Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 22
Текст из файла (страница 22)
 óñëîâèÿõ ëåììû 8 ðàññìîòðèì ðàññëîåíèå IRN ⊕(T∗ Λ)íàä Λ ñ åñòåñòâåííûì äåéñòâèåì îêðóæíîñòè S 1 íà í¼ì, ãäå N ∈ IN+ .Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïëîñêàÿ ñâÿçíîñòü íà ýòîì ðàññëîåíèè, êîììóòèðóþùàÿ ñ åñòåñòâåííûì äåéñòâèåì îêðóæíîñòè, ïðè÷¼ì îïåðàòîðû ãîëîíîìèè, îòâå÷àþùèå çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì íà Λ, ÿâëÿþòñÿ òîæäåñòâåííûìè. Ïóñòü K ñîîòâåòñòâóþùåå ïàðàëëåëüíîå ïîëå îïåðàòîðîâ (55) íà ýòîì ðàññëîåíèè. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå äåéñòâèåîêðóæíîñòè, ïëîñêóþ ñâÿçíîñòü è ïàðàëëåëüíîå ïîëå îïåðàòîðîâ K íàðàññëîåíèè (57).
Òîãäà ñóùåñòâóþò âëîæåíèå i : Λ ,→ IRN × U , áëèçêîå êòîæäåñòâåííîìó, è ãëàäêàÿ S 1 èíâàðèàíòíàÿ ôóíêöèÿ T̃ íà Λ, áëèçêàÿê ôóíêöèè ïåðèîäà T , îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.1◦ Äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ Λ âåêòîðξm =T̃ (m)Ṽi(m) − di(m)VmT (m)+1ïðèíàäëåæèò ïîäïðîñòðàíñòâó IRNi(m) ⊕ θi(m) , è åãî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñâ òî÷êó m îðòîãîíàëåí âåêòîðó Vm .2◦ Âåêòîðíîå ïîëå ξ âäîëü ïîäìíîãîîáðàçèÿ i(Λ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ2π∇di(m)Vm ξm =Ki(m) ξm , m ∈ Λ,T (m)ãäå ∇ êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îòíîñèòåëüíî ïëîñêîé ñâÿçíîñòè íàïîëå ïîäïðîñòðàíñòâ (57).3◦ Ñðåäíåå çíà÷åíèå âåêòîð-ôóíêöèè h ◦ i âäîëü êàæäîé òðàåêòîðèèγ ⊂ Λ ðàâíî 0, ãäå h : IRN × U → IRN ïðîåêöèÿ íà ïåðâûé ñîìíîæèòåëü. ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè γ , òàêîé, ÷òî ξ|i(γ) = 0, å¼ îáðàç i(γ)öåëèêîì ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè h−1 (0).4◦ Ïðè ýòîì âîçìóù¼ííîå ïîäìíîãîîáðàçèå Λ̃ âèäà Λ̃ = i(Λ) åäèíñòâåííî. Áîëåå òîãî, âëîæåíèå i îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî äèôôåîìîðôèçìîâ ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ íà ñåáÿ, ñîõðàíÿþùèõ åñòåñòâåííîå äåéñòâèå îêðóæíîñòè íà Λ.Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì ïðåäëîæåíèè òðåáóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïëîñêîéñâÿçíîñòè íà ðàññëîåíèè íàä Λ ñî ñëîåì IRN ⊕ (Tm Λ), ðàçìåðíîñòü êîòîðîãîíà N + 1 áîëüøå, ÷åì ðàçìåðíîñòü ñëîÿ èç ïðåäëîæåíèÿ 3.
