Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Îïðåäåëåíèå 19 îçíà÷àåò, ÷òî â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâåTm M â òî÷êå m èìååòñÿ íåíóëåâîå ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî E = E1 (A)T (m)îïåðàòîðà A = dgH (m), îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1. Ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî ðàññëîåíî íà T ïåðèîäè÷åñêèå òðàåêòîðèè ëèíåàðèçîâàííîéñèñòåìû â òî÷êå m. Ïðè ýòîì êîíóñ (64) â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå â òî÷íîñòèñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ â Tm M , êàñàòåëüíûõ ê ìíîæåñòâó Λ.Çàìåòèì, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå Cε (m) = {d2 H(m) = ε} ∩ E(m) â E(m),ãäå ε 6= 0, èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîãî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè âE(m) ïðè ïîìîùè ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû â òî÷êå m (ïîñêîëüêó ãåññèàítd2 H(m) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ïîòîêà dgH(m)).Íàëîæèì ìàëîå âîçìóùåíèå íà ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H , ïðè êîòîðîì èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü H̃ −1 (h) ñòàíîâèòñÿ ðåãóëÿðíîé.
×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü îñíîâíîå óòâåðæäåíèå, íàì íóæíî ïîñòðîèòü ãëàäêîåïîäìíîãîîáðàçèå Λ∗ ⊂ M , ïîëó÷àþùååñÿ èç Λ íåêîòîðûìè ïåðåñòðîéêàìèòèïà ìîðñîâñêèõ îêîëî êàæäîé îñîáîé òî÷êè m ∈ Λ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîãîïîäìíîãîîáðàçèÿ íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿËåììà 11. Ïóñòü m íåâûðîæäåííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà Λ.Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèÿ ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû íà äâà èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâà: êîíóñ C = {d2 H(m) = 0} ∩ E(m) è ïîäìíîãîîáðàçèåCε = {d2 H(m) = ε}∩E(m), ãäå ε 6= 0.
Ñóùåñòâóåò ïðîåêöèÿ r : Cε → C , ïðè112êîòîðîé îãðàíè÷åíèå ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû íà ïîäìíîãîîáðàçèå Cε ïåðåõîäèò â îãðàíè÷åíèå ýòîé ñèñòåìû íà êîíóñ C , ïðè÷¼ì ïðîîáðàç íà÷àëàêîîðäèíàò ïðè ýòîé ïðîåêöèè äèôôåîìîðôåí (2k − 1)ìåðíîé ñôåðå S 2k−1 ,ãäå 2k èíäåêñ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû −εd2 H(m)|E(m) . Îãðàíè÷åíèå îòîáðàæåíèÿ r íà ìíîæåñòâî Cε \ S 2k−1 ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì ýòîãîïîäìíîãîîáðàçèÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèå C \ {0}.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p1 , q1 , . . . , pd , qd êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû íàïîäïðîñòðàíñòâå E = E(m) èç ñëåäñòâèÿ 11.
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòèáóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ôîðìóëå (62) εωi > 0 ïðè i = 1, . . . , k è εωi < 0 ïðèi = k + 1, . . . , d. Îáîçíà÷èìu = (p1 , q1 , . . . , pk , qk ),v = (pk+1 , qk+1 , . . . , pd , qd ),è ââåä¼ì íà ïîäïðîñòðàíñòâå E ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âèäàu2 =kεXωi (p2i + qi2 ),2 i=1v2 = −dε Xωi (p2i + qi2 ).2 i=k+1Òàêèì îáðàçîì, εd2 H(m)|E = u2 − v 2 , Cε = {u2 − v 2 = ε2 } ⊂ E . Çàìåòèì,÷òî u 6= 0 íà Cε . Îïðåäåëèì ïðîåêöèþ r : Cε → C ïî ôîðìóëåsr(x, y) = (uv2, v).u2Ïðîîáðàçîì òî÷êè 0 ïðè ýòîé ïðîåêöèè ÿâëÿåòñÿ (2k − 1)ìåðíàÿ ñôåðàCε ∩ {v = 0}, âíå êîòîðîé ïðîåêöèÿ ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì.
