Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 26
Текст из файла (страница 26)
. x̃2n ) → (ỹ 1 , . . . ỹ 2n ), áëèçêóþ ê (68), îòâå÷àþùóþèíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâàì Ẽ è F̃ . Ïðè ýòîì, â ñèëó íåâûðîæäåííîñòè ôîðì d2 H(mj )|E è d2 H(mj )|F , ìîæíî âûáðàòü ïîñëåäíþþ çàìåíó òàê,117÷òîáû êîýôôèöèåíòû ôîðì d2 H̃(mj )|Ẽ è d2 H̃(mj )|F̃ â êîîðäèíàòàõ ỹ ñîâïàäàëè ñ êîýôôèöèåíòàìè ôîðì d2 H(mj )|E è d2 H(mj )|F â êîîðäèíàòàõ y .Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóþò (áûòü ìîæåò, ìåíüøèå) îêðåñòíîñòè Uj îñîáûõ òî÷åê mj è êîíñòàíòà c > 0, çàâèñÿùèå òîëüêî îò íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî âîçìóùåíèÿ âèäà (67) ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì D ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà íà ñåáÿ, C 2 áëèçêèé ê òîæäåñòâåííîìó,òàêîé, ÷òî(D∗ H̃ − H)|Uj ≡ h̃j , 1 ≤ j ≤ N,(70)kD∗ H̃ − HkC 2 + kD∗ ω̃ 2 − ω 2 kC 1 ≤ cε,ãäå äèôôåîìîðôèçì D çàâèñèò îò âîçìóùåíèÿ è C 2 áëèçîê ê òîæäåñòâåííîìó.  ÷àñòíîñòè,NX|h̃j | ≤ cε.(71)i=1Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ÷òî äèôôåîìîðôèçì Dÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì.Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ÷òîâ êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè Uj ëþáîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè mj ∈ Λ ôóíêöèèH âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâàH ≡ H0 ,ãäåH0 =H̃ ≡ H0 + h̃j ,∂ 2H(mj )y k y l = ±(y 1 )2 ± .
. . ± (y 2n )2 ,∂y k ∂y l(72)è ïîäïðîñòðàíñòâà E = E(mj ) è F = F (mj ) èìåþò âèä (69). Ïðè ýòîìíà ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ïî-ïðåæíåìó íàêëàäûâàåòñÿ C 1 ìàëîå âîçìóùåíèå. Ýòî âîçìóùåíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû íå ïðîèçâîëüíî, àóäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1. ðàçíîñòü ω̃ 2 − ω 2 ãîìîëîãè÷íà íóëþ èëè, ïî ìåíüøåé ìåðå, ñîõðàíÿåòöåíòðû òÿæåñòè;2. â êàæäîé òî÷êå mj ïîäïðîñòðàíñòâà E è F îñòàþòñÿ êîñîîðòîãîíàëüíûìè è, òåì ñàìûì, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî îáåèõ ëèíåàðèçîâàííûõ ñèñòåì: íåâîçìóù¼ííîé è âîçìóù¼ííîé. èòîãå ìû ïîëó÷àåì, ÷òî â íîâûõ êîîðäèíàòàõ y 1 , .
. . y 2n ãàìèëüòîíèàíH ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé (72), H̃ = H+h̃j , è ñôåðà ëþáîãî ðàäèóñàâ ïîäïðîñòðàíñòâå E èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïîòîêà ëèíåàðèçîâàííîéñèñòåìû.118Ñäåëàåì òåïåðü ìàñøòàáíóþ çàìåíó êîîðäèíàò, òî÷íåå, ñåìåéñòâî òàêèõçàìåí.Ôèêñèðóåì çíà÷åíèå r ∈ (0, r0 ).  îêðåñòíîñòè Uj 3 mj ñäåëàåì (êàíîíè÷åñêóþ) ìàñøòàáíóþ çàìåíó y = ryr , H = H(mj ) + r2 Hr (ñ äîáàâëåíèåìêîíñòàíòû), ω 2 = r2 ωr2 , ω̃ 2 = r2 ω̃r2 . Òàêèì îáðàçîì, â íîâûõ êîîðäèíàòàõ ðàññìàòðèâàåìàÿ îêðåñòíîñòü Ur èìååò (áîëüøîé) ðàäèóñ ïîðÿäêà r0 /r, è â íåéãàìèëüòîíèàí ïîñòîÿíåí è ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé H0 ; íåâîçìóù¼ííûé óðîâåíü ýíåðãèè ðàâåí íóëþ, à âîçìóù¼ííûé ïîëîæèòåëåí: hr = 0,h̃r = −h̃/r2 . È íåâîçìóù¼ííàÿ, è âîçìóù¼ííàÿ ñèìïëåêòè÷åñêèå ñòðóêòóðûçàâèñÿò îò r.Èòàê, â êîîðäèíàòàõ yr ãàìèëüòîíèàí H̃r = Hr = H ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé, íå çàâèñÿùåé îò r, è ñîâïàäàåò ñ êâàäðàòè÷íîé ÷àñòüþ H0èç (72) ôóíêöèè H â òî÷êå mj .Ïóñòü ωkl (y) êîìïîíåíòû ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω 2 â êîîðäèíàòàõ y 1 , .
