Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåñå÷åíèå Λ ñ ïðîêîëîòîé r0 îêðåñòíîñòüþ òî÷êè mj ÿâëÿåòñÿñâÿçíîé êîìïîíåíòîé ïåðåñå÷åíèÿ ïðîêîëîòîé r0 îêðåñòíîñòè òî÷êè mj èìíîæåñòâà i◦ (C). Íî ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî ñâÿçíî â ñèëó (81) è ñâÿçíîñòèìíîæåñòâà C ∩ S ' S 2k−1 × S 2(d−k)−1 . Ýòî äîêàçûâàåò ñëåäñòâèå 12.131Øàã 7. Íà ýòîì øàãå ìû âûáåðåì äîïóñòèìóþ âåëè÷èíó ε > 0 âîçìóùåíèÿ èñõîäíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.Íàïîìíèì (ñì. øàã 4), ÷òî â âûáðàííîé r0 îêðåñòíîñòè Uj òî÷êè mj(r0 = r0j ) ìû ìîæåì ïîñòðîèòü âëîæåíèÿ i◦ , ĩ◦ è ôóíêöèè T ◦ , T̃ ◦ åù¼ îäíèìñïîñîáîì.
À èìåííî, ìû ìîãëè ñ ñàìîãî íà÷àëà ôèêñèðîâàòü â øàðå Uâìåñòî ïåðâè÷íûõ îáúåêòîâ îáúåêòû, ïëàâíî ïåðåõîäÿùèå èç ïåðâè÷íûõîáúåêòîâ âî âòîðè÷íûå, ñì. ëåììó 12. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëà r0 , τ , εíà øàãå 6 ïîäáèðàëèñü èìåííî äëÿ ýòèõ îáúåêòîâ, è i◦ , T ◦ âëîæåíèå èôóíêöèÿ íà E 0 , ïîñòðîåííûå ïî ýòèì îáúåêòàì.Àíàëîãè÷íûå ïîñòðîåíèÿ ïðîâåä¼ì äëÿ êàæäîé îñîáîé òî÷êè mj , 1 ≤j ≤ N , óìåíüøàÿ ïðè ýòîì, åñëè íóæíî, âåëè÷èíó ε > 0.  ðåçóëüòàòå ìûïîëó÷èì íàáîð (2r0j )îêðåñòíîñòåé Uj òî÷åê mj , â êîòîðûõ èìååòñÿ âëîæåíèå i◦j è ôóíêöèÿ Tj◦ , 1 ≤ j ≤ N .
Êðîìå òîãî, äëÿ ëþáîãî εìàëîãî âîçìóùåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû â êàæäîé îêðåñòíîñòè Uj îäíîçíà÷íî ñòðîÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå âëîæåíèå ĩ◦j è ôóíêöèè T̃j◦ , ψ̃j◦ íà äèñêå E 0 (mj ) ⊂ E(mj ) ∩ Uj .Âñïîìíèì òåïåðü (ñì. øàã 4), ÷òî âíå îêðåñòíîñòåé Uj0 , 1 ≤ j ≤ N ,ìû ìîæåì ôèêñèðîâàòü îáúåêòû âòîðîãî òèïà, ò.å. ìû ìîæåì ïåðåíîñèòüèõ ñ íåâîçìóù¼ííîãî ìíîæåñòâà H −1 (0) íà íóëåâîé óðîâåíü âîçìóù¼ííîãîãàìèëüòîíèàíà H̃ ïðè ïîìîùè ãðàäèåíòíîãî ïîòîêà ôóíêöèè H , ãäå Uj0 ýòî r0j îêðåñòíîñòü òî÷êè mj .Óìåíüøèì, åñëè íóæíî, ÷èñëî ε > 0, ÷òîáû ïðè ëþáîì εìàëîì âîçìóùåíèè (67) áûë ñïðàâåäëèâ àíàëîã óòâåðæäåíèÿ 3 äëÿ íåêîìïàêòíîãî0ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ \ ∪Nj=1 Uj . Çàìåòèì, ÷òî íà ïåðåñå÷åíèè ýòîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ ñ êàæäîé îêðåñòíîñòüþ Uj âñå îáúåêòû, íóæíûå äëÿ îäíîçíà÷íîñòèïîñòðîåíèÿ âëîæåíèÿ i è ôóíêöèè T̃ , ñîâïàäàþò: ïî ëåììå 12 âíå øàðà Uj0îáúåêòû â øàðå Uj ñîâïàäàþò ñ âòîðè÷íûìè îáúåêòàìè.Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì εìàëîì âîçìóùåíèè (67) ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìîå âëîæåíèå i : Λ∗ → H̃ −1 (0) è S 1 èíâàðèàíòíûå ôóíêöèè ψ , T̃ íàìíîãîîáðàçèè Λ∗ , îáëàäàþùèå ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì.