Êðîìåòîãî, ïðè óêàçàííîé ïðîåêöèè ëþáîå ðåøåíèå ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû,î÷åâèäíî, ïåðåéä¼ò â íåêîòîðîå äðóãîå ðåøåíèå ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû.Ëåììà äîêàçàíà.Ïðèïèøåì êàæäîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ m = mj ∈ Λ çíàê ε = εj =±1 ïî ñëåäóþùåìó åñòåñòâåííîìó ïðàâèëó. Ýòîò çíàê çàâèñèò îò òîãî, áîëüøå èëè ìåíüøå çíà÷åíèå ýíåðãèè h, ÷åì çíà÷åíèå h̃j âîçìóù¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíà H̃ â åãî êðèòè÷åñêîé òî÷êå m̃j , áëèçêîé ê òî÷êå mj : εj = sgn (h− h̃j ).Íàáîð {εj } ýòèõ çíàêîâ ìû íàçîâ¼ì òèïîì âîçìóùåíèÿ.ßñíî, ÷òî åñëè ïîäìíîæåñòâî Λ êîìïàêòíî è íåâûðîæäåíî, òî îíî ñîäåðæèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî m1 , . .
. , mN ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ. Ê êàæäîìóêîíè÷åñêîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ m = mj ∈ Λ, 1 ≤ j ≤ N , ïðèìåíèìñëåäóþùóþ êîíñòðóêöèþ.1) Âûêèíåì èç Λ òî÷êó m è ðàññìîòðèì ìàëåíüêèé øàð Um ñ öåíòðîì âýòîé òî÷êå. Áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ìíîæåñòâî Um ∩Λ ñ êîíóñîì C(m) ⊂ E(m)èç (64) ïðè ïîìîùè âëîæåíèÿ i◦ : E(m) → Um èç îïðåäåëåíèÿ 19.1132) Äàëåå, ðàññìîòðèì â ïîäïðîñòðàíñòâå E(m) ⊂ Tm M ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå (ðó÷êó)Cε (m) = {ξ ∈ E(m)|d2 H(m)ξ = ε},(65)ãäå ε äîñòàòî÷íî ìàëîå ïî ìîäóëþ ÷èñëî çíàêà εj : |ε| ¿ 1, sgn ε = εj = ±1.3) Íàêîíåö, ïðèêëåèì ê ïîäìíîãîîáðàçèþ Λ ∩ Um \ {m} ãëàäêóþ ðó÷êóCε = Cε (m) ⊂ E(m) èç (65) ïðè ïîìîùè îòîáðàæåíèÿr|Cε \S 2k−1 : Cε \ S 2k−1 → C \ {0},ãäå r = rj îòîáðàæåíèå èç ëåììû 11, 2k = 2kj èíäåêñ ôîðìû −εj d2 H(m)|E(m) .Çäåñü ìû èñïîëüçóåì óêàçàííîå âûøå îòîæäåñòâëåíèå êîíóñà C = C(m) ñìíîæåñòâîì Λ ∩ Um . ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì íåêîòîðîå çàìêíóòîå ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå∗Λ , êîòîðîå ìîæíî ðåàëèçîâàòü êàê ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèåΛ∗ ⊂ Λ ∪ (∪Nj=1 Umj ) ⊂ M,áëèçêîå ê ïîäìíîæåñòâó Λ.Îïðåäåëåíèå.
Ïîëó÷åííîå ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå Λ∗ âìåñòå ñî ñòðóêòó-ðîé ïåðèîäè÷åñêîãî ðàññëîåíèÿ íà í¼ì íàçîâ¼ì ìîðñîâñêèì ðàçðåøåíèåìèñõîäíîãî ìíîæåñòâà Λ, îòâå÷àþùèì äàííîìó òèïó âîçìóùåíèÿ ãàìèëüòîíèàíà.ßñíî, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà Λ íå ñîäåðæèò ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, èìååìΛ = Λ.Ïî ïîñòðîåíèþ, ìíîãîîáðàçèå Λ∗ çàâèñèò òîëüêî îò íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, íàáîðà âëîæåíèé èç îïðåäåëåíèÿ 19 è òèïà âîçìóùåíèÿ, ò.å.
