Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Øòåðíáåðãà) ïðè ÌÃÓ,íà íàó÷íûõ ñåìèíàðàõ êàôåäð òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè, äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ.Àâòîð ãëóáîêî áëàãîäàðåí íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ Í. Í. Íåõîðîøåâóçà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå. Òàêæå àâòîð õîòåë áû âûðàçèòü áëàãîäàðíîñòü Ñ. Â. Áîëîòèíó, Â. Â. Êîçëîâó, Ä. Â. Òðåù¼âó, À. Ä.
Áðþíî, Â. Í. Òõàþ, À. È. Íåéøòàäòó, Â. È. Àðíîëüäó, Â. Ì. Çàêàëþêèíó, Þ. ×åêàíîâó, Ï. Ïóøêàðþ, Ì. Êîíöåâè÷ó, À. Ò. Ôîìåíêî, Â. Ë. Ãîëî, Â. Â. Òðîôèìîâó, À. Â. Áîëñèíîâó, Á. Êðóãëèêîâó, Â. Â. Êàëàøíèêîâó çàöåííûå çàìå÷àíèÿ è ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ.111 Ñîõðàíåíèå çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ïðè âîçìóùåíèÿõ1.1 Îöåíêà ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèéÐàññìîòðèì ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì H íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (M 2n , ω 2 ).
Ïóñòü íà íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Mh = H −1 (h) ⊂ M 2n èìååòñÿ ñâÿçíîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ, ñïëîøüçàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ýòîé ñèñòåìû.Ïóñòü íà Λ èìååòñÿ íåïðåðûâíàÿ, à çíà÷èò, ãëàäêàÿ ôóíêöèÿT : Λ → IRïåðèîäà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîíà Λ èìååòñÿ ãëàäêîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè. Îíî ðàññëàèâàåò Λ íà íåîñîáûåè îñîáûå ñëîè, ãîìåîìîðôíûå îêðóæíîñòè. Îðáèòû ýòîãî äåéñòâèÿ ñîâïàäàþò ñ çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè çàäàííîé ñèñòåìû íà Λ, è âðåìÿ äâèæåíèÿ ïî êàæäîé òðàåêòîðèè ïðîïîðöèîíàëüíî åñòåñòâåííîìó ïàðàìåòðó íàTîêðóæíîñòè ñ êîýôôèöèåíòîì 2π.
 ÷àñòíîñòè, ýòî äåéñòâèå îêðóæíîñòèëîêàëüíî ñâîáîäíî (ò.å. íå èìååò íåïîäâèæíûõ òî÷åê), ïîñêîëüêó èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ïî ïðåäïîëîæåíèþ ÿâëÿåòñÿ íåîñîáîé.Ðàññìîòðèì îðèåíòèðîâàííîå ãëàäêîå ðàññëîåíèåpS1 → Λ → B(2)ñî ñëîåì îêðóæíîñòü, ñëîÿìè êîòîðîãî ñëóæàò çàìêíóòûå òðàåêòîðèè íàïîäìíîãîîáðàçèè Λ, à áàçîé B ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèå Λ/S 1 ñ åñòåñòâåííîéôàêòîð-òîïîëîãèåé.Îïèñàííîå ðàññëîåíèå Λ íà îêðóæíîñòè áóäåì íàçûâàòü ïåðèîäè÷åñêèì,èëè ðàññëîåíèåì Çåéôåðòà. Íà íåêîòîðûõ òðàåêòîðèÿõ, íàçûâàåìûõ îñîáûìè ñëîÿìè ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà, ôóíêöèÿ T ìîæåò íå ÿâëÿòüñÿ ìèíèìàëüíûì ïåðèîäîì, à ëèøü äåëèòüñÿ íà íåãî íàöåëî. Ïðè÷èíà â òîì, ÷òîôóíêöèÿ ìèíèìàëüíîãî ïåðèîäà íå ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåïðåðûâíîé,à ëèøü ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó. ñëó÷àå ëîêàëüíî òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ p â êà÷åñòâå íåïðåðûâíîéôóíêöèè T ìîæíî âçÿòü ìèíèìàëüíûé ïåðèîä.
