Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 27
Текст из файла (страница 27)
 ðåçóëüòàòå ïðîåêòèðîâàíèÿ ìû ïîëó÷èì ìàëåíüêóþ ïîâåðõíîñòü Nm ⊂ H0−1 (H0 (m))òîé æå ðàçìåðíîñòè, ÷òî è F , è òîæå òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùóþ E âòî÷êå m. Ôèêñèðóåì òàêæå íà ïîâåðõíîñòè Kh 3 m ðèìàíîâó ñâÿçíîñòü(îòíîñèòåëüíî èíäóöèðîâàííîé ðèìàíîâîé ìåòðèêè).Âñå ïîñòðîåííûå îáúåêòû ïðåäïîëàãàþòñÿ ãëàäêî çàâèñÿùèìè îò òî÷åêm ∈ S = E ∩ {(y 1 )2 + . . .
+ (y 2n )2 = 1} è m0 ∈ σm . Ïðè ïîìîùè ãîìîòåòèè ñöåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò ïåðåíåñ¼ì âñå ïîñòðîåííûå îáúåêòû ñ åäèíè÷íîé ñôåðû íà ñôåðó ëþáîãî ðàäèóñà r > 0 è, â ÷àñòíîñòè, ìû ïîëó÷èì ýòèîáúåêòû â ïðîêîëîòîì øàðå U \ {0} ðàäèóñà 2.Èçìåíÿÿ r ∈ (0, 2), ìû ïîëó÷àåì â ïåðåñå÷åíèè E ◦ = E ∩ U \ {0} ïîäïðîñòðàíñòâà E ñî âñåé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòüþ U ñëåäóþùèå îáúåêòû:ãëàäêîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà êàæäîì ïîäìíîãîîáðàçèè H0−1 (h) ∩ E ◦ ,ïîëå ñå÷åíèé Ïóàíêàðå σm ⊂ H0−1 (H0 (m)), m ∈ E ◦ , ïîëå ïîäïðîñòðàíñòâθm ⊂ Tm σm ,m ∈ E ◦,ïîëå îïåðàòîðîâ ïåðåíîñàPm,m0 : θm → θm,m0 ,122m ∈ E ◦ , m0 ∈ σm ,ñåìåéñòâî íîðìàëåé Nm ⊂ H0−1 (H0 (m)), m ∈ E ◦ , è ðèìàíîâó ìåòðèêó íàêàæäîì ïîäìíîãîîáðàçèè H0−1 (h) ∩ E ∩ U \ {0}.Çäåñü ìû íåîäíîêðàòíî âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà íà ìíîæåñòâà óðîâíåé H0−1 (h) ôóíêöèè H0 ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ãîìîòåòèè.Ïîñëåäíåå ñëåäóåò èç îäíîðîäíîñòè ôóíêöèè H0 â ðàññìàòðèâàåìûõ êîîðäèíàòàõ y 1 , .
. . , y 2n .ßñíî, ÷òî ïîâåðõíîñòè Nm ñåìåéñòâà íîðìàëåé ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, è èõ îáúåäèíåíèå ÿâëÿåòñÿ (êîíóñîîáðàçíîé) îêðåñòíîñòüþ ìíîæåñòâàE ◦ â U . Ïîýòîìó êîððåêòíî îïðåäåëåíà ðåòðàêöèÿ ρ óêàçàííîé îêðåñòíîñòèíà ìíîæåñòâî E ◦ , ïåðåâîäÿùàÿ êàæäóþ íîðìàëü Nm â òî÷êó m:ρ(Nm ) = m,m ∈ E ∩ U \ {0}.Ïîñòðîåííàÿ ðåòðàêöèÿ ρ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé è îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: îíà îòîáðàæàåò (êîíóñîîáðàçíóþ) îêðåñòíîñòü ïîâåðõíîñòè E ◦ â ñàìó ýòó ïîâåðõíîñòü ñ ñîõðàíåíèåì çíà÷åíèé ôóíêöèè H0 . Ïðè ýòîìρ(m) = m,m ∈ E ◦.Àíàëîãè÷íî, èçìåíÿÿ r ∈ (0, r0 ), ìû ïîëó÷àåì â ïåðåñå÷åíèè E∩Uj \{mj }ïîäïðîñòðàíñòâà E ñî âñåé ïðîêîëîòîé 2r0 îêðåñòíîñòüþ Uj òî÷êè mj âñåïåðå÷èñëåííûå îáúåêòû.Ïðîäîëæèì ïîëó÷åííûå îáúåêòû âî âñå îñòàëüíûå òî÷êè m ∈ Λ \ Ujìíîæåñòâà Λ ãëàäêèì îáðàçîì. Ïðè ýòîì íóæíî óêàçàòü çàðàíåå, êàê ìûáóäåì îïðåäåëÿòü àíàëîãè÷íûå îáúåêòû íà íóëåâîì óðîâíå H̃ −1 (0) âîçìóù¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíà (áîëåå òî÷íî, íà ìíîæåñòâå íóëåâîãî óðîâíÿâîçìóù¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíà).