. . y 2n . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî êîìïîíåíòû (ωr )kl (yr ) ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû ωr2 èìåþò âèä(ωr )kl (yr ) = ωkl (ryr ),(73)ïîýòîìó â øàðå ðàäèóñà 2 îíè îòëè÷àþòñÿ îò êîíñòàíò ωkl (0) íà âåëè÷èíóïîðÿäêà r.Áîëåå òî÷íî, ñóùåñòâóåò ÷èñëî C > 0, çàâèñÿùåå òîëüêî îò íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, òàêîå, ÷òî â øàðå (y 1 )2 +. . .+(y 2n )2 ≤ 4 ðàäèóñà 2 èìååò ìåñòîíåðàâåíñòâîkωr2 − ω02 kC 1 ≤ Cr(74)ïðè ëþáîì r ∈ (0, r0 ), ãäå ω02 := limr→0 ωr2 = ω 2 (0).Ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ω02 , êîýôôèöèåíòû êîòîðîé íå çàâèñÿò îòòî÷êè, íàçîâ¼ì ìîäåëüíîé.
Ãàìèëüòîíîâó (ëèíåéíóþ) ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0 èç (72) è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ω02 íàçîâ¼ì ìîäåëüíîéãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé. Òàêèì îáðàçîì, íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ráëèçêàê ìîäåëüíîé ñèñòåìå. Ñëåäîâàòåëüíî, âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà (r + ε)áëèçêàê ìîäåëüíîé ñèñòåìå.Áîëåå òî÷íî, â ñèëó (74), ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ (70) â øàðå (y 1 )2 +. . . + (y 2n )2 ≤ 4 ðàäèóñà 2 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîkD∗ ω̃r2 − ω02 kC 1 ≤ cε + Cr(75)ïðè ëþáîì r ∈ (0, r0 ], ãäå r0 ≤ 1.
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîé (73),â ñèëó êîòîðîé â ëþáîì øàðå ôèêñèðîâàííîãî ðàäèóñàkD∗ ω̃r2 − ωr2 kC 1 ≤ kD∗ ω̃ 2 − ω 2 kC 1119ïðè ëþáîì r ∈ (0, 1].Äàëüíåéøåå äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì â íåñêîëüêî øàãîâ, ïîëíîñòüþàíàëîãè÷íûõ øàãàì â äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 3 (ñì. ï. 1.6.1).Øàã 2. Ðàññìîòðèì ìîäåëüíóþ ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó, ò.å. ëèíåàðèçîâàííóþ ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0 è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ω02 .Ïóñòü S = S 2d−1 åäèíè÷íàÿ ñôåðà â ïîäïðîñòðàíñòâå E . Ïîëîæèìh− = min H0 |S , h+ = max H0 |S .Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå E îêðåñòíîñòü K ⊂ E ñôåðû S , ò.å.
êîëüöî, îãðàíè÷åííîå ñôåðàìè ðàäèóñîâ 12 è 32 ñ öåíòðàìè â íà÷àëå êîîðäèíàò.Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå êîëüöà K íà ìíîæåñòâà óðîâíåé ôóíêöèè H0 , ïîëàãàÿ919Kh := K ∩ H0−1 (h), min( h− , h− ) < h < h+ .444ßñíî, ÷òî êàæäîå èç ìíîæåñòâ Kh ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì âïîâåðõíîñòè H0−1 (h), ñïëîøü çàïîëíåííûì çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ìîäåëüíîé (ò.å. ëèíåàðèçîâàííîé) ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîìH0 è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ω02 .Ïîêàæåì, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå Kh íåâûðîæäåíî (â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ1) è, áîëåå òîãî, ñòðîãî íåâûðîæäåíî.