íàáîðàçíàêîâ {εj , 1 ≤ j ≤ N }. Ïðè ýòîì íà Λ∗ èìååòñÿ åñòåñòâåííàÿ ñòðóêòóðàïåðèîäè÷åñêîãî ðàññëîåíèÿ ñî ñëîåì îêðóæíîñòü, è èìååòñÿ åñòåñòâåííàÿïðîåêöèÿr : Λ∗ → Λ,(66)∗ïðè êîòîðîé âñå ñëîè ýòîãî ðàññëîåíèÿ ïåðåõîäÿò â òðàåêòîðèè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λ. Ïðîîáðàç êàæäîé îñîáîé òî÷êè mj ïðè ýòîé ïðîåêöèè äèôôåîìîðôåí (2k − 1)ìåðíîé ñôåðå, ãäå 2k = 2kj èíäåêñ ôîðìû−εj d2 H(mj )|E(mj ) .Èòàê, ìîðñîâñêîå ðàçðåøåíèå Λ∗ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì è ïîëó÷àåòñÿ èç íåâûðîæäåííîãî ìíîæåñòâà Λ, èìåþùåãî ëèøüêîíè÷åñêèå114îñîáåííîñòè, âûêèäûâàíèåì êàæäîé îñîáîé òî÷êè mj è âêëåèâàíèåì âìåñòîíå¼ ñôåðû ðàçìåðíîñòè 2kj − 1, åñòåñòâåííî ðàññëîåííîé íà îêðóæíîñòè.Òåîðåìà 8.
Ïóñòü Λ ⊂ H −1 (h) ïîäìíîæåñòâî, ñïëîøü çàïîëíåííîå çà-ìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H è ñîäåðæàùååïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýòîé ñèñòåìû. Ïóñòü ïîäìíîæåñòâî Λ êîìïàêòíî è íåâûðîæäåíî (ñì. îïðåäåëåíèå 18), ò.å. ñîäåðæèò ëèøü íåâûðîæäåííûå îñîáåííîñòè. Òîãäà âñå ýòè îñîáåííîñòè ÿâëÿþòñÿ êîíè÷åñêèìèè ñóùåñòâóåò ÷èñëî ε > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè H̃ èñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω̃ 2 , ãîìîëîãè÷íîé ñòðóêòóðå ω 2 , ãäåkH̃ − HkC 4 + kω̃ 2 − ω 2 kC 1 ≤ ε,(67)âûïîëíåíî ñëåäóþùåå. Åñëè h íå ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì ôóíêöèè H̃ , òî ÷èñëî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ω̃ 2 íà ïîâåðõíîñòèH̃ −1 (h) íå ìåíüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãëàäêîéôóíêöèè íà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèè B ∗ = Λ∗ /S 1 , ãäå Λ∗ ìîðñîâñêîå ðàçðåøåíèå ìíîæåñòâà Λ, îòâå÷àþùåå äàííîìó òèïó âîçìóùåíèÿ ãàìèëüòîíèàíà. äåéñòâèòåëüíîñòè, òåîðåìà 8 îñòàíåòñÿ âåðíîé, åñëè óñëîâèå ãîìîëîãè÷íîñòè âîçìóù¼ííîé è íåâîçìóù¼ííîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû çàìåíèòü ñëåäóþùèì óñëîâèåì: 2ôîðìà ω̃ 2 − ω 2 ñîõðàíÿåò öåíòðû òÿæåñòè(ñì.