Îáðàç ïðè âëîæåíèèi ëþáîé êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè γ ôóíêöèè ψ ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé òðàåêòîðèåé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñ ïåðèîäîì T̃ |γ , ïðè÷¼ì ôóíêöèÿ T̃ áëèçêà êôóíêöèè T ◦ r, ãäå r : Λ∗ → Λ åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ (66).Òåîðåìà 8 äîêàçàíà.2.3 Íåãàìèëüòîíîâ ñëó÷àé çàêëþ÷åíèå ïðèâåä¼ì ôîðìóëèðîâêè îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ äàííîé ðàáîòû äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ò.å. íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿþùèõñÿ ãàìèëüòîíîâûìè.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó íà ïðîèçâîëüíîì ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè M n , çàäàâàåìóþ âåêòîðíûìïîëåì V íà M n . Ïóñòü èìååòñÿ ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ M n , íå ñî132äåðæàùåå îñîáûõ òî÷åê è ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìèñèñòåìû. Ïóñòü ðàññëîåíèå (2) ýòîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì, ò.å. íà Λ èìååòñÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿT , ðàâíàÿ ïåðèîäó çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé (íå îáÿçàòåëüíî ìèíèìàëüíîìóïåðèîäó).Äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ Λ ðàññìîòðèì ñåêóùóþ ïîâåðõíîñòü σm 3 m èîòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå Am : σm → σm ýòîé ïîâåðõíîñòè â ñåáÿ, çàäàâàåìîåïîòîêîì ïîëÿ V çà âðåìÿ, áëèçêîå ê çíà÷åíèþ T (m) ôóíêöèè ïåðèîäà âòî÷êå m.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìû äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿïåðèîäà T íà Λ òîæäåñòâåííî ðàâíà 1.Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ íåâûðîæäåíî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1, ò.å.â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ ìíîæåñòâî êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ, íåïîäâèæíûõïðè êàñàòåëüíîì îòîáðàæåíèè dA(m), ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì ê ïîâåðõíîñòè Λ ∩ σm â òî÷êå m. Êàê â äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 3 (ñì.
ï. 1.6.1), ðàññìîòðèì íà Λ ïîëå ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâ Em =(Tm σm )/Im(dA(m)−I), m ∈ Λ, ÿâëÿþùèõñÿ êîÿäðàìè îïåðàòîðîâ dA(m)−I ,m ∈ Λ. Ïîëó÷åííîå ïîëå E ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ðàññëîåíèåì E → Λ íàä ìíîãîîáðàçèåì Λ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî ðàññëîåíèå íåçàâèñèò îò âûáîðà ñåêóùèõ ïîâåðõíîñòåé σm . Òî÷íåå, îíî êîððåêòíî îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî åñòåñòâåííîãî ïîñëîéíîãî èçîìîðôèçìà ðàññëîåíèé.Êàê ìû óæå îòìå÷àëè â ï. 1.6.1 (ñëåäñòâèå 8), èñõîäíîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà Λ î÷åâèäíûì îáðàçîì ïîäíèìàåòñÿ íà ïîëó÷åííîå ðàññëîåíèå E ïðè ïîìîùè êàñàòåëüíîãî ïîòîêà äàííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.