Äëÿ ëþáîé òî÷êè η ∈ Kh ðàññìîòðèìëþáîé êàñàòåëüíûé âåêòîð ξ ê ïîâåðõíîñòè H0−1 (h) â ýòîé òî÷êå, êîòîðûéïðè îïåðàòîðå ìîíîäðîìèè íåïîäâèæåí ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðîãî âåêòîðà,êàñàòåëüíîãî ê ïîäìíîãîîáðàçèþ Kh . Ýòî çíà÷èò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî âåêòîðAξ −ξ ïðèíàäëåæèò ïîäïðîñòðàíñòâó E .
Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 11, ðàçëîæèìâåêòîð ξ â ñóììó ξE + ξF , ãäå ξE ∈ E , ξF ∈ F . Òîãäà AξF − ξF ∈ E . Ñ äðóãîéñòîðîíû, ââèäó èíâàðèàíòíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâà F îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A, èìååì AξF − ξF ∈ F , îòêóäà AξF − ξF = 0, ò.å. ξF ∈ E . Òàêèì îáðàçîì,ξ ∈ E , à çíà÷èò, ξ ∈ Tη Kh . Ýòî äîêàçûâàåò ñòðîãóþ íåâûðîæäåííîñòü ïîäìíîãîîáðàçèÿ Kh .Ïðèìåíèì ê ìîäåëüíîé ñèñòåìå è ïîäìíîãîîáðàçèþ Kh óòâåðæäåíèå 3.Ôèêñèðóåì ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ mj . Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè îíîïîëîæèòåëüíîå: εj = +1, òàê ÷òîh̃j < h = 0.Äàëåå èíäåêñ j áóäåì èíîãäà îïóñêàòü.Øàã 3. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà áîëåå ïðîñòîé ñëó÷àé: êîãäà èñõîäíîå ìíîæåñòâî Λ ñîñòîèò èç îäíîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ m, ò.å.Λ = {m}. ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ H0 ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà íà ïîäïðîñòðàíñòâåE , è ïîýòîìó ïîäìíîãîîáðàçèå K1 ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íîé ñôåðîé: K1 = S120(ñì. (72)).
 ÷àñòíîñòè, ýòî ïîäìíîãîîáðàçèå êîìïàêòíî. Ñëåäîâàòåëüíî,ñôåðà S (â êà÷åñòâå ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ) ïî îòíîøåíèþ ê ëèíåàðèçîâàííîéñèñòåìå óäîâëåòâîðÿåò âñåì òðåáîâàíèÿì óòâåðæäåíèÿ 3.Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3, ñóùåñòâóåò ñòîëü ìàëîå ÷èñëî ε0 > 0, ÷òî äëÿëþáîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû â øàðå U , ε0 áëèçêîé ê ìîäåëüíîé, ñóùåñòâóåò âëîæåíèå i : S → H̃ −1 (1) è S 1 èíâàðèàíòíûå ãëàäêèå ôóíêöèè ψ èT̃ íà S , òàêèå, ÷òî:1. Ôóíêöèÿ T̃ áëèçêà ê T (m), à âëîæåíèå i áëèçêî ê òîæäåñòâåííîìó.2.
Äëÿ ëþáîé êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè γ ⊂ S ôóíêöèè ψ îêðóæíîñòüi(γ) ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé òðàåêòîðèåé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñ ïåðèîäîì T̃ (γ).Çäåñü áëèçîñòü ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå C 2 íîðìû â ïðîñòðàíñòâå ãàìèëüòîíèàíîâ è C 1 íîðìû â ïðîñòðàíñòâå ñèìïëåêòè÷åñêèõ ñòðóêòóð.Ïóñòü âåëè÷èíà âîçìóùåíèÿ ε > 0 èç (67) ñòîëü ìàëà, ÷òî√cε + C cε ≤ ε0è ε ≤ 1. Ïîêàæåì, ÷òî ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì D∗ H̃r = H0 è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé D∗ ω̃r2 äîñòàòî÷íî áëèçêà ê ìîäåëüíîé ñèñòåìå.Íàïîìíèì (71), ÷òî âîçìóùåíèå óðîâíÿ ýíåðãèè èìååò ïîðÿäîê ε: |h̃| ≤cε. Ïîëîæèìqr = −h̃.Îòñþäà, â ñèëó (75), ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè âîçìóùåíèè èñõîäíîé ñèñòåìû âèäà(67), â øàðå ðàäèóñà 2 âîçìóùåíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû èìååò âèäkD∗ ω̃r2 − ω02 kC 1 ≤ cε + Cr ≤ ε0 .Êðîìå òîãî, âîçìóù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì: D∗ H̃r = H0 ,à âîçìóù¼ííûé óðîâåíü ýíåðãèè ðàâåí −h̃/r2 = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíèìî óòâåðæäåíèå 3.Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ñôåðà S ñîâïàäàåò ñ êëåòêîé Λ∗ âìåñòå ñ äåéñòâèåì îêðóæíîñòè. Èòàê, â ñëó÷àå, êîãäà ìíîæåñòâî Λ ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíûì ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, òåîðåìà 8 äîêàçàíà.Øàã 4. Ïóñòü òåïåðü ìíîæåñòâî Λ íå ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíûì ïîëîæåíèåìðàâíîâåñèÿ. Ôèêñèðóåì ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ mj ∈ Λ, 1 ≤ j ≤ N . Ïóñòü U øàð ðàäèóñà 2 â ïðîñòðàíñòâå E = E(mj ).Äëÿ êàæäîé òî÷êè m = (y 1 , .