Ïðè ýòîì ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèå B = Λ/S 1 , î÷åâèäíî, áóäåò ÿâëÿòüñÿ ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì.1.1.1 Ïîíÿòèå V ìíîãîîáðàçèÿÐàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé ïåðèîäè÷åñêîãî ðàññëîåíèÿ (2) è îòìåòèì åãîñõîäñòâà è ðàçëè÷èÿ ñ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ëîêàëüíî-òðèâèàëüíîãî ðàññëî12åíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññëîåíèå (2) èìååò îñîáûå ñëîè. Òîãäà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèå B óæå íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì, îäíàêî íàí¼ì èìååòñÿ ñòðóêòóðà òàê íàçûâàåìîãî îáîáù¼ííîãî ìíîãîîáðàçèÿ, èëèVìíîãîîáðàçèÿ [30, 36], àíàëîãè÷íàÿ ñòðóêòóðå ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ.V ìíîãîîáðàçèåì ðàçìåðíîñòè k íàçûâàåòñÿ òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, ëîêàëüíî ãîìåîìîðôíîå ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâó IRk ïî íåêîòîðîé êîíå÷íîé ïîäãðóïïå Γ (çàâèñÿùåé îò òî÷êè) â ãðóïïå ëîêàëüíûõ äèôôåîìîðôèçìîâ IRk → IRk , îñòàâëÿþùèõ íà÷àëî êîîðäèíàò íåïîäâèæíûì.
ÂTíàøåì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè ñ ìèíèìàëüíûì ïåðèîäîì N, ãäå N íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîäãðóïïà èçîìîðôíàöèêëè÷åñêîé ãðóïïå ZZN .Ãëàäêàÿ ñòðóêòóðà V ìíîãîîáðàçèÿ B îïðåäåëÿåòñÿ òàê. Ôóíêöèþ fíà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèè B íàçîâ¼ì ãëàäêîé, åñëè å¼ îáðàòíûé îáðàç p∗ f :Λ → IR ïðè îòîáðàæåíèè p : Λ → B ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé íà ìíîãîîáðàçèè Λ. Êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ãëàäêîé ôóíêöèè f : B → IR íàçîâ¼ìïðîåêöèè íà B êðèòè÷åñêèõ îðáèò ôóíêöèè p∗ f . Êðèòè÷åñêóþ òî÷êó ôóíêöèè f íàçîâ¼ì íåâûðîæäåííîé, èëè ìîðñîâñêîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ åéêðèòè÷åñêàÿ îðáèòà ôóíêöèè p∗ f ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêîé.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ãëàäêèå îòîáðàæåíèÿ, äèôôåîìîðôèçìû,âåêòîðíûå ïîëÿ è äèôôåðåíöèàëüíûå ôîðìû äëÿ V ìíîãîîáðàçèé. Íàïðèìåð, íà V ìíîãîîáðàçèè B = Λ/S 1 èìååòñÿ åñòåñòâåííàÿ êîððåêòíîîïðåäåë¼ííàÿ çàìêíóòàÿ 2ôîðìà, à èìåííî, ïðîåêöèÿ íà B îãðàíè÷åíèÿñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû íà ïîäìíîãîîáðàçèå Λ.
Îòíîñèòåëüíî ýòîé 2ôîðìû ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèå B ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì (ñì. [36],à òàêæå íèæå).Êðîìå òîãî, ìîæíî îïðåäåëèòü êàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå T∗ B ê ëþáîìó V ìíîãîîáðàçèþ B . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Tm Λ ïî îäíîìåðíîìó ïîäïðîñòðàíñòâó, êàñàòåëüíîìó ê çàìêíóòîé òðàåêòîðèè íà Λ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç m. Íà ïîëó÷åííîì ðàññëîåíèè íàä Λ èìååòñÿ åñòåñòâåííîå ïåðèîäè÷åñêîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè. Ïðîñòðàíñòâî îðáèò ýòîãî äåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿíåêîòîðûì (íå ëîêàëüíî òðèâèàëüíûì) ðàññëîåíèåì íàä V ìíîãîîáðàçèåìB = Λ/S 1 , è ýòî ïðîñòðàíñòâî îðáèò íàçîâ¼ì êàñàòåëüíûì ðàññëîåíèåì êB .