Çà ñ÷¼ò ýòîãî99íàäñòðîåííîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèÿ 4 áóäåò èìåòü ðàçìåðíîñòü íà 2N +2 áîëüøå, ÷åì â äîêàçàòåëüñòâå àíàëîãè÷íîéëåììû 8. À èìåííî, êðîìå óêàçàííîãî óâåëè÷åíèÿ íà N + 1 ðàçìåðíîñòèñëîÿ, íóæíî ââåñòè N + 1 äîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû: çíà÷åíèåïåðèîäà T̃ è çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ h ∈ IRN .Çàìå÷àíèå. Ïóñòü N = 0, ò.å. ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì èñóùåñòâóåò òðåáóåìàÿ ïëîñêàÿ ñâÿçíîñòü íà ðàññëîåíèè T∗ Λ, ò.å. êîììóòèðóþùàÿ ñ äåéñòâèåì îêðóæíîñòè è èìåþùàÿ òîæäåñòâåííûé îïåðàòîðãîëîíîìèè, îòâå÷àþùèé çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì íà Λ. Òîãäà ñïðàâåäëèâîñëåäóþùåå óòî÷íåíèå ïðåäëîæåíèÿ 4. À èìåííî, ïóíêò 3◦ ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèåì i(Λ) ⊂ h−1 (0).Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 4 ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâóïðåäëîæåíèÿ 3 è îñíîâíîé ëåììû 8. Îñíîâíîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òîïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèÿ 4 (êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå Ìîçåðà [25])ðàññìàòðèâàåòñÿ íåêîìïàêòíîå ïîäìíîãîîáðàçèå IRN × Λ ⊂ IRN × U , çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.
Ñòðîèòñÿñîîòâåòñòâóþùåå âëîæåíèå i : DN × Λ → IRN × U , áëèçêîå ê òîæäåñòâåííîìó, ïðè êîòîðîì îáðàçû çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé íå ëåæàò, âîîáùå ãîâîðÿ,íà ïîâåðõíîñòÿõ {h = const}, ãäå DN îêðåñòíîñòü íóëÿ â IRN . Ïîñëå ýòîãî, ÷òîáû âûäåëèòü òðàåêòîðèè íà íóëåâîì óðîâíå H −1 (0), ðàññìàòðèâàåòñÿíà ïîäìíîãîîáðàçèè i(DN × Λ) óñðåäí¼ííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ h∗ è áåðåòñÿìíîæåñòâî óðîâíÿ (h∗ )−1 (0) ýòîé ôóíêöèè [25]. ßñíî, ÷òî ïîñòðîåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå åñòåñòâåííî ðàññëîåíî íà îêðóæíîñòè, äèôôåîìîðôíî Λ èñîäåðæèò âñå çàìêíóòûå òðàåêòîðèè âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà ïîâåðõíîñòèh−1 (0).1002 Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ è äîïîëíåíèÿ2.1 Ðîëü ïîñòîÿíñòâà çíà÷åíèé ýíåðãèè, ôóíêöèè ïåðèîäà è ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû2.1.1 Çàìêíóòûå òðàåêòîðèè ôèêñèðîâàííîãî ïåðèîäàÎòìåòèì, ÷òî èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå óêàçàííîãî ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé íà ëþáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h0 ),áëèçêîé ê èñõîäíîé, à íå òîëüêî íà ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h), ïîñêîëüêó çíà÷åíèå ýíåðãèè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð âîçìóùåíèÿ.
 ëþáîì ñëó÷àå, òåîðåìà 1 îöåíèâàåò ÷èñëî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé,ëåæàùèõ íà îäíîé è òîé æå èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âìåñòî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ìîæíî ôèêñèðîâàòü ïåðèîä çàìêíóòûõòðàåêòîðèé è ïîëó÷àòü àíàëîãè÷íóþ îöåíêó äëÿ ÷èñëà òàêèõ òðàåêòîðèé.Ïðèâåä¼ì çäåñü àíàëîã òåîðåì 1, 2 è 3 äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïåðèîä çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ ⊂ M ïîñòîÿíåí, è òðåáóåòñÿ îöåíèòü ÷èñëî çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñ òåì æåïåðèîäîì. Ïóñòü, íàïðèìåð, âñå òðàåêòîðèè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λèìåþò ïåðèîä 1 (äëÿ íåêîòîðûõ òðàåêòîðèé ýòîò ïåðèîä ìîæåò íå áûòü ìèíèìàëüíûì).
Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü Λ íå îáÿçàòåëüíîëåæèò íà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè è, áîëåå òîãî, ìîæåò ñîäåðæàòüêðèòè÷åñêèå òî÷êè ãàìèëüòîíèàíà, òàê ÷òî ñðåäè òðàåêòîðèé íà Λ ìîãóò1áûòü îñîáûå òî÷êè. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå êàê ïîòîê A = gHñèñòåìû çà âðåìÿ 1 âî âñ¼ì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå (íî íå êàê îãðàíè÷åíèåýòîãî ïîòîêà ëèøü íà èçîýíåðãåòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü).Îïðåäåëåíèå íåâûðîæäåííîñòè è ñèëüíîé óñòîé÷èâîñòè Λ â ýòîì ñëó÷àåñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåíèÿìè 9 è 13 â ñëó÷àå îòîáðàæåíèé.Òåîðåìà 5. Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ M , çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè 1ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, êîìïàêòíî (áåçêðàÿ) è íåâûðîæäåíî.
Òîãäà ÷èñëî çàìêíóòûõ 1ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íå ìåíüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãëàäêîé ôóíêöèè íà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèè B = Λ/S 1 . Ïðè ýòîì÷èñëî òàêèõ òðàåêòîðèé ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé íå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî÷èñëà êðèòè÷åñêèõ ôóíêöèè Ìîðñà íà B .Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ f íà ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèè B íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè ôóíêöèÿ f ◦p íà Λ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé. Ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ f íà B íàçûâàåòñÿ ìîðñîâñêîé, åñëè ôóíêöèÿ f ◦ p íà ìíîãîîáðàçèè Λ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêîé,è ëþáîå å¼ êðèòè÷åñêîå ïîäìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé òðàåêòîðèåéíåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû íà Λ (íàïðèìåð, ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ).101Òåîðåìà 6.
Ïóñòü â óñëîâèÿõ òåîðåìû 5 âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ãëàä-êî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà ε, ò.å. èìååò ãàìèëüòîíèàí âèäà (4).Ðàññìîòðèìíà Λ óñðåäí¼ííîå âîçìóùåíèå, ò.å. ãëàäêóþ ôóíêöèþ âèäàRH̄(m) = 01 H(γ(m, t)) dt, m ∈ Λ, ãäå H = H1 |Λ , γ(m, t) ðåøåíèå íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì γ(m, 0) = m. Ïóñòü γ0 ⊂ Λ áîòòîâñêàÿ êðèòè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ ôóíêöèè H̄.
Òîãäà ñóùåñòâóåòîäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ 1ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèéγε âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû. Ýòî ñåìåéñòâî ãëàäêî çàâèñèò îò ïàðàìåòðàâîçìóùåíèÿ ε, ãäå ε äîñòàòî÷íî ìàëî, è γε ñîâïàäàåò ñ γ0 ïðè ε = 0. Ïðèýòîì, åñëè òðàåêòîðèÿ γ0 ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, òî òðàåêòîðèÿ γε òîæå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ.Òåîðåìà 7. Ïóñòü â óñëîâèÿõ òåîðåìû 5 ïîäìíîãîîáðàçèå Λ ⊂ M ñèëüíîóñòîé÷èâî â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.
Ïóñòü ãàìèëüòîíèàí H̃ âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ãëàäêî çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà ε ≥ 0, ò.å. èìååò âèä(4). Ïóñòü òðàåêòîðèÿ γ0 ⊂ Λ ÿâëÿåòñÿ áîòòîâñêèì ïîäìíîãîîáðàçèåìëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà (èëè ìèíèìóìà ëèáî ìèíèìàêñà, â çàâèñèìîñòèîò ñèòóàöèè â îïðåäåëåíèè 13) ôóíêöèè H̄, ò.å. èìååò ìåñòî ñîãëàñîâàííàÿ çíàêîîïðåäåë¼ííîñòü. Òîãäà âûæèâàþùàÿ ñîãëàñíî òåîðåìå 6çàìêíóòàÿ 1ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ γε , 0 < ε ≤ ε0 , âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâà â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè. òåîðåìå 7 ñòðóêòóðíàÿ óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé òðàåêòîðèè γε ïîíèìàåòñÿ â ñëåäóþùåì ñìûñëå.  