Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ïðè êàæäîìçíà÷åíèè r ∈ [0, 2] äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ E ∩ U , ïðèíàäëåæàùåé ñôåðåðàäèóñà r, îïðåäåëèì ðèìàíîâó ìåòðèêó g(m) := gu(r) (m) â ýòîé òî÷êå, èàíàëîãè÷íî ÷åòûðå äðóãèõ îáúåêòà.Ïîñòðîåííûå îáúåêòû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ëåììû. Ëåììà 12 äîêàçàíà.Âåðí¼ìñÿ ê ïåðâè÷íûì îáúåêòàì, îïðåäåë¼ííûì â øàðå U è îêðåñòíîñòèUj òî÷êè mj .Îòìåòèì, ÷òî âñå ïåðâè÷íûå îáúåêòû â U (Uj ) ïî ïîñòðîåíèþ èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì â 0 (â òî÷êå mj ) ñ ëþáûì êîýôôèöèåíòîì ãîìîòåòèè, ìåíüøèì 1.
Îòñþäà ïîëó÷àåì âàæíóþ ñâÿçü ìåæäóïåðâè÷íûìè îáúåêòàìè â øàðå U ðàäèóñà 2 è 2r0 îêðåñòíîñòè Uj òî÷êè mj :Ïðè îòîáðàæåíèè øàðà U â øàð Uj , ÿâëÿþùåìñÿ ãîìîòåòèåé ñ ëþáûìêîýôôèöèåíòîì âèäà r ∈ (0, r0 ), âñå ïåðâè÷íûå îáúåêòû â øàðå U ïåðåõîäÿò â ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðâè÷íûå îáúåêòû â øàðå Uj .Øàã 5. Ðàññìîòðèì â ïîäïðîñòðàíñòâå E îòêðûòîå êîëüöî K ⊂ E ,ñîäåðæàùåå åäèíè÷íóþ ñôåðó S è îãðàíè÷åííîå ñôåðàìè ðàäèóñîâ 12 è3â E . Íàïîìíèì (øàã 2), ÷òî êîëüöî K ðàçáèòî íà ãèïåðïîâåðõíîñòè2Kh = K ∩ H0−1 (h), 49 h− < h < 94 h+ .Îáîçíà÷èì ÷åðåç U = {(y 1 )2 + . . . + (y 2n )2 < 4} îòêðûòûé øàð ðàäèóñà2 ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ýòî îáëàñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâàìîäåëüíîé (ò.å. ëèíåàðèçîâàííîé) ñèñòåìû.Êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü Kh ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì íåâûðîæäåííûì èíâàðèàíò126íûì ïîäìíîãîîáðàçèåì â ïîâåðõíîñòè H0−1 (h), ñïëîøü çàïîëíåííûì çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ìîäåëüíîé (ò.å.
ëèíåàðèçîâàííîé) ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0 è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ω02 . îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ñëó÷àÿ, ïîâåðõíîñòè Kh íå êîìïàêòíû. Òåìíå ìåíåå, àíàëîãè÷íîå äîêàçàòåëüñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî âáëèçè ëþáîãî êîìïàêòíîãî S 1 èíâàðèàíòíîãî ïîäìíîæåñòâà â íåâûðîæäåííîì ïîäìíîãîîáðàçèè, çàïîëíåííîì çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè, ñïðàâåäëèâ àíàëîã óòâåðæäåíèÿ 3. íàøåì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé àíàëîã óòâåðæäåíèÿ 3.Ëåììà 13.
Ñóùåñòâóþò ñòîëü ìàëûå ÷èñëà ε∗ > 0, τ > 0 è îêðåñòíîñòüΩ åäèíè÷íîé ñôåðû S ⊂ E â øàðå U , çàâèñÿùèå òîëüêî îò íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε0 ∈ [0, ε∗ ] è ëþáîé ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ = H0 è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ω̃ 2 ,ε0 áëèçêîé ê ìîäåëüíîé:kω̃ 2 − ω02 kC 1 ≤ ε0 ,(76)ñóùåñòâóåò âëîæåíèå i : K → U è S 1 èíâàðèàíòíûå ãëàäêèå ôóíêöèè ψè T̃ íà K , îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1. Ôóíêöèÿ T̃ ε0 áëèçêà ê ÷èñëó T (mj ), à âëîæåíèå i ε0 áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó.2.
