Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Íàïðèìåð, êðèâàÿ µ ìîæåò èìåòü âèä {h = const} èëè {λ = const}.103Ïóñòü Λ ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå â ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèèM , ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , ïðè÷¼ì íà Λ çàäàíà ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäà T . Ðàññìîòðèì íà Λäâå ãëàäêèå S 1 èíâàðèàíòíûå ôóíêöèè: H è T , à òàêæå çàäàâàåìîå ýòèìèôóíêöèÿìè ãëàäêîå S 1 èíâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå â ïëîñêîñòüΛ → IR2h,λ ,h = H(m), λ = T (m),m ∈ Λ.(60)Ïóñòü îáðàç ýòîãî îòîáðàæåíèÿ ëåæèò íà êðèâîé µ.
Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ,÷òî åñëè êðèâàÿ µ èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, òî äëÿ êàæäîé òî÷êè m ∈ Λóêàçûâàåòñÿ òàêæå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà u = u(m) íà êðèâîé µ, ãëàäêî çàâèñÿùåå îò òî÷êè m, òàêîå, ÷òî µ(u(m)) = (H(m), T (m)).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ëþáîé òî÷êå m ∈ Λ âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõóñëîâèé:1. ëèáî dH(m) 6= 0,2. ëèáî êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé µ(u) ⊂ IR2h,λ â òî÷êå u0 = u(m) íå ïàðàëëåëüíà îñè λ èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, êðèâàÿ µ(u) ëîêàëüíî èìååò âèäãðàôèêà ôóíêöèè λ = λ(h).Ðàññìîòðèì â ðàñøèðåííîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåM × IR2(h,λ)ïîäìíîãîîáðàçèå êîðàçìåðíîñòè 2, èìåþùåå âèä{H(m) − h = 0, (h, λ) ∈ µ}.(61) ñèëó óñëîâèé 1, 2 ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì âáëèçè Λ.Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè H íà ìíîãîîáðàçèè M ðàññìîòðèì îòðåçêè òðàåêòîðèé γ(t), t ∈ [0, λ], ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H .
Òðàåêòîðèè γ , äëÿêîòîðûõ ýíåðãèÿ h = H|γ è ïðîìåæóòîê âðåìåíè λ óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ (61), íàçîâ¼ì òðàåêòîðèÿìè òèïà (61). Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî òèï (61) òðàåêòîðèé ôèêñèðîâàí. Òðàåêòîðèè ýòîãî òèïà, çàìûêàþùèåñÿ ÷åðåç âðåìÿ λ, íàçîâ¼ì çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ôèêñèðîâàííîãîòèïà.×åðåç ëþáóþ òî÷êó m ∈ Λ ïðîâåä¼ì ñå÷åíèå Ïóàíêàðå σ â ïîäìíîãîîáðàçèè (61), ò.å.
ãèïåðïîâåðõíîñòü, òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùóþ ôàçîâóþòðàåêòîðèþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó m. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå A ïîâåðõíîñòè σ íà ñåáÿ, çàäàâàåìîå òðàåêòîðèÿìè γ(t), t ∈ [0, λ],ôèêñèðîâàííîãî òèïà (61). Äðóãèìè ñëîâàìè, A : γ(0) 7→ γ(λ).104Ïîäìíîãîîáðàçèå Λ íàçîâ¼ì íåâûðîæäåííûì, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ îïðåäåëåíèÿ 1 ïî îòíîøåíèþ ê ïîñòðîåííîìó îòîáðàæåíèþ Ïóàíêàðå A.Óòâåðæäåíèå 10. Ïóñòü ìíîæåñòâî Λ ⊂ M , çàïîëíåííîå çàìêíóòû-ìè òðàåêòîðèÿìè ôèêñèðîâàííîãî òèïà (61) ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîìH , íåâûðîæäåíî.
Ïóñòü H̃ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà ìíîãîîáðàçèè M , C 2 áëèçêàÿ ê ôóíêöèè H . Òîãäà ñïðàâåäëèâû ïîëíûå àíàëîãè òåîðåì 5, 6, 7î ÷èñëå, ðàñïîëîæåíèè è óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ôèêñèðîâàííîãî òèïà (61) ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̃ .Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì â ìíîãîîáðàçèè M × IR2(h,λ) × S(τ1 ) ãèïåðïîâåðõíîñòü1M̄ = M × µ × S(τ),ãäå µ ⊂ IR2(h,λ) ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ, îïèñàííàÿ âûøå. Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå íà ýòó ïîâåðõíîñòü 2ôîðìûΩ2 = ω 2 (m) − λdh ∧ dτ.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ìíîãîîáðàçèå M̄ ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì îòíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû Ω2 |M̄ .ßñíî òàêæå, ÷òî òðàåêòîðèè γ(t), t ∈ [0, λ], ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H íà M (òèïà (61)) âçàèìíî-îäíîçíà÷íî îòâå÷àþò òðàåêòîðèÿì γ(λτ ),τ ∈ [0, 1], ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì (H(m) − h)|M̄ íà íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè {H(m) − h = 0} â M̄ . ÷àñòíîñòè, â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå M̄ ïîñëåäíåé ñèñòåìû èìååòñÿíåâûðîæäåííîå êîìïàêòíîå ïîäìíîãîîáðàçèå, äèôôåîìîðôíîå Λ × S 1 è çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè.Ïðèìåíåíèå ê ïîñëåäíåé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå äîêàçàííûõ óòâåðæäåíèé î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ ñ ôèêñèðîâàííûì óðîâíåì ýíåðãèè, äà¼òñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿ î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ ôèêñèðîâàííîãîòèïà.