îïðåäåëåíèå 16).Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ðàçìåðíîñòü îòâå÷àþùåãî 1 ñîáñòâåííîãî ïîäT (m)ïðîñòðàíñòâà E = E(m) = E1 (A) îïåðàòîðà A = dgH (m) âñåãäà ÷¼òíà(òàê êàê íà E \ {0} èìååòñÿ ëîêàëüíî ñâîáîäíîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè ïðètïîìîùè ïîòîêà dgH(m); ÷¼òíîìåðíîñòü E ñëåäóåò òàêæå èç åãî ñèìïëåêòè÷íîñòè, ñì. ñëåäñòâèå 11):dim E(m) ≡ 0 (mod 2).Êðîìå òîãî, òàê êàê ïåðåñå÷åíèå ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ∗ ñ îêðåñòíîñòüþ Ujÿâëÿåòñÿ ãèïåðïîâåðõíîñòüþ â E , òî åãî ðàçìåðíîñòü íå÷¼òíà è ðàâíàdim Λ∗ = dim E − 1. ÷àñòíîñòè, ðàçìåðíîñòü ñîáñòâåííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà E = E1 (A) îäèíàêîâà äëÿ âñåõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ íà Λ.Çàìå÷àíèå. Ïóñòü Λ íå ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíûì ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, ò.å.dim Λ = dim Λ∗ > 0.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé îñîáîé115òî÷êè m ∈ Λ ãåññèàí d2 H(m) ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåë¼ííûì íà îòâå÷àþùåì 1 ñîáñòâåííîì ïîäïðîñòðàíñòâå E(m) = E1 (A)T (m)îïåðàòîðà A = dgH (m). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ãåññèàí d2 H(m) ôóíêöèè Hÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå â òî÷êå m. Ïîýòîìó, åñëè Λ íå ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíûì ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, òî dim E ≥ 4 èdim Λ = dim Λ∗ = dim E − 1 ≥ 3.Çàìå÷àíèå.
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé îïèñàííîé ñèòóàöèè êîãäàïîäìíîæåñòâî Λ íóëüìåðíî è ñîñòîèò èç îäíîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ m.Ïðè ýòîì, íàïîìíèì, çàäàíî ÷èñëî T = T (m) > 0. Íåâûðîæäåííîñòü òàêîãîΛ = {m} îçíà÷àåò, ÷òî íà ñîáñòâåííîì ïîäïðîñòðàíñòâå E = E1 (A) îïåðàòîT (m)ðà A = dgH (m), îòâå÷àþùåì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, ãåññèàí d2 H(m)ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà çíàêîîïðåäåëåí.  ÷àñòíîñòè, èìååòñÿ çíàê ε = ±1îãðàíè÷åíèÿ ýòîãî ãåññèàíà íà ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî E = E1 (A).Çíàê ε ìû íàçîâ¼ì çíàêîì òî÷êè Λ = {m}.
Åñëè â ýòîì ñëó÷àå òèï âîçìóùåíèÿ ñîãëàñîâàí ñî çíàêîì òî÷êè m (ò.å. ñîâïàäàåò ñ íèì), òî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ∗ ñîâïàäàåò ñ ðó÷êîé (65), ò.å. ÿâëÿåòñÿ íå÷¼òíîìåðíîé ñôåðîéðàçìåðíîñòè dim Λ∗ = dim E − 1. Åñëè òèï âîçìóùåíèÿ ïðîòèâîïîëîæåíçíàêó òî÷êè m, òî ïîäìíîãîîáðàçèå Λ∗ ïóñòî, è òåîðåìà 8 íè÷åãî íå óòâåðæäàåò.Çàìå÷àíèå. ×àñòíûé ñëó÷àé ïîñëåäíåé ñèòóàöèè áûë èçó÷åí Ìîçåðîì[25] è Âåéíñòåéíîì [34, 35, 36].
À èìåííî, èñïîëüçóÿ íàøè îáîçíà÷åíèÿ, âýòèõ ðàáîòàõ ïîäìíîæåñòâî Λ ñîâïàäàëî ñ (ïîëîæèòåëüíûì) ïîëîæåíèåìðàâíîâåñèÿ, à ïîäìíîãîîáðàçèå Λ∗ áûëî äèôôåîìîðôíî ñôåðå. Ïðè ýòîìâ êà÷åñòâå ïàðàìåòðà âîçìóùåíèÿ áðàëîñü çíà÷åíèå h ãàìèëüòîíèàíà. Êàêìû óæå óïîìèíàëè (ñì. 1.7), îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ðàáîòû Ìîçåðà (îòíîñÿùèìñÿ ê ãàìèëüòîíîâó ñëó÷àþ) ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà 4 [25], ñîãëàñíî êîòîðîéâ ýòîé ñèòóàöèè ÷èñëî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîìH íà ïîâåðõíîñòè H −1 (h + ε2 ) íå ìåíüøå 21 dim E .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî çíà÷åíèå ãàìèëüòîíèàíà íà ìíîæåñòâå Λ ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì: h = 0.Ïóñòü mj , 1 ≤ j ≤ N , íàáîð îñîáûõ òî÷åê ìíîæåñòâà Λ.Øàã 1. Íà ýòîì øàãå ìû ïîñòðîèì ñïåöèàëüíûå êîîðäèíàòû â îêðåñòíîñòè êàæäîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ mj ìíîæåñòâà Λ.Ôèêñèðóåì êàêîå-íèáóäü ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ mj ∈ Λ, ò.å. êðèòè÷åñêóþ òî÷êó ãàìèëüòîíèàíà H .  ñèëó ñëåäñòâèÿ 11 òî÷êà mj ÿâëÿåòñÿ ìîð116ñîâñêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êîé ôóíêöèè H . Ñîãëàñíî ëåììå Ìîðñà [11], ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Uj òî÷êè mj â M è êîîðäèíàòûx1 , . . .