ñëó÷àå, êîãäà òðàåêòîðèÿ γ0 ÿâëÿåòñÿïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ γε ÿâ1ëÿåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ à = gH̃,à â ñëó÷àå, êîãäà γ0 íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, óòâåðæäàåòñÿ,÷òî çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ γε îðáèòàëüíî ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâà â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè íà ñîîòâåòñòâóþùåé ïîâåðõíîñòè H̃ −1 (h).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì â ðàñøèðåííîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå1M × IR(h) × S(t)(58)ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðûω 2 − dh ∧ dt(59)è ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H − h, ãäå t mod 1 ∈ IR/ZZ = S 1 ïàðàìåòð íàîêðóæíîñòè. Èçâåñòíî, ÷òî ðåøåíèÿì òàêîé ñèñòåìû íà íåîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè {H − h = 0} îòâå÷àþò ðåøåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû.ßñíî, ÷òî ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâèè 1ïåðèîäè÷åñêèì òðàåêòîðèÿì èñõîäíîé102ñèñòåìû â òî÷íîñòè îòâå÷àþò ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìûíà ïîâåðõíîñòè {H −h = 0}. Ïðè ýòîì êàæäîé 1ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèèèñõîäíîé ñèñòåìû, íå ÿâëÿþùåéñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, îòâå÷àåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû (58), (59),ãäå ïàðàìåòðîì ñåìåéñòâà ñëóæèò âðåìÿ t ∈ S 1 . ( äåéñòâèòåëüíîñòè, 1ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû ýòî òîæå ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ γ(t), ãäå γ(1) = γ(0), îäíàêî îáû÷íî òðàåêòîðèè, îòëè÷àþùèåñÿñäâèãîì âðåìåíè, ñ÷èòàþò ñîâïàäàþùèìè.)Óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè Λ ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî çàìêíóòûå òðàåêòîðèè íîâîé ñèñòåìû (58), (59) çàìåòàþò íåâûðîæäåííîå ïîäìíîãîîáðàçèåΛ × S 1 ⊂ {H − h = 0}.Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3, ñóùåñòâóþò ãëàäêîå âëîæåíèå i è ãëàäêàÿS èíâàðèàíòíàÿ ôóíêöèÿ S íà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ×S 1 , óäîâëåòâîðÿþùèåóñëîâèÿì ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.
Òàê êàê ñèñòåìà èìååò öèêëè÷åñêóþ ïåðåìåííóþ t, òî âñå îáúåêòû, ñòðîÿùèåñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 3 (èíåîáõîäèìûå äëÿ ôîðìóëèðîâêè îñíîâíîé ëåììû 8), ìîæíî âçÿòü íå çàâèñÿùèìè îò t. Òàê êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 3 óêàçàí îäíîçíà÷íûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè S è âëîæåíèÿ i, òî ôóíêöèÿ S è âëîæåíèå iáóäóò èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ âðåìåíè t 7→ t+t0 .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ S îäíîçíà÷íî îïóñêàåòñÿ íà èñõîäíîå ïîäìíîãîîáðàçèåΛ, à âëîæåíèå i êîììóòèðóåò ñî ñäâèãîì âðåìåíè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå(58). Êðîìå òîãî, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3, ôóíêöèÿ S èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîãî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà Λ×S 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ýòàôóíêöèÿ îäíîçíà÷íî îïóñêàåòñÿ íà ôàêòîð-ìíîæåñòâî B = Λ/S 1 .
Îòñþäà,ñ ó÷¼òîì óòâåðæäåíèé 3 è 4, ñëåäóþò òåîðåìû 5, 6, 7. Ïðè ýòîì â ñëó÷àå,êîãäà γ0 ⊂ Λ íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿñâîéñòâîì 3◦ èç óòâåðæäåíèÿ 3 î ñîâïàäåíèè îáðàçà ãåññèàíà ôóíêöèè Sïðè îòîáðàæåíèè di(m) ñ ÿäðîì îïåðàòîðà dÃ(i(m)) − I .1Àíàëîãè÷íîå äîêàçàòåëüñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî òàêèå æå óòâåðæäåíèÿâåðíû â ñëåäóþùåé áîëåå îáùåé ñèòóàöèè.2.1.2 Çàìêíóòûå òðàåêòîðèè ôèêñèðîâàííîãî òèïàÏóñòü â ïëîñêîñòè IR2h,λ çàäàíà ãëàäêàÿ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ µ (îáû÷íî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà ñâÿçíà è çàìêíóòà). Áîëåå òî÷íî, ðàññìîòðèì ëþáîåïîãðóæåíèå îêðóæíîñòè èëè ïðÿìîé â ýòó ïëîñêîñòü, ãäå îêðóæíîñòü èëèïðÿìàÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ãëàäêèõ çàìåí ïàðàìåòðà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