Âíóòðè è âíå îêðåñòíîñòåé Uj ìû áóäåìîïðåäåëÿòü ýòè îáúåêòû ðàçíûìè ñïîñîáàìè.Ââåä¼ì â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ëþáóþ ðèìàíîâó ìåòðèêó. Âûïóñòèì èçïîâåðõíîñòè H −1 (0) \ {m1 , . . . , mN } ôàçîâûå òðàåêòîðèè ãðàäèåíòíîãî ïîòîêà ôóíêöèè H . Âíå îêðåñòíîñòåé Uj äâèæåíèå âäîëü ýòèõ òðàåêòîðèéîñóùåñòâëÿåò íåêîòîðûé äèôôåîìîðôèçì ìåæäó óðîâíÿìè íåâîçìóù¼ííîãî è âîçìóù¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíîâ. Ïðè ïîìîùè ýòîãî äèôôåîìîðôèçìà ìû è áóäåì ïåðåíîñèòü âñå îáúåêòû íà íóëåâîé óðîâåíü âîçìóù¼ííîãîãàìèëüòîíèàíà.  ÷àñòíîñòè, ìû áóäåì ïåðåíîñèòü ïîäìíîæåñòâî Λ ñ äåéñòâèåì îêðóæíîñòè íà í¼ì. Ïåðåíåñ¼ííûå òàêèì ñïîñîáîì îáúåêòû íàçîâ¼ìâòîðè÷íûìè îáúåêòàìè.Îäíàêî â îêðåñòíîñòè Uj ìû óæå ôàêòè÷åñêè èìååì íóæíûå îáúåêòûíà íóëåâîì (êàê è íà ëþáîì äðóãîì) óðîâíå âîçìóù¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíà,òàê êàê ìû èõ çàäàëè íà âñåõ óðîâíÿõ íåâîçìóù¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíà H , àâîçìóù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí èìååò òå æå ìíîæåñòâà óðîâíåé, ÷òî è íåâîçìóù¼ííûé.
Ïîñòðîåííûå íàìè îáúåêòû ìû íàçîâ¼ì ïåðâè÷íûìè îáúåêòàìè.123Ýòè îáúåêòû íå ÿâëÿþòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåíåñåíèåì ïðè ïîìîùè ãðàäèåíòíîãî ïîòîêà ôóíêöèè H . Äåëî â òîì, ÷òî ìû èõ áóäåì ðàññìàòðèâàòüêàê îïðåäåë¼ííûå íà ñàìîì ïîäìíîãîîáðàçèè Λ∗ ∩ Uj ⊂ H̃ −1 (0), ãäåΛ∗ ∩ Uj = E ∩ H0−1 (−h̃j ).Îñòàëîñü ïîñòðîèòü ïëàâíûé ïåðåõîä ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ñïîñîáàìè,ò.å. ñîãëàñîâàòü â íåêîòîðîé ïðîìåæóòî÷íîé îáëàñòè âñå ïÿòü îáúåêòîâ,ïîñòðîåííûõ ðàçíûìè ñïîñîáàìè.Íà÷í¼ì ñ îñíîâíîãî îáúåêòà ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ∗ âìåñòå ñî ñòðóêòóðîé ïåðèîäè÷åñêîãî ðàññëîåíèÿ íà í¼ì. Ïîÿñíèì, ÷òî âñå âòîðè÷íûå îáúåêòû, â ÷àñòíîñòè, ñàìî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ∗ ⊂ H̃ −1 (0) âìåñòå ñî ñòðóêòóðîé ïåðèîäè÷åñêîãî ðàññëîåíèÿ íà í¼ì, ïîëó÷àþòñÿ èõ ïåðåíåñåíèåì ñΛ ⊂ H −1 (0) íà íóëåâîé óðîâåíü H̃ −1 (0) âîçìóù¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíà.