Âëîæåíèå i ñîõðàíÿåò çíà÷åíèå ãàìèëüòîíèàíà: H0 ◦ i = H0 |K .3. Äëÿ ëþáîé îêðóæíîñòè γ ⊂ K , ÿâëÿþùåéñÿ êðèòè÷åñêîé äëÿ ôóíêöèè ψ|Kh å¼ îáðàç i(γ) ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé òðàåêòîðèåé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñ ïåðèîäîì T̃ (γ), ãäå h = H0 (γ).4. Ëþáàÿ çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, ïåðåñåêàþùàÿîáëàñòü Ω è èìåþùàÿ ïåðèîä â ïðîìåæóòêå [T (mj ) − τ, T (mj ) + τ ],ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ïðè îòîáðàæåíèè i íåêîòîðîé îêðóæíîñòè γ ⊂K , ÿâëÿþùåéñÿ êðèòè÷åñêîé äëÿ ôóíêöèè ψ|Kh .Îòìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 3 îñíîâàíî íà îñíîâíîé ëåììå 8, à ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòîé ëåììû óêàçàí îäíîçíà÷íûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ âëîæåíèÿ i è ôóíêöèè T̃ , çàâèñÿùèé òîëüêî îò ñëåäóþùèõ îáúåêòîâ:ñïîñîáà ïåðåíîñà ïîäìíîãîîáðàçèÿ Kh ñ ïîâåðõíîñòè H0−1 (h) íà H̃ −1 (h),ïîëÿ ñå÷åíèé σm , ïîäïðîñòðàíñòâ θm , ïîëÿ îïåðàòîðîâ ïåðåíîñà Pm,m0 , ðåòðàêöèè ρ è ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà Kh (äâà ïîñëåäíèõ îáúåêòà íóæíû äëÿîäíîçíà÷íîñòè ïîñòðîåíèÿ âëîæåíèÿ i).
Òàê êàê â íàøåì ñëó÷àå H̃ = H0 , òîâñå ýòè îáúåêòû áûëè ôèêñèðîâàíû íà ïðåäûäóùåì øàãå (êàê ïåðâè÷íûå).127Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïî âëîæåíèþ i îäíîçíà÷íî ñòðîèòñÿ ôóíêöèÿ ψ (ñòî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî).Ïîýòîìó äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 8 äà¼ò îäíîçíà÷íûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿâëîæåíèÿ i è ôóíêöèé T̃ è ψ , óäîâëåòâîðÿþùèõ òðåáîâàíèÿì ëåììû 13. Â÷àñòíîñòè, ýòîò ñïîñîá íå çàâèñèò îò âûáîðà ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.Øàã 6. Íà ýòîì øàãå ìû âûáåðåì ìàëûé ðàäèóñ r0 > 0 îêðåñòíîñòè Ujòî÷êè mj . Äëÿ ýòîãî ââåä¼ì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ.Îáîçíà÷èì ÷åðåç d íîðìó îïåðàòîðà (AF − I)−1 , ãäå AF = A|F :d = k(AF − I)−1 k.(77)Îáîçíà÷èì ÷åðåç B òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε0 ∈ [0, 1],ëþáîé âîçìóù¼ííîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû Ṽ ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0 è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé âèäà (76) è ëþáîé òî÷êè y åäèíè÷íîé ñôåðû â Uâûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî|gṼt (y) − gVt (y)| ≤ Bε0 ,0 ≤ t ≤ 2T (m),ãäå V ìîäåëüíàÿ (ò.å.
ëèíåàðèçîâàííàÿ) ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç b òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà T̃ èç îòðåçêà[0, 2T (mj )] è ëþáîé òî÷êè y åäèíè÷íîé ñôåðû â U|gVT̃ (y) − Ay| ≤ b|T̃ − T (mj )|.Òîãäà äëÿ ëþáîãî T̃ ∈ [0, 2T (mj )] èìååì|gṼT̃ (y) − Ay| ≤ |gṼT̃ (y) − gVT̃ (y)| + |gVT̃ (y) − Ay| ≤ Bε0 + b|T̃ − T (mj )|.(78)Ïóñòü ε∗ > 0 ÷èñëî èç ëåììû 13. Óìåíüøèì, åñëè íóæíî, ðàäèóñ r0îêðåñòíîñòè Uj è âîçüì¼ì ìàëûå ÷èñëà ε > 0 è τ > 0, óäîâëåòâîðÿþùèåñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1.