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êîêàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå T ∗ B . Îòìåòèì, ÷òîïðîñòðàíñòâà T∗ B è T ∗ B , êàê è B , ÿâëÿþòñÿ V ìíîãîîáðàçèÿìè.Çàìå÷àíèå 1.  äåéñòâèòåëüíîñòè, ëþáîå V ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè kíåâûðîæäåíî â ñëåäóþùåì ñìûñëå. Ëþáàÿ òî÷êà b ∈ B èìååò îêðåñòíîñòü,äèôôåîìîðôíóþ ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâó IRk /Γb ïðîñòðàíñòâà IRk ïî íåêîòîðîé êîíå÷íîé ïîäãðóïïå Γb â ãðóïïå GL(k) ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, äåéñòâèå ëþáîé êîíå÷íîé ãðóïïû â ïðîñòðàíñòâå IRk äèô13ôåîìîðôíî ëèíåéíîìó äåéñòâèþ.
(Ýòî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ äåéñòâèÿâ ïðîñòðàíñòâå IRk ëþáîé êîìïàêòíîé ãðóïïû Ëè.) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâàðàññìîòðèì ëþáóþ ðèìàíîâó ìåòðèêó íà ïðîñòðàíñòâå IRk è ðàññìîòðèìñóììó å¼ îáðàçîâ ïðè äåéñòâèè ýëåìåíòàìè ïîäãðóïïû Γb . Ïîëó÷åííàÿ ðèìàíîâà ìåòðèêà íà ïðîñòðàíñòâå IRk , î÷åâèäíî, èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíîäåéñòâèÿ ýëåìåíòàìè ãðóïïû Γb .  ÷àñòíîñòè, ãåîäåçè÷åñêèå ýòîé ìåòðèêèïðè äåéñòâèè ëþáûì ýëåìåíòîì g ∈ Γb ïåðåéäóò â ãåîäåçè÷åñêèå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îòîæäåñòâëåíèè IRk ñ T0 IRk ïðè ïîìîùè ýêñïîíåíöèàëüíîãîîòîáðàæåíèÿ exp0 : T0 IRk → IRk , êàñàòåëüíîå äåéñòâèå g∗ (0) ýëåìåíòîì g íàT0 IRk ïåðåéä¼ò â äåéñòâèå ýòèì ýëåìåíòîì g íà IRk .
Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå ãðóïïû Γb íà IRk èçîìîðôíî êàñàòåëüíîìó äåéñòâèþ ýòîé ãðóïïû íàïðîñòðàíñòâå T0 IRk . Ïîñëåäíåå äåéñòâèå, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèåì êîíå÷íîé ïîäãðóïïû ãðóïïû GL(k) ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðîñòðàíñòâàT0 IRk .Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî Tb B â òî÷êå âèäà b = p(γ) ∈ B , ãäå γ îñîáûé ñëîé, äèôôåîìîðôíî ôàêòîðïðîñòðàíñòâó IRk /Γb è, òåì ñàìûì, äèôôåîìîðôíî íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèòî÷êè b â B .1.1.2 Ôîðìóëèðîâêà îñíîâíîãî ðåçóëüòàòàÄëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè γ ⊂ Λ ðàññìîòðèì ìàëåíüêóþ ïëîùàäêó σ ⊂ Mh ,òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùóþ ýòó òðàåêòîðèþ è íàçûâàåìóþ ñå÷åíèåì Ïóàíêàðå. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå A : σ → σ ýòîé ïëîùàäêè íàñåáÿ, çàäàâàåìîå ïîòîêîì ñèñòåìû çà âðåìÿ, áëèçêîå ê ïåðèîäó T |γ . ßñíî,÷òî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ m = γ ∩ σ èñõîäíîé òðàåêòîðèè γ ñ ñå÷åíèåì Ïóàíêàðå σ , êàê è ëþáàÿ äðóãàÿ òî÷êà ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ ∩ σ , íåïîäâèæíà ïðèîòîáðàæåíèè A.