Íîâáëèçè òî÷êè mj òàêîãî ïåðåíåñåíèÿ â ïðèíöèïå íå ìîæåò áûòü, òàê êàêìíîæåñòâî H0−1 (0) íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì. Ìû âìåñòî òàêîãî ïåðåíåñåíèÿ ðàññìàòðèâàåì ïåðâè÷íûé îáúåêò: îáúÿâëÿåì â êà÷åñòâåïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ∗ ∩ Umj ðó÷êó Cε (m) èç (65) âìåñòå ñ (ïåðâè÷íûìè)îáúåêòàìè íà íåé. Ïîýòîìó äëÿ âîçìîæíîñòè ïåðåõîäà ê (âòîðè÷íûì) îáúåêòàì âíå îêðåñòíîñòåé Uj ìû äîëæíû äîáèòüñÿ, â ÷àñòíîñòè, ÷òîáû ïîñòðîåííûå (ðàçíûìè ñïîñîáàìè) ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ∗ â H̃ −1 (0) ñîâïàäàëè,âìåñòå ñ äåéñòâèåì îêðóæíîñòè íà íèõ (ïðè ëþáîì çíà÷åíèè h̃j ).Äëÿ ýòîãî èçìåíèì ðèìàíîâó ìåòðèêó âáëèçè ãðàíèöû øàðà U òàê, ÷òîáû â ìàëîé îêðåñòíîñòè êîíóñà C(mj ) = E ∩ H0−1 (0) âíå øàðà ðàäèóñà 12âåêòîðíîå ïîëå ui ∂u∂ i íà E , âäîëü êîòîðîãî ìû îñóùåñòâëÿëè ðåòðàêöèþr = rj ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 11, áûëî îðòîãîíàëüíî ìíîæåñòâàì óðîâíÿ ôóíêöèè H0 .
Ïåðåíåñ¼ì â ýòîé îêðåñòíîñòè âñå îáúåêòû ñ ìíîæåñòâàH0−1 (0) íà êàæäîå áëèçêîå ìíîæåñòâî H0−1 (ε). Òîãäà ïðè ëþáîì äîñòàòî÷íîìàëîì ε = −h̃j âíå øàðà ðàäèóñà 12 ïåðåíåñ¼ííîå (ò.å. âòîðè÷íîå) ìíîæåñòâî Λ∗ ñîâïàä¼ò ñ ïåðâè÷íûì ìíîæåñòâîì Λ∗ ðó÷êîé Cε (m) èç (65).Êðîìå òîãî, ïî ëåììå 11, âíå óêàçàííîãî øàðà ïåðåíåñ¼ííîå ñ ìíîæåñòâàΛ íà Λ∗ äåéñòâèå îêðóæíîñòè (ïðè ïîìîùè ãðàäèåíòíîãî ïîòîêà ôóíêöèèH0 ) áóäåò ñîâïàäàòü ñ åñòåñòâåííûì äåéñòâèåì îêðóæíîñòè íà Λ∗ . Ïîýòîìóâíå øàðà ðàäèóñà 21 ïîäìíîãîîáðàçèå Λ∗ âìåñòå ñî ñòðóêòóðîé ïåðèîäè÷åñêîãî ðàññëîåíèÿ íà í¼ì áóäåò îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî (ïðè ëþáîì çíà÷åíèèε = −h̃j ), ò.å.