Cr0 + cε ≤ ε∗ , ãäå C è c êîíñòàíòû èç (74) è (70);2. ïåðåñå÷åíèå åäèíè÷íîé ñôåðû â U ñ uîêðåñòíîñòüþ ïîäïðîñòðàíñòâàE öåëèêîì ëåæèò â îêðåñòíîñòè Ω èç ëåììû 13, ãäåu = d(B(cε + Cr0 ) + bτ );(79)3. äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ Λ, ïðèíàäëåæàùåé r0 îêðåñòíîñòè òî÷êè mj ,|T (m) − T (mj )| ≤ τ ;128(80)4. ïðè ëþáîì ε0 ∈ [0, min(ε∗ , Cr0 + cε)] âëîæåíèå i èç ëåììû 13 äîñòàòî÷íî áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó (ïîäðîáíåå ñì. íèæå):i ≈ IdK .(81)Íàëîæèì íà èñõîäíóþ ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ëþáîå εìàëîå âîçìóùåíèå âèäà (67).Äëÿ ëþáîãî r ∈ (0, r0 ] ðàññìîòðèì â øàðå U ðàäèóñà 2 äâå ãàìèëüòîíîâûñèñòåìû, áëèçêèå ê ìîäåëüíîé: íåâîçìóù¼ííóþ è âîçìóù¼ííóþ ñèñòåìû ñãàìèëüòîíèàíîì H0 è ñèìïëåêòè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè ωr2 è D∗ ω̃r2 èç (73). Âñèëó (74) è (75) íåâîçìóù¼ííàÿ è âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìû (Cr) è (Cr + cε)áëèçêè ê ìîäåëüíîé ñèñòåìå ñîîòâåòñòâåííî.
Çíà÷èò, ââèäó âûáîðà ÷èñåëε è r (ñì. óñëîâèå 1), ýòè ñèñòåìû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (76) ëåììû 13(áëèçîñòü ê ìîäåëüíîé ñèñòåìå).Ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñèñòåìàì âëîæåíèÿ ir , ĩr : K → U ,ôóíêöèè ψr , ψ̃r è ôóíêöèè Tr , T̃r íà K , ñóùåñòâóþùèå â ñèëó ëåììû 13. Ïðèýòîì ìû ïîñòðîèì ýòè âëîæåíèÿ è ôóíêöèè ïî îäíîçíà÷íîìó àëãîðèòìó,óêàçàííîìó ïðè äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 3 (ñì. ëåììó 8).Ñäåëàåì òåïåðü ïðè êàæäîì r îáðàòíóþ çàìåíó êîîðäèíàò â øàðå U ,ïåðåâîäÿùóþ ýòîò øàð â 2rîêðåñòíîñòü rU òî÷êè mj â Uj . Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè êàæäîì r ïåðåíåñ¼ì âñå ïîñòðîåííûå âëîæåíèÿ è ôóíêöèè íàìàëåíüêîå êîëüöî rK , ëåæàùåå â 2r0 îêðåñòíîñòè Uj òî÷êè mj .  èòîãåìû ïîëó÷èì äëÿ îáåèõ ñèñòåì îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî âëîæåíèérK → Uj è ôóíêöèé íà êîëüöàõ rK ⊂ Uj , 0 < r ≤ r0 .
Ìû óòâåðæäàåì, ÷òîäëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçíûõ çíà÷åíèé r, r0 ∈ (0, r0 ] íà ïåðåñå÷åíèè êîëåö rKè r0 K ïîñòðîåííûå âëîæåíèÿ è ôóíêöèè, îòâå÷àþùèå îäíîé è òîé æå ñèñòåìå, ñîâïàäóò. Ýòî ñëåäóåò èç îäíîçíà÷íîñòè ïîñòðîåíèÿ ýòèõ âëîæåíèéè ôóíêöèé (ò.å. íåçàâèñèìîñòè ýòîãî ïîñòðîåíèÿ îò âûáîðà êîîðäèíàò), ñó÷¼òîì çàìå÷àíèÿ, ñäåëàííîãî â êîíöå øàãà 4. èòîãå ìû ïîëó÷àåì äëÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû åäèíîå âëîæåíèå i◦ :0E \ {mj } → Uj \ {mj } è ôóíêöèè T ◦ è ψ ◦ , îïðåäåë¼ííûå â ïðîêîëîòîéïîâåðõíîñòè E 0 \ {mj }, ãäå3E 0 = E ∩ r0 U ⊂ Uj .4Äëÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ìû ïîëó÷àåì íåêîòîðîå âëîæåíèå ĩ◦ : E 0 \{mj } → Uj è ôóíêöèè T̃ ◦ è ψ̃ ◦ â E 0 \ {mj }.Ïðîäîëæèì âëîæåíèÿ i◦ , ĩ◦ è ôóíêöèþ ïåðèîäà T ◦ â òî÷êó mj , ïîëàãàÿ◦i (mj ) = ĩ◦ (mj ) = mj , T ◦ (mj ) = T (mj ).Ëåììà 14.