 ÷àñòíîñòè, îòîáðàæåíèå çà ïåðèîä ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îïåðàòîðîì íàðàññëîåíèè E . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî îðáèò E/S 1 äåéñòâèÿîêðóæíîñòè íà ðàññëîåíèè E ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ðàññëîåíèåì íàä ôàêòîðìíîãîîáðàçèåì B = Λ/S 1 , êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç pE := E/S 1 .Ïðè ýòîì èç óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè Λ ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî ðàíã ïîëó÷åííîãî âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ pE íàä B ðàâåí ðàçìåðíîñòè dim B =dim Λ − 1 ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ, ïðè÷¼ì òîòàëüíîå ïðîñòðàíñòâî pE îðèåíòèðóåìî. Ñëåäîâàòåëüíî, êëàññ Ýéëåðà e(pE) ýòîãî ðàññëîåíèÿ ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ åãî ÷èñëîì Ýéëåðà.
(Çäåñü è äàëåå, ãîâîðÿî ÷èñëå Ýéëåðà, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðàññëîåíèå (2) ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíîòðèâèàëüíûì, òàê ÷òî åãî áàçà B ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì.) Íàïîìíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ÷èñëà Ýéëåðà. Îíî ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîìó ÷èñëó íóëåé ëþáîãî ñå÷åíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ S : B → pEâåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ pE íàä B .Ðàññìîòðèì âîçìóù¼ííîå âåêòîðíîå ïîëå Ṽ , C 1 áëèçêîå ê ïîëþ V . Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà àíàëîãè÷íà òåîðåìå 1.Òåîðåìà 9. Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ, çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåê133òîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, êîìïàêòíî (áåç êðàÿ) è íåâûðîæäåíî.Òîãäà ÷èñëî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà íóëåé ãëàäêîãî ñå÷åíèÿ S : B → pE âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ pE íàä B .
Êðîìå òîãî, ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé, ñ÷èòàÿ ñ êðàòíîñòÿìè, íå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà íóëåé ñå÷åíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿýòîãî âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ. ÷àñòíîñòè, åñëè ÷èñëî Ýéëåðà e(pE) ðàññëîåíèÿ pE îòëè÷íî îò íóëÿ,òî âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà èìååò íå ìåíåå îäíîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè. Ïðèýòîì ÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé, ñ÷èòàÿ ñ êðàòíîñòÿìè, íå ìåíüøå ìîäóëÿ|e(pE)| ÷èñëà Ýéëåðà ýòîãî ðàññëîåíèÿ.Îïèøåì òåïåðü ìåòîä óñðåäíåíèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ïóñòü âîçìóù¼ííîå âåêòîðíîå ïîëå èìååò âèäṼ = V + εV1 + o(ε),ε → 0,(83)ãäå ε ìàëûé ïàðàìåòð.
Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå V = V1 |Λ âîçìóùåíèÿ V1íà Λ, è îïðåäåëèì óñðåäíåíèå V̄ ïîëó÷åííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ïî ôîðìóëåV̄ =Z 10dg −t Vgt (m) dt,ãäå g t ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ V çà âðåìÿ t. Íàïîìíèì, ÷òî ìû ñ÷èòàåì, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ÷òî ôóíêöèÿ ïåðèîäà T íà Λ òîæäåñòâåííîðàâíà 1. Ïîëó÷åííîå âåêòîðíîå ïîëå V̄ íà ìíîãîîáðàçèè Λ ñïðîåêòèðóåì íàôàêòîð-ðàññëîåíèå E = ∪m∈Λ (Tm σm )/Im(dA(m) − I) ñ ïîìîùüþ åñòåñòâåííîé ïðîåêöèè πm : Tm σ → Em , m ∈ Λ. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííîåñå÷åíèå π(V̄) ðàññëîåíèÿ E S 1 èíâàðèàíòíî, à çíà÷èò, êîððåêòíî ïðîåêòèðóåòñÿ íà íåêîòîðîå ñå÷åíèå pπ(V̄) âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ pE .