îäèíàêîâî ïðè îáîèõ ñïîñîáàõ îïðåäåëåíèÿ.Îñòàëîñü îïðåäåëèòü îñòàëüíûå ÷åòûðå îáúåêòà 14 âíå øàðà ðàäèóñà 12â U , òàê, ÷òîáû îíè ïëàâíî ïåðåøëè èç ïåðâè÷íûõ îáúåêòîâ âî âòîðè÷íûå.Ìû ïîñòðîèì íîâûå (ïðîìåæóòî÷íûå) îáúåêòû â øàðå ðàäèóñà 1 âíåøàðà ðàäèóñà 21 â U . Ïðè ýòîì âíóòðè øàðà ðàäèóñà 12 ìû îñòàâèì óæåïîñòðîåííûå (ïåðâè÷íûå) îáúåêòû, à âíå øàðà ðàäèóñà 1 áóäåì ïåðåíîñèòü124âñå îáúåêòû ïðè ïîìîùè ãðàäèåíòíîãî ïîòîêà (ò.å.
îñòàâèì âòîðè÷íûåîáúåêòû). Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî ìû áóäåì ñòðîèòü íîâûå îáúåêòû â øàðå U íåäëÿ ëþáûõ ïîâåðõíîñòåé, áëèçêèõ ê ïîâåðõíîñòÿì óðîâíåé ôóíêöèè H0 ,à òîëüêî äëÿ êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ óðîâíÿ äàííîé ôóíêöèè H0 â U . Ïðèýòîì ìû íå áóäåì ñòðîèòü ÿâíîãî ïåðåíîñà ñ îäíîé ïîâåðõíîñòè íà äðóãóþ,à áóäåì ðàññìàòðèâàòü âñå îáúåêòû êàê ïåðâè÷íûå.Ëåììà 12. Ïóñòü H0 ôèêñèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ êâàäðàòè÷íîé÷àñòè (72) íåâîçìóù¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíà H â îñîáîé òî÷êå mj .
Òîãäàâ ïðîêîëîòîì øàðå U \ {0} ðàäèóñà 2 ñóùåñòâóþò ïîëå ñå÷åíèé Ïóàíêàðåσm ⊂ H0−1 (H0 (m)), m ∈ E ◦ = E ∩ U \ {0}, ïîëå ïîäïðîñòðàíñòâ θm ⊂Tm σm , m ∈ E ◦ , ïîëå îïåðàòîðîâ ïåðåíîñà Pm,m0 : θm → θm,m0 , m ∈ E ◦ ,m0 ∈ σm , ñåìåéñòâî íîðìàëåé Nm ⊂ H0−1 (H0 (m)), m ∈ E ◦ , è ñåìåéñòâîðèìàíîâûõ ìåòðèê íà ïîâåðõíîñòÿõ H0−1 (h)∩E ◦ , îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìèñâîéñòâàìè.1. Äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ E ◦ , ïðèíàäëåæàùåé øàðó ðàäèóñà 21 , ýòè îáúåêòû ñîâïàäàþò ñ ïåðâè÷íûìè îáúåêòàìè.2. Äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ E ◦ , ëåæàùåé âíå øàðà ðàäèóñà 1, ýòè îáúåêòûñîâïàäàþò ñî âòîðè÷íûìè îáúåêòàìè.3.
Äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ H0−1 (0) ∩ E ◦ ýòè îáúåêòû ñîâïàäàþò ñ îáúåêòàìè îáîèõ òèïîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî íà ìíîæåñòâå H0−1 (0) îáúåêòû îáîèõ òè-ïîâ ñîâïàäàþò (òàê êàê ïåðåíîñ ñ ïîìîùüþ ãðàäèåíòíîãî ïîòîêà ÿâëÿåòñÿòîæäåñòâåííûì íà H0−1 (0)).Ïîñòðîèì åñòåñòâåííóþ àôôèííóþ ñòðóêòóðó íà ìíîæåñòâå ïåðâè÷íûõ îáúåêòîâ 14, îïðåäåë¼ííûõ äëÿ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ôèêñèðîâàííîéôóíêöèè H0 è ôèêñèðîâàííûõ íåâûðîæäåííûõ ïîäìíîæåñòâ Kh ⊂ H0−1 (h)âíå øàðà ðàäèóñà 21 â U .Ëþáûå äâå ðèìàíîâû ìåòðèêè g0 è g1 íà ïîâåðõíîñòÿõ Kh ñîåäèíèìãîìîòîïèåé gu = (1 − u)g0 + ug1 , 0 ≤ u ≤ 1.Ôèêñèðóåì ëþáóþ òî÷êó m ∈ H0−1 (0) ∩ E ◦ è ðàññìîòðèì âñå èìåþùèåñÿîáúåêòû â ýòîé òî÷êå.Ëþáûå äâå ñåêóùèå ïîâåðõíîñòè σm0 , σm1 ⊂ H0−1 (H0 (m)) ñîåäèíèì ãîìîòîïèåé σmu ⊂ H0−1 (H0 (m)), 0 ≤ u ≤ 1, êîòîðóþ îïðåäåëèì òàê. Èç ëþáîéòî÷êè m0 ∈ σm0 âûïóñòèì ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ γm0 (t) ëèíåàðèçîâàííîéñèñòåìû.