x2n ,(x1 )2 + . . . + (x2n )2 ≤ 4r02 ,â ýòîé îêðåñòíîñòè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ H ñîâïàäàåò ñî ñâîèì ãåññèàíîì,ò.å. ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéH0 = ±(x1 )2 ± . . . ± (x2n )2 .Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü ðàäèóñ 2r0 îêðåñòíîñòè Uj äîñòàòî÷íî ìàëûì èíå çàâèñÿùèì îò âîçìóùåíèÿ (ïîäðîáíåå âûáîð ðàäèóñà 2r0 îêðåñòíîñòè Ujñì. íèæå, øàã 6).Ïðîñòîå âèäîèçìåíåíèå ëåììû Ìîðñà ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò C 2 áëèçêàÿ ê òîæäåñòâåííîé çàìåíà êîîðäèíàò â Uj , ïðè êîòîðîé ôóíêöèÿH̃ ñòàíîâèòñÿ ýòîé æå êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòûh̃j . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò C 2 áëèçêèé ê òîæäåñòâåííîìó (âîîáùåãîâîðÿ íå ñèìïëåêòè÷åñêèé) äèôôåîìîðôèçì D âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ M íàñåáÿ, ïðè êîòîðîì â êàæäîé îêðåñòíîñòè Uj èìååì H̃ ◦ D = H + h̃j .Äëÿ óäîáñòâà ñäåëàåì åù¼ îäíó ëèíåéíóþ çàìåíó êîîðäèíàò(x1 , .
. . x2n ) → (y 1 , . . . y 2n )(68)â Uj , ïðè êîòîðîé ïîäïðîñòðàíñòâà E = E(mj ) è F = E ⊥ èç (63) ñòàíîâÿòñÿêîîðäèíàòíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè:E = {y 2d+1 = . . . = y 2n = 0},F = {y 1 = . . . = y 2d = 0}.Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà E êîîðäèíàòû èìåþò âèä y 2i−1 =q(69)q|ωi |pi ,y 2i = |ωi |qi , 1 ≤ i ≤ d, ãäå p1 , q1 , . . . , pd , qd êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû íàE èç (62), 2d = dim E . Ââèäó èíâàðèàíòíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâ E è F îòíîñèòåëüíî ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû, â ïîñòðîåííûõ êîîðäèíàòàõ ôóíêöèÿH èìååò âèä H = HE +HF , ãäå HE è HF êâàäðàòè÷íûå ôîðìû, çàâèñÿùèåòîëüêî îò ïåðåìåííûõ y 1 , . . . , y 2d è y 2d+1 , .
. . , y 2n ñîîòâåòñòâåííî.Ñîãëàñíî ëåììå 6 (ñì. ï. 1.5.2) ñóùåñòâóåò ïîäïðîñòðàíñòâî Ẽ ⊂ Tmj M ,áëèçêîå ê E , èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà ëèíåàðèçàöèè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû â òî÷êå mj . ßñíî, ÷òî ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî è åãî êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå F̃ = Ẽ ⊥ èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî âîçìóù¼ííîé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû. Äëÿ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñäåëàåì àíàëîãè÷íóþëèíåéíóþ çàìåíó (x̃1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