. . y 2n ) ∈ S ⊂ E åäèíè÷íîé ñôåðû S = E ∩1 2{(y ) +. . .+(y 2n )2 = 1} â ïîäïðîñòðàíñòâå E = E(mj ) ïðîâåä¼ì ñëåäóþùèåïîñòðîåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïîñòðîåíèÿì, íåîáõîäèìûì äëÿ ôîðìóëèðîâêèîñíîâíîé ëåììû 8 (ñì. ï. 1.6.1):1210. Íà ïîâåðõíîñòè Kh 3 m ôèêñèðóåì åñòåñòâåííîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè, çàäàâàåìîå îãðàíè÷åíèåì ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû íà Kh .1. Âûáåðåì ìàëåíüêóþ ñåêóùóþ ãèïåðïîâåðõíîñòü Σm , ãëàäêî çàâèñÿùóþ îò òî÷êè m è òðàíñâåðñàëüíóþ ê òðàåêòîðèÿì γm .
Íàïðèìåð, â êà÷åñòâå ãèïåðïîâåðõíîñòè Σm ìîæíî âçÿòü ïëîùàäêó, îðòîãîíàëüíóþ ê òðàåêòîðèè γm îòíîñèòåëüíî ñòàíäàðòíîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â Uj . Ïîëîæèì σm = Σm ∩ H0−1 (H0 (m)) (ýòî ñèìïëåêòè÷åñêîå ïîäìíîãîîáðàçèå).2.  êàæäîé òî÷êå m åäèíè÷íîé ñôåðû S â ñîáñòâåííîì ïîäïðîñòðàíñòâåE ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî θm = E ∩ Tm σm â Tm σm .3. Êðîìå òîãî, èç êàæäîé òî÷êè m åäèíè÷íîé ñôåðû â ïîäïðîñòðàíñòâåE , ïåðåíåñ¼ì ïîäïðîñòðàíñòâî θm âî âñå òî÷êè m0 ∈ σm . Äðóãèìè ñëîâàìè,ïîñòðîèì ëèíåéíûé îïåðàòîð Pm,m0 : θm → Tm0 (H0−1 (H0 (m))), m0 ∈ σm , ãäåPm,m = Idθm .
Îáðàç ýòîãî îïåðàòîðà îáîçíà÷èì ÷åðåç θm,m0 . Òàêèì îáðàçîì,îïåðàòîð Pm,m0 ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ïîäïðîñòðàíñòâ θm è θm,m0 :Pm,m0 : θm → θm,m0 ,m0 ∈ σm .4. Íàêîíåö, ïóñòü F êîñîîðòîãîíàëüíîå (à çíà÷èò, è îðòîãîíàëüíîå)äîïîëíåíèå ê ïîäïðîñòðàíñòâó E â Tm M . ×åðåç êàæäóþ òî÷êó m åäèíè÷íîé ñôåðû S â ïîäïðîñòðàíñòâå E ïðîâåä¼ì ìàëåíüêóþ ïëîùàäêó Fm ,ïàðàëëåëüíóþ ïîäïðîñòðàíñòâó F , è ñïðîåêòèðóåì å¼ íà ïîâåðõíîñòüH0−1 (H0 (m)) ïðè ïîìîùè ãðàäèåíòíîãî ïîòîêà ôóíêöèè H0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