Ïóñòü ýòà òðàåêòîðèÿ ïåðåñåêëà ïîâåðõíîñòü σm1 â ìîìåíò âðåìåíè t = τ (m0 ). Ïîëîæèì σmu := {Amu (m0 ) | m0 ∈ σm0 }, 0 ≤ u ≤ 1, ãäåAmu (m0 ) := γm0 (uτ (m0 )).125Ëþáûå äâà ïîäïðîñòðàíñòâà θm0 ⊂ Tm0 σm0 , θm1 ⊂ Tm1 σm1 ñîåäèíèì ãîìîòîïèåé θmu ⊂ Tmu σmu , 0 ≤ u ≤ 1, ïîëàãàÿ θmu = E ∩ Tm σmu .Ëþáûå äâà ñåìåéñòâà îïåðàòîðîâ ïåðåíîñà Pm,m00 ,0 : θm0 → θm,m00 ,0 , m00 ∈σm0 , è Pm,m01 ,1 : θm1 → θm,m01 ,1 , m01 ∈ σm1 , ñîåäèíèì ãîìîòîïèåé Pm,m0u ,u :θmu → θm,m0u ,u , m0u ∈ σmu , 0 ≤ u ≤ 1, êîòîðóþ îïðåäåëèì òàê.
Äëÿ ëþáîéòî÷êè m00 ∈ σm0 è ëþáîãî âåêòîðà ξ ∈ θm0 ïîëîæèì m0u = Amu (m00 ), ξmu :=dAmu (m)ξm0 ∈ θmu , Pm,m0u ,u ξmu := (1 − u)dAmu (m00 ) ◦ Pm,m00 ,0 ξm0 + udAmu (m00 ) ◦dAm1 (m00 )−1 ◦ Pm,m01 ,1 ξm1 .Ëþáûå äâå íîðìàëè Nm0 ⊂ H0−1 (H0 (m)), Nm1 ⊂ H0−1 (H0 (m)) ñîåäèíèì ãîìîòîïèåé Nmu ⊂ H0−1 (H0 (m)), 0 ≤ u ≤ 1, êîòîðóþ îïðåäåëèì òàê.×åðåç ëþáóþ òî÷êó m0 ∈ Nm0 ïðîâåä¼ì ïëîùàäêó, ïàðàëëåëüíóþ ïîäïðîñòðàíñòâó E . Ïóñòü ýòà ïëîùàäêà ïåðåñåêëà ïîâåðõíîñòü Nm1 â òî÷êå m1 =m1 (m0 ). Ñîåäèíèì ýòè òî÷êè êðàò÷àéøåé ãåîäåçè÷åñêîé mu = mu (m0 ),0 ≤ u ≤ 1. Ïîëîæèì Nmu = {mu (m0 ) | m0 ∈ Nm0 }, 0 ≤ u ≤ 1.Ñîåäèíèì ïåðâè÷íûå è âòîðè÷íûå îáúåêòû â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòèòî÷êè 0 ãîìîòîïèåé óêàçàííîãî âèäà.Âîçüìåì C ∞ ãëàäêóþ ôóíêöèþ u(r), 0 ≤ r ≤ 2, âèäà 0 ≤ u(r) ≤ 1 ïðè0 ≤ r ≤ 2; u(r) = 1 ïðè 0 ≤ r ≤ 21 ; u(r) = 0 ïðè 1 ≤ r ≤ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