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ÷àñòü dA(m) îòîáðàæåíèÿ A â ýòîéíåïîäâèæíîé òî÷êå.Îïðåäåëåíèå 1. Ïîäìíîãîîáðàçèå Λ íàçîâ¼ì íåâûðîæäåííûì, åñëè ðàñ-ñëîåíèå (2) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì, è äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè γ ⊂ Λ ÿäðîîïåðàòîðà dA(m) − I ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì Tm (Λ ∩ σ) êïîäìíîãîîáðàçèþ Λ ∩ σ :ker (dA(m) − I) = Tm (Λ ∩ σ),ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå Tm σ ê ñå÷åíèþ Ïóàíêàðå σ â òî÷êå m.Ðàññìîòðèì íà (M 2n , ω 2 ) âîçìóù¼ííóþ ñèñòåìó ñ íåêîòîðûì ãàìèëüòîíèàíîì H̃ , áëèçêèì ê H ïî íîðìå C 2 .14Îïðåäåëåíèå 2.  íàñòîÿùåé ðàáîòå, ãîâîðÿ î çàìêíóòîé òðàåêòîðèèâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, ìû âñåãäà áóäåì èìåòü â âèäó çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ γ̃ , îáëàäàþùóþ äîïîëíèòåëüíûì ñâîéñòâîì ïî÷òè T ïåðèîäè÷íîñòè.À èìåííî, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îíà áëèçêà ê ïîäìíîãîîáðàçèþ Λ, è å¼ïåðèîä áëèçîê ê ïåðèîäó T |γ íåêîòîðîé áëèçêîé ê γ̃ íåâîçìóù¼ííîé òðàåêòîðèè γ ⊂ Λ.Òåîðåìà 1.
Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ Mh , ñïëîøü çàïîëíåííîå çà-ìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, êîìïàêòíî (áåç êðàÿ)è íåâûðîæäåíî. Ïóñòü ðàññëîåíèå (2) ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ íà çàìêíóòûåòðàåêòîðèè ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì. Òîãäà ÷èñëî ëåæàùèõ íà H̃ −1 (h)ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëè÷íûõ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìûíå ìåíüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãëàäêîé ôóíêöèèíà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèè B = Λ/S 1 .
Êðîìå òîãî, ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèéñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé íå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà êðèòè÷åñêèõ òî÷åêìîðñîâñêîé ôóíêöèè íà B .Èç ýòîé òåîðåìû ïîëó÷àåì (ñì. [13, 11]) ñëåäóþùååÑëåäñòâèå 1.  óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ÷èñëî ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëè÷íûõçàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h)íå ìåíüøå êàòåãîðèè Ëþñòåðíèêà-Øíèðåëüìàíà cat B ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèÿ B . Åñëè ïðè ýòîì ðàññëîåíèå (2) ëîêàëüíî-òðèâèàëüíî, òî ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé íå ìåíüøå ñóììû ÷èñåë ÁåòòèPβi (B) ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ. äåéñòâèòåëüíîñòè, òåîðåìà 1 áûëà äîêàçàíà ðàíåå äðóãèì ìåòîäîìÂåéíñòåéíîì â ðàáîòå [37].Èç òåîðåìû 1 è ñëåäñòâèÿ 1 ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå áîëåå ãðóáûå îöåíêèäëÿ ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà ïîâåðõíîñòèH̃ −1 (h).Ñëåäñòâèå 2.
 óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ÷èñëî ãåîìåòðè÷åñêè ðàçëè÷íûõ çà-ìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h) íåìåíüøå 21 cat Λ. Êðîìå òîãî, ÷èñëî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ñ ó÷¼òîì êðàòPíîñòåé íå ìåíüøå 12 βi (Λ). ñëó÷àå ëîêàëüíî-òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ (2) ýòè îöåíêè âûòåêàþòèç ñëåäñòâèÿ 1 è ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ [13]:cat Λ ≤ cat S 1 cat B = 2cat B,ãäå S 1 ñëîé ðàññëîåíèÿ (2), èβi (Λ) ≤ βi (B) + βi−1 (B),15i ∈ ZZ+(ïîñëåäíþþ îöåíêó íåòðóäíî ïîëó÷èòü èç ðåçóëüòàòîâ êíèãè [5]).  ñëó÷àåïðîèçâîëüíûõ ðàññëîåíèé Çåéôåðòà ìû âûâåäåì íóæíûå îöåíêè íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû 1 (èëè å¼ áîëåå ñëàáûõ àíàëîãîâ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäñòâèå 2 ëåãêî âûâåñòè íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû1 (òàêèì æå ñïîñîáîì, êàê âûâîäÿòñÿ îöåíêè ñëåäñòâèÿ 1). Ìû äîêàæåìýòè îöåíêè äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé íà Λ, íàçûâàåìûõ èíîãäàêðóãëûìè ôóíêöèÿìè, ó êîòîðûõ ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿîáúåäèíåíèåì íåïåðåñåêàþùèõñÿ ãëàäêèõ îêðóæíîñòåé.Íàïîìíèì [13], ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ôàêòà î êàòåãîðèè ËþñòåðíèêàØíèðåëüìàíà (ñì.
ñëåäñòâèå 1) îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì íàáëþäåíèè. Äëÿëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè F : Λ → IR, ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê êîòîðîé ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ñâÿçíûõ êîìïîíåíò Ci ⊂ Λ, 1 ≤ i ≤ N ,êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâà Λa = {F ≤ a} íå óáûâàåò ïî a ∈ IR è ïðè ïåðåõîäå÷åðåç êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå a ôóíêöèè F óâåëè÷èâàåòñÿ íå áîëåå ÷åì íàìàêñèìóì êàòåãîðèé cat Λa Ci ≤ cat Ci ïîäìíîæåñòâ âèäà Ci ⊂ {F = a}.Ñêëàäûâàÿ ýòè ïðèðàùåíèÿ, â èòîãå èìååì:cat Λ ≤NXcat Ci ≤ N max cat Ci .1≤i≤Ni=1Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ ÷èñëà N êðèòè÷åñêèõ ïîäìíîæåñòâ ôóíêöèècat ΛF : N ≥ max1≤i≤N.
Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî êàòåãîðèÿ îêðóæíîñòè ðàâíàcat Ciäâóì: cat S 1 = 2. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé ôóíêöèè F íà ìíîãîîáðàçèè Λ, ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê êîòîðîé åñòü îáúåäèíåíèå N íåïåðåñåêàþùèõñÿãëàäêèõ îêðóæíîñòåé, èìååì N ≥ 12 cat Λ. ñëó÷àå ôóíêöèè Áîòòà F íà Λ, èìåþùåé N êðèòè÷åñêèõ ïîäìíîãîîáðàçèé Ci , 1 ≤ i ≤ N , âñå èç êîòîðûõ îêðóæíîñòè, ëåãêî ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ìîðñà íà Λ âèäà F̃ = F + εF1 , èìåþùóþ ðîâíî 2N êðèòè÷åñêèõ òî÷åê,ãäå ε ¿ 1. Äëÿ ýòîãî â êà÷åñòâå F1 âîçüì¼ì ãëàäêóþ ôóíêöèþ, îãðàíè÷åíèå êîòîðîé íà êàæäóþ îêðóæíîñòü Ci ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ìîðñà ñ ðîâíîäâóìÿ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè mi− è mi+ : ìèíèìóìîì è ìàêñèìóìîì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
