, à èìåííî, ïðîâåä¼ííûé èç íà÷àëà êîîðäèíàò âöåíòð ìàññ C âñåõ òî÷åê, íî òàê êàê C ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé ïåðåìåííîé,ìû ìîæåì åãî èñêëþ÷èòü, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ïåðåõîäó ê ñèñòåìå êîîðäèíàòñ íà÷àëîì â C .)Êðîìå òîãî, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìåñÿöû ìíîãî ìåíüøå, ÷åì ãîäû. Áîëåå òî÷íî, èçìåíèì ìàñøòàá âðåìåíè è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñðåäíèåóãëîâûå ñêîðîñòè Ωij âðàùåíèé ðàäèóñ-âåêòîðîâ yij ÿâëÿþòñÿ áûñòðûìè èèìåþò ïîðÿäîê 1 (ìåñÿöû), à ñðåäíèå óãëîâûå ñêîðîñòè ωi âðàùåíèé ðàäèóñâåêòîðîâ xi ÿâëÿþòñÿ ìåäëåííûìè è èìåþò ïîðÿäîê ω (ãîäû):ωi ∼ ω,Ωij ∼ 1,1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ ni .(88) êà÷åñòâå ìîäåëüíîé çàäà÷è ðàññìîòðèì íàáîð N íåçàâèñèìûõ çàäà÷Êåïëåðà: 2 d x2i = −ω 2 xi 3(1 ≤ i ≤ n)dt|xi |(89)2ydyijij=−m(1≤j≤n).ii23dt|yij |139Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè α 6≡ 0 mod 2π îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèì äâèæåíèÿì ìîäåëüíîé çàäà÷è ñ çàäàííûì íàáîðîì ñðåäíèõ ÷àñòîò (88) îòâå÷àþòêðóãîâûå äâèæåíèÿ çàäà÷ Êåïëåðà ñ ýòèì íàáîðîì ÷àñòîò.
Ïðè ýòîì òðàåêòîðèè ýòèõ êðóãîâûõ äâèæåíèé îáðàçóþò N ìåðíûé òîð â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì Λ◦ . Êîîðäèíàòàìè íà ýòîì òîðåñëóæàò óãëîâûå êîîðäèíàòû ψi , ψij , 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ ni . Ïðè ýòîì äëÿëþáîé òî÷êè ýòîãî òîðà ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíî äâèæåíèå ìîäåëüíîé çàäà÷è (89), ïðè êîòîðîì âñå òåëà äâèæóòñÿ ïî êðóãîâûì îðáèòàì ñ äàííûìè÷àñòîòàìè.3.1.2 Ñóùåñòâîâàíèå è óñòîé÷èâîñòü ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèéÐàññìîòðèì íàáîð (88) ñðåäíèõ ÷àñòîò âðàùåíèé ðàäèóñ-âåêòîðîâ xi , yijïðè îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèÿõ ìîäåëüíîé çàäà÷è, îòâå÷àþùèõ òîðó Λ◦ . ßñíî, ÷òî íàáîð ñðåäíèõ îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ωi − ω1 ,Ωij − ω1 , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ ni , ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî ðåçîíàíñíûì, ò.å.ïðîïîðöèîíàëåí íåêîòîðîìó öåëî÷èñëåííîìó íàáîðó ki , Kij , 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ ni .Äðóãèìè ñëîâàìè, íàáîð ñðåäíèõ ÷àñòîò ωi , Ωij , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ ni ,èìååò âèäωi = ω1 + ki 2π(1 ≤ i ≤ n)τ(90)2πΩij = ω1 + Kij τ(1 ≤ j ≤ ni ),ãäå ki è Kij öåëûå ÷èñëà, ðàâíûå ÷èñëó îáîðîòîâ ñîîòâåòñòâóþùåãîðàäèóñ-âåêòîðà âîêðóã íóëÿ (âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ óãëîâîéñêîðîñòüþ ω1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