Ýòî ñå÷åíèåíàçîâ¼ì óñðåäí¼ííûì âîçìóùåíèåì, òàê êàê îíî àíàëîãè÷íî óñðåäí¼ííîìóâîçìóùåíèþ H̄ â ñëó÷àå ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. Íåòðóäíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîòàêîå îïðåäåëåíèå óñðåäí¼ííîãî âîçìóùåíèÿ íå çàâèñèò îò âûáîðà ñåêóùèõïîâåðõíîñòåé σm , m ∈ Λ.Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì òåîðåìû 2 äëÿ äèíàìè÷åñêèõñèñòåì îáùåãî âèäà, ò.å. íå îáÿçàòåëüíî ãàìèëüòîíîâûõ.Òåîðåìà 10. Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ, çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåê-òîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, íåâûðîæäåíî, íî íå îáÿçàòåëüíî êîìïàêòíî. Ïóñòü âîçìóù¼ííîå âåêòîðíîå ïîëå Ṽ ãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãîïàðàìåòðà ε, ò.å. èìååò âèä (83).
È ïóñòü b0 ∈ B íåâûðîæäåííûéíóëü óñðåäí¼ííîãî âîçìóùåíèÿ, ò.å. ñå÷åíèÿ pπ(V̄) âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿpE . Ïóñòü γ0 = p−1 (b0 ) ⊂ Λ òðàåêòîðèÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, îòâå÷àþùàÿ òî÷êå b0 . Òîãäà ñóùåñòâóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî134çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé γε âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, ãëàäêî çàâèñÿùåå îòïàðàìåòðà âîçìóùåíèÿ ε, ãäå ε äîñòàòî÷íî ìàëî, è γε ñîâïàäàåò ñ γ0 ïðèε = 0.Òåîðåìû 9 è 10 ñëåäóþò èç áîëåå ñèëüíîé ëåììû 8 (ñì. ï.
1.6.1), â ôîðìóëèðîâêå è äîêàçàòåëüñòâå êîòîðîé, íàïîìíèì, ãàìèëüòîíîâîñòü ñèñòåìûíå èñïîëüçîâàëàñü.Èòàê, â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ò.å. íå îáÿçàòåëüíîãàìèëüòîíîâûõ, íóæíî çíàòü òîïîëîãèþ íåêîòîðîãî âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ pE íàä V ìíîãîîáðàçèåì B , îïðåäåëÿåìîãî íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìîé.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âî ìíîãèõ âàæíûõ ñëó÷àÿõ ýòî ðàññëîåíèå ïîñëîéíî èçîìîðôíî êàñàòåëüíîìó ðàññëîåíèþ T∗ B ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèÿ B .Óòâåðæäåíèå 13.
 ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ îïðåäåë¼ííîå âûøå âåêòîðíîåðàññëîåíèå pE íàä V ìíîãîîáðàçèåì B = Λ/S 1 ïîñëîéíî èçîìîðôíî êàñàòåëüíîìó ðàññëîåíèþ T∗ B ýòîãî V ìíîãîîáðàçèÿ:1) êîãäà íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà íåîñîáóþ èçîýíåðãåòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü Mh = H −1 (h);2) êîãäà Λ ñòðîãî íåâûðîæäåíî, ò.å. â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ êðàòíîñòü ÷èñëà 1 â ñïåêòðå îïåðàòîðà dA(m) â òî÷íîñòè ðàâíà ðàçìåðíîñòèôàêòîð-ìíîãîîáðàçèÿ B .Äîêàçàòåëüñòâî.  ñëó÷àå ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû äîñòàòî÷íî çàìåòèòü,÷òî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà çàäà¼ò íåâûðîæäåííîå ñïàðèâàíèå ìåæäóïîäïðîñòðàíñòâàìè Tm (Λ ∩ σm ) è Em , m ∈ Λ.  ñëó÷àå ñòðîãî íåâûðîæäåííîãî Λ, â êà÷åñòâå ïîäïðîñòðàíñòâà Em ìîæíî âçÿòü Tm (Λ ∩ σm ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