Ïóñòü ðàäèóñ r0 îêðåñòíîñòè Uj è âîçìóùåíèå ε èñõîäíîéñèñòåìû äîñòàòî÷íî ìàëû (ñì. âûøå). Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå âëîæå129íèÿ i◦ , ĩ◦ : E 0 → Uj è ôóíêöèè T ◦ : E 0 → IR, T̃ ◦ : E 0 \ {mj } → IR îáëàäàþòñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1. Âëîæåíèÿ i◦ , ĩ◦ è ôóíêöèè T ◦ , T̃ ◦ ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè â ïðîêîëîòîéïîâåðõíîñòè E 0 \ {mj }.2. Âëîæåíèÿ i◦ , ĩ◦ è ôóíêöèÿ T ◦ ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè íà E 0 .3. Ëþáàÿ çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ íåâîçìóù¼ííîé (âîçìóù¼ííîé) ñèñòåìû, ïåðåñåêàþùàÿ r0 îêðåñòíîñòü òî÷êè mj è èìåþùàÿ ïåðèîä,ëåæàùèé â îòðåçêå [T (mj ) − τ, T (mj ) + τ ], ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ïðèîòîáðàæåíèè i◦ (ĩ◦ ) íåêîòîðîé îêðóæíîñòè γ ⊂ E 0 è èìååò ïåðèîäT ◦ ◦ i◦−1 (T̃ ◦ ◦ (ĩ◦ )−1 ).
Çäåñü τ > 0 ôèêñèðîâàííîå âûøå ìàëåíüêîå÷èñëî.4. Âëîæåíèå i◦ è ôóíêöèÿ T ◦ íà E 0 ÿâëÿþòñÿ ïî÷òè ãëàäêèìè â ñëåäóþùåì ñìûñëå. Ñóùåñòâóåò ãëàäêîå ñåìåéñòâî âëîæåíèé ir : S →U è ãëàäêîå ñåìåéñòâî ôóíêöèé Tr : S → IR, |r| < 2r0 , òàêèå,÷òî âëîæåíèå i0 ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì ñôåðûS = S 2d−1 ⊂ E íà ñåáÿ, T0 ≡ T (mj ) è i◦ (ry) = rir (y), T ◦ (ry) = Tr (y)ïðè ëþáûõ y ∈ S 2n−1 , 0 ≤ r < 2r0 .Ñëåäñòâèå 12. Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâà Λ ñ r0 îêðåñòíîñòüþ òî÷êèmj ëåæèò â ïîâåðõíîñòè i(E 0 ) è ñîâïàäàåò ñ ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâài◦ (C(mj )) ñ ýòîé îêðåñòíîñòüþ, ãäå C(mj ) = E 0 ∩ H0−1 (0). Ïðè ýòîìT ◦ |C(mj ) = T ◦ i◦ .Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ïóíêò 1 ëåììû 14 î÷åâèäåí.2) Ïî ïîñòðîåíèþ âëîæåíèé è ôóíêöèé íà E 0 , äëÿ ëþáîé òî÷êè y ∈ Såäèíè÷íîé ñôåðû S â ïîäïðîñòðàíñòâå E âåðíû ñëåäóþùèå ôîðìóëû:i◦ (ry) = rir (y),ĩ◦ (ry) = rĩr (y),T ◦ (ry) = Tr (y),T̃ ◦ (ry) = T̃r (y),ψ ◦ (ry) = ψr (y),ψ̃ ◦ (ry) = ψ̃r (y),0 < r ≤ r0 .Ñîãëàñíî ëåììå 13, â ñèëó (Cr) è (Cr + cε)áëèçîñòè íåâîçìóù¼ííîé èâîçìóù¼ííîé ñèñòåì ê ìîäåëüíîé ñèñòåìå, âëîæåíèÿ ir è ĩr òîæå (Cr) è(Cr + cε)áëèçêè ê òîæäåñòâåííîìó îòîáðàæåíèþ ñîîòâåòñòâåííî. Àíàëîãè÷íîå âåðíî äëÿ ôóíêöèé Tr è T̃r . ÷àñòíîñòè, òàê êàê îòîáðàæåíèÿ ir è ĩr îãðàíè÷åíû, à |Tr − T (mj )| =O(r), òî ñïðàâåäëèâ ïóíêò 2 ëåììû 14.3) Çàìåòèì, ÷òî ñåìåéñòâà âëîæåíèé ir è ôóíêöèé Tr íà êîëüöå K ãëàäêîçàâèñÿò îò r è ãëàäêèì îáðàçîì ïðîäîëæàþòñÿ â òî÷êó r = 0.