Ïðè ýòîì, êàê è â ñëó÷àå ôèêñèðîâàííîãî ïåðèîäà (ñì. âûøå), íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ãàìèëüòîíèàí è ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðàèíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ τ 7→ τ + τ0 , è ïîýòîìó ôóíêöèÿ S íàΛ × S 1 è âëîæåíèå i áóäóò èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî òàêèõ ñäâèãîâ.Óòâåðæäåíèå 10 äîêàçàíî.Îòìåòèì ðàçëè÷èå ìåòîäà óñðåäíåíèÿ â òåîðåìàõ 2 è 6.  òåîðåìå 2ìû ðàññìàòðèâàåì íåñòàíäàðòíîå óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè, ò.å. ìû íå äåëèìèíòåãðàë (6) íà ôóíêöèþ T ïåðèîäà çàìêíóòîé òðàåêòîðèè.
Ýòî ñóùåñòâåííî ïðè èññëåäîâàíèè ïîðîæäàþùèõ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ýíåðãèè, òàê êàê ôóíêöèÿ ïåðèîäà T , âîîáùå ãîâîðÿ, íåÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ ⊂ H −1 (h).105Îäíàêî â íåêîòîðûõ âàæíûõ ñëó÷àÿõ ôóíêöèÿ ïåðèîäà íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ èç òåîðåìû 1 áóäåò êîíñòàíòîé. À èìåííî, âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 11. Ïóñòü N ñâÿçíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ôàçîâîãî ïðî-ñòðàíñòâà (M 2n , ω 2 ), ñïëîøü çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H . Ïóñòü äèôôåðåíöèàë d(H|N )îãðàíè÷åíèÿ ôóíêöèè H íà N âñþäó îòëè÷åí îò íóëÿ íà N . Ïóñòü íà Nèìååòñÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ T ïåðèîäà ñèñòåìû âäîëü çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé.
Òîãäà ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé ëèøü îò çíà÷åíèÿ h ãàìèëüòîíèàíà H íà N . Áîëåå òîãî, â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ïåðèîäàèìååò âèä T = dI(h)/dh, ãäå çíà÷åíèå I(h) ðàâíî èíòåãðàëó ôîðìû ω 2 ïî2öåïè, ñîñòàâëåííîé èç T ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà òðàåêòîðèé âèäà γh0 ⊂ N ∩ H −1 (h0 ), h0 ≤ h0 ≤ h.Äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ ïåðèîäà T â ýòîì ñëó÷àå ðàâíà ïðîèçâîäíîéïî h îò ïëîùàäè I(h), çàìåòàåìîé çàìêíóòûìè T ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè âèäà γh0 ⊂ N ∩ H −1 (h0 ) äàííîé ñèñòåìû, ãäå h0 ≤ h0 ≤ h, h0 ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå ãàìèëüòîíèàíà H .Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ11, êîòîðîå â äàííîé ñèòóàöèè ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ñòàíäàðòíîìó [19,24], ðàññìàòðèâàâøåìóñÿ â ñëó÷àå, êîãäà âñ¼ ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî çàïîëíåíî çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè.
Ìû çäåñü äîêàæåì ëèøü ïåðâóþ ÷àñòüóòâåðæäåíèÿ, òàê êàê îíà ëåãêî ñëåäóåò èç ìåòîäà óñðåäíåíèÿ. Ïðè ýòîìáóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êàæäîå ïîäìíîãîîáðàçèå âèäà Λ = N ∩ H −1 (h)ïî÷òè âñþäó íåâûðîæäåíî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.Âîçüì¼ì âîçìóù¼ííûé ãàìèëüòîíèàí âèäà H̃ = H −ε. Çàìåòèì, ÷òî âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà íà èñõîäíîì óðîâíå ýíåðãèè H̃ −1 (h) ñîâïàäàåò ñ íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìîé íà áëèçêîì óðîâíå H −1 (h + ε).
Î÷åâèäíî, ÷òî óñðåäí¼ííîå âîçìóùåíèå H íà Λ ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà ñîâïàäàåò ñ ïåðèîäîì Tòðàåêòîðèé íà Λ. Ïîýòîìó, åñëè ôóíêöèÿ ïåðèîäà T îòëè÷íà îò êîíñòàíòûíà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ, òî èç óòâåðæäåíèÿ 1 ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ýòî ïîäìíîãîîáðàçèå íåëüçÿ âêëþ÷èòü â ñåìåéñòâî àíàëîãè÷íûõ ïîäìíîãîîáðàçèéΛε ⊂ H −1 (h + ε), Λ0 = Λ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ îòëè÷èÿ îò íóëÿ äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè H|N íà Λ.
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Òàêèì îáðàçîì, åñëè èñõîäíîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ H −1 (h) ìîæíîâêëþ÷èòü â îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî àíàëîãè÷íûõ ïîäìíîãîîáðàçèé Λ = Λh , çàïîëíåííûõ çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû è çàâèñÿùèõîò çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà, òî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäà T çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé íà Λ áóäåò êîíñòàíòîé. Ïîýòîìó óñðåäí¼ííîå âîçìóùåíèå106â ýòîé ñèòóàöèè ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå1ZTH̄(m) =H(γ(m, t)) dt,T 0m ∈ Λ,è ïðè òàêîì åãî îïðåäåëåíèè òåîðåìà 2 è óòâåðæäåíèÿ 13 îñòàíóòñÿ âåðíûìè. Åñëè ïðè ýòîì ôóíêöèÿ I(h) âûïóêëà, ò.å.
I 00 (h) 6= 0 âñþäó íà N , òîìíîæåñòâà ïîñòîÿíñòâà ýíåðãèè íà N â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ ìíîæåñòâàìèïîñòîÿíñòâà ïåðèîäà íà N . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ èç òåîðåì 1è 2 áóäóò ñîâïàäàòü ñ ïîäìíîãîîáðàçèÿìè Λ èç òåîðåì 5 è 6.2.1.3 Âîçìóùåíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðûÎòìåòèì, ÷òî âî âñåõ ïðèâåä¼ííûõ âûøå òåîðåìàõ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ω 2 ïðåäïîëàãàëàñü ôèêñèðîâàííîé íà ìíîãîîáðàçèè M 2n .  ïðèëîæåíèÿõ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà èíîãäà ìåíÿåòñÿ ïðè âîçìóùåíèè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â íåêîòîðûõ òàêèõ ñëó÷àÿõ ïðèâåä¼ííûå òåîðåìû îñòàíóòñÿâåðíûìè. Íàïðèìåð, ýòî òàê, åñëè H 2 (Λ) = 0, ëèáî H 1 (B) = 0, ëèáî âûïîëíåíî íåêîòîðîå áîëåå ñëàáîå îãðàíè÷åíèå íà òîïîëîãèþ ðàññëîåíèÿ (2).Çäåñü H 2 (Λ) ãðóïïà äâóìåðíûõ êîãîìîëîãèé äå Ðàìà ìíîãîîáðàçèÿ Λ.Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ, âàæíûõ äëÿ ïðèëîæåíèé, íàïðèìåð, êîãäà Λ òîð, óòâåðæäåíèÿ ýòèõ òåîðåì óæå íå áóäóò âåðíû ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìàëûõ âîçìóùåíèÿõ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.
Òåì íå ìåíåå, ýòè òåîðåìûîáîáùàþòñÿ è íà îáùèé ñëó÷àé, åñëè íàëîæèòü åñòåñòâåííûå äëÿ ãàìèëüòîíîâîé ìåõàíèêè îãðàíè÷åíèÿ íà äîïóñòèìûå âîçìóùåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû.Ïóñòü íà ãëàäêîì ñâÿçíîì ìíîãîîáðàçèè Λ çàäàíî äåéñòâèå îêðóæíîñòè.Îïåðàöèþ óñðåäíåíèÿ íà òàêîì Λ ìîæíî ïðèìåíÿòü íå òîëüêî ê ôóíêöèÿì, íî è ê äèôôåðåíöèàëüíûì ôîðìàì. Äëÿ ëþáîãî ïóòè mv , 0 ≤ v ≤ 1,íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ ðàññìîòðèì öåïü C(m∗ ) ñ êîîðäèíàòàìè v , t (çàäàþùèìè íà íåé îðèåíòàöèþ dv ∧ dt), îáðàçîâàííóþ ôàçîâûìè òðàåêòîðèÿìèγmv (t), 0 ≤ t ≤ T (mv ), âûïóùåííûìè èç òî÷åê ýòîãî ïóòè.Îïðåäåëåíèå 16. Çàìêíóòóþ 2ôîðìó α2 íà ìíîãîîáðàçèè Λ íàçîâ¼ìñîõðàíÿþùåé öåíòð òÿæåñòè [1, 16, 4], åñëè äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ïóòèmv , 0 ≤ v ≤ 1, íà ìíîãîîáðàçèè Λ èíòåãðàë ôîðìû α2 ïî öåïè C(m∗ ) ðàâåííóëþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