Ïðè ýòîìi0 = IdK , T0 ≡ T (mj ). Ýòî äîêàçûâàåò ïóíêò 4.1304) Îñòàëîñü äîêàçàòü ïóíêò 3 ëåììû 14. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì äëÿâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû (äëÿ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî).Âîçüìåì ëþáóþ òî÷êó m èç r0 îêðåñòíîñòè òî÷êè mj â Uj , ÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ âîçìóù¼ííîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìûñ ïåðèîäîì T̃ , ãäå |T̃ − T (mj )| ≤ τ .Ïðåäñòàâèì ðàäèóñ-âåêòîð èç òî÷êè mj â òî÷êó m â âèäå ry , ãäå0 < r < r0 ,(82)è y íåêîòîðûé åäèíè÷íûé âåêòîð â U . Ðàññìîòðèì ó ñôåðû S ⊂ E îêðåñòíîñòü Ω èç ëåììû 13. Ñîãëàñíî ëåììå 13 íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òîy ∈ Ω.Ïðåäñòàâèì åäèíè÷íûé âåêòîð y â âèäå y = yE + yF , ãäå yE ∈ E , yF ∈F .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ṽr âîçìóù¼ííóþ ñèñòåìó â U ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0 èñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé D∗ ω̃r2 èç (67), (73).  ñèëó (78) è (75),|y − Ay| = |gṼT̃r (y) − Ay| ≤ B(cε + Cr) + bτ.Ñ äðóãîé ñòîðîíû,|yF | = |(AF − I)−1 (AF yF − yF )| ≤ d|Ay − y|ââèäó (77). Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷¼òîì (79) è (82), |yF | ≤ d(B(cε + Cr) +b|τ |) < u; ò.å. òî÷êà y ëåæèò â ïåðåñå÷åíèè åäèíè÷íîé ñôåðû â U è ñ uîêðåñòíîñòüþ ïîäïðîñòðàíñòâà E . Ñëåäîâàòåëüíî, y ∈ Ω. Ýòî äîêàçûâàåòïóíêò 3 ëåììû 14.Ëåììà 14 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.Äîêàæåì ñëåäñòâèå 12 èç ýòîé ëåììû. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî C =C(mj ) = E 0 ∩ H0−1 (0). Ïî ïîñòðîåíèþ, âëîæåíèå i◦ : E 0 → M ñîõðàíÿåòçíà÷åíèå ãàìèëüòîíèàíà, ò.å.
H0 ◦ i◦ = H0 |E 0 . Îòñþäà, âñëåäñòâèå (80) èïóíêòà 3 ëåììû 14, ïåðåñå÷åíèå r0 îêðåñòíîñòè òî÷êè mj ñ ìíîæåñòâîìΛ ëåæèò â ïîâåðõíîñòè i◦ (C), ïðè÷¼ì ôóíêöèÿ ïåðèîäà T íà óêàçàííîìïåðåñå÷åíèè ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé T ◦ ◦ i◦−1 . Òàê êàê Uj ∩ Λ \ {mj } ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì òîé æå ðàçìåðíîñòè, ÷òî è ïîäìíîãîîáðàçèåi◦ (C \ {0}), òî óêàçàííîå ïåðåñå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ïîäìíîæåñòâîìâ ïîäìíîãîîáðàçèè i◦ (C \ {0}).  ñèëó êîìïàêòíîñòè Λ, åãî ïåðåñå÷åíèåñ ïðîêîëîòîé r0 îêðåñòíîñòüþ òî÷êè mj çàìêíóòî â ýòîé îêðåñòíîñòè, àçíà÷èò, çàìêíóòî è â å¼ ïåðåñå÷åíèè ñ ïîäìíîãîîáðàçèåì i◦ (C).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
